一、單選題
1．設(shè)，，且，則等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可
【詳解】∵，∴，∴，
故選:A.
2．若直線和直線平行，則的值為（ ）
A．1B．C．1或D．
【答案】A
【分析】由兩直線平行，根據(jù)平行的判定求的值即可.
【詳解】直線和直線平行，
，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，
∴
故選：A．
3．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直線上的兩點(diǎn)求直線的斜率，由斜率可得傾斜角.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
由題得直線的斜率為，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：D
4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此即可得解.
【詳解】由題意知，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.
故選:B.
5．若是空間的一個(gè)基底，則也可以作為該空間基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空間向量的基底的概念結(jié)合空間向量的共面定理一一判定即可.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，易知，則A項(xiàng)中向量共面，不符合；
對(duì)于B項(xiàng)，易知，則B項(xiàng)中向量共面，不符合；
對(duì)于D項(xiàng)，易知，則D項(xiàng)中向量共面，不符合；
對(duì)于C項(xiàng)，易知不共面，即C正確.
故選：C
6．兩圓與的公切線有（ ）
A．1條B．2條
C．3條D．4條
【答案】C
【詳解】由題意，得兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和，則兩圓的圓心距，即兩圓外切，所以?xún)蓤A有3條公切線；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系和兩圓公切線的判定；在處理兩圓的公切線條數(shù)時(shí)，要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓位置關(guān)系的判定：當(dāng)兩圓相離時(shí)，兩圓有四條公切線；當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓有三條公切線；當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓有兩條公切線；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓有一條公切線；當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，兩圓沒(méi)有公切線.
7．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得解.
【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
則有 ，可得，可得，
依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，
此時(shí)，
故選：D.
8．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)均為2，則異面直線與所成角的余弦值是
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體的線面關(guān)系，將平移至，找到異面直線所成角，求解即可．
【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，由為正三角形，故．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角，求解異面直線所成角的步驟：先平移找到角，再證明，最后求解．
二、多選題
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若空間向量，滿(mǎn)足，則
B．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空間向量，，滿(mǎn)足，，則
D．空間中，，，則
【答案】BC
【分析】由向量相等的條件和向量共線的定義判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與長(zhǎng)度相等，方向相同，有＝，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，空間向量，，滿(mǎn)足，，即與長(zhǎng)度相等方向相同，與長(zhǎng)度相等方向相同，
則有與長(zhǎng)度相等方向相同，有，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，時(shí)，滿(mǎn)足，，但不能得到，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
10．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示
B．方程表示的直線的斜率一定存在
C．直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為
【答案】BD
【分析】舉例說(shuō)明可判斷A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由直線方程求得直線的斜率判斷B選項(xiàng)；由傾斜角的直線的斜率不存在判斷C選項(xiàng)；由兩點(diǎn)求斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，如但不能用表示，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，方程表示的直線的斜率為－m，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則直線斜率不存在，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線斜率，而，則直線斜率存在，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程可知，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
11．已知直線和圓，則（ ）
A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)
B．圓心C到直線l的最大距離是.
C．直線l與圓O相交
D．若，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為4
【答案】ABC
【分析】首先，改寫(xiě)直線方程形式，判斷定點(diǎn)，即可判斷AC；當(dāng)圓內(nèi)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，圓心到直線的距離最大；D.利用弦長(zhǎng)公式求解.
【詳解】對(duì)于A、C，由，得，令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；
對(duì)于B，設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，弦中點(diǎn)為，則，為到直線的距離的最大值，,圓心C到直線l的最大距離為，故B正確；
對(duì)于D， 時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．設(shè)直線：，：，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，直線與不重合
B．當(dāng)時(shí)，直線與相交
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BD
【分析】舉出反例判斷A；聯(lián)立，結(jié)合是否為0，討論方程組解的情況，判斷直線的位置關(guān)系，判斷，討論是否為0，結(jié)合可判斷兩直線是否垂直，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，時(shí)，若,,且時(shí)，
兩直線：，：重合，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，聯(lián)立 ，可得,
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組有唯一一組解，
故直線與相交，B正確；
對(duì)于C，時(shí)，若，則無(wú)解，
此時(shí)；
若，則有無(wú)數(shù)多組解，
此時(shí)重合，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則由可得，
即兩直線斜率之積等于，故；
若,則可得，此時(shí)滿(mǎn)足，
直線：，：，
此時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，，D正確，
故選：
三、填空題
13．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即為對(duì)稱(chēng)圓圓心，又因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓半徑不變，從而求出對(duì)稱(chēng)圓的方程.
【詳解】圓，即，
表示以為圓心，半徑為1的圓，
設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，
解得，，
故圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故對(duì)稱(chēng)圓的圓心為，
因?yàn)閷?duì)稱(chēng)圓半徑不變，所以對(duì)稱(chēng)圓半徑為1，
故所求對(duì)稱(chēng)圓方程為.
故答案為：.
14．已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為
【答案】6
【分析】因?yàn)榉ㄏ蛄慷x，把轉(zhuǎn)化為，可得k的值.
【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
又因?yàn)椋?，可得，即?
故答案為：6.
15．直線與圓：相交于，兩點(diǎn)．則面積的最大值為 ．
【答案】2
【分析】由題知直線過(guò)點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而設(shè)，，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.
【詳解】解：將直線整理得，所以直線過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)?，所以在圓內(nèi)，
連接，則，設(shè)，如圖，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)直線與垂直時(shí)，取最小值，
所以在中，
所以，當(dāng)且僅當(dāng).
故答案為：
16．已知圓與圓外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為
【答案】4
【分析】利用兩圓的外切關(guān)系先計(jì)算，再根據(jù)圓上一動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值計(jì)算即可.
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
可得，其半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得，
可得圓的半徑為，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為.
故答案為：4.
四、解答題
17．求滿(mǎn)足下列條件的直線方程．
(1)直線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入，求得的值，即可求解；
（2）設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入，求得的值，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得，解得，
故所求直線的方程為；
（2）解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，
故所求直線的方程為．
18．已知圓，直線．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無(wú)論m為何實(shí)數(shù)）；（3）.
【分析】（1）將直線方程整理為關(guān)于參數(shù)m的方程，可令求解，即可證結(jié)論.
（2）由（1）所得定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）由圓的弦長(zhǎng)與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為，又，
∴，解得，
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)．
（2）圓心，，
∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無(wú)論m為何實(shí)數(shù)）．
（3）當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓心到直線l的距離．
∴此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為．
19．已知圓：和圓：.
(1)判斷圓和圓的位置關(guān)系；
(2)過(guò)圓的圓心作圓的切線，求切線的方程.
【答案】(1)圓與圓外離
(2)或
【分析】（1）由圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出未知系數(shù)即可.
【詳解】（1）因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
所以圓和圓的圓心距，所以圓與圓外離.
（2）根據(jù)題意知切線有斜率，設(shè)所求切線的方程為：，即，
所以到的距離，解得.
所以切線的方程為或
20．如圖，平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，．請(qǐng)用空間向量的知識(shí)解答下列問(wèn)題：
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面DCE所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；
(2)求平面的一個(gè)法向量和直線的方向向量，求兩向量的夾角余弦，由此可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，．
∴，，∴．
所以，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）由（1）知，，，
因?yàn)?，所?br>又，平面，，
所以平面，
所以為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
∴直線與平面所成角的正弦值為．
21．平面直角坐標(biāo)系中，直線，設(shè)圓經(jīng)過(guò)，，圓心在上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)圓上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足過(guò)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為，四邊形的面積為10，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用代入法，通過(guò)解方程組進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，，圓心在上，
所以有，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形的面積10，而四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成， 的面積為5，即，又，，
，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，以5為半徑的圓，
即點(diǎn)P在圓
又點(diǎn)P在圓 上，
圓E與圓有公共點(diǎn)．
，即，
解得 ．實(shí)數(shù)m的取值范圍為
22．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中且.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)P在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程;
(3)若點(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）設(shè)出，由題意列出方程，化簡(jiǎn)得到點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）利用相關(guān)點(diǎn)法求解點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）表示的幾何意義為圓心為，半徑為2的圓上的點(diǎn)與連線的斜率，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合求出最值，從而求出取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)，則，
化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)P的軌跡方程為；
（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
將代入中，得到，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，
所以，變形為，
即點(diǎn)為圓心為，半徑為2的圓上的點(diǎn)，
則表示的幾何意義為圓上一點(diǎn)與連線的斜率，如圖：
當(dāng)過(guò)的直線與圓相切時(shí)，取得最值，
設(shè)，
則由點(diǎn)到直線距離公式可得：，
解得：或·，
故的取值范圍是.

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