一、單選題
1．?dāng)?shù)列中，，，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知等式證明數(shù)列為等差數(shù)列，即可寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
則.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.
【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.
故選：C.
3．宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲(chǔ)方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡(jiǎn)便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個(gè)三角垛，底層是每邊為n個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一個(gè)圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（ ）
A．45B．40C．35D．30
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第層的圓球總數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式，再將，，代入求解即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，第1層的圓球總數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，第2層的圓球總數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，第3層的圓球總數(shù)為，
．
所以第層的圓球總數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故．
故選：B．
4．如圖，在三棱錐中，設(shè)，，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.
【詳解】，
，
，
，
故選：A.
5．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】C
【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用圓與準(zhǔn)線相切即得．
【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
拋物線的準(zhǔn)線為，
所以，
∴，
故選：C.
6．橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入橢圓得，
兩式相減得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直線的斜率為，
故選：C.
7．一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過的路程和是(結(jié)果保留到個(gè)位)（ ）
A．300米B．299米
C．199米D．166米
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到小球經(jīng)過的里程，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】由題意，可得小球10次著地共經(jīng)過的路程為：
米
故選：A.
8．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線AB交拋物線于點(diǎn)A，B，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則

A．4B．5
C．6D．7
【答案】B
【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為，，，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，由拋物線的定義可得，由幾何關(guān)系可得，易得，即可求出直線AB的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，即可求得故，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為，，，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，
則，
那么，易得，
于是直線AB的方程為，
代入，得，故，
所以．故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，拋物線的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為、,則有如下結(jié)論：(1) ;(2)，.
二、多選題
9．已知曲線：，：，則（ ）
A．的長軸長為4B．的漸近線方程為
C．與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D．與的離心率互為倒數(shù)
【答案】BD
【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】可知曲線：是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距長為，
則，可得，離心率為，
故曲線的長軸長，故A不正確；
可知曲線：是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，半焦距長為，
則，可得，離心率為，
故與曲線的焦點(diǎn)位置不同，故C不正確；
雙曲線：的漸近線方程為，故B正確；
又因?yàn)?，所以與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.
故選：BD.
10．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．為鈍角D．在方向上的投影向量為
【答案】BD
【分析】利用向量垂直，平行的坐標(biāo)關(guān)系判斷A，B，根據(jù)向量夾角公式判斷C，根據(jù)投影向量和投影數(shù)量的關(guān)系計(jì)算求解判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，不垂直，A錯(cuò)，
因?yàn)?，所以，B對(duì)，
因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯(cuò)，
因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄?，D對(duì)，
故選：BD.
11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．
C．當(dāng)取得最大值時(shí)，D．
【答案】AD
【分析】由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合已知條件可得，，從而得且，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】，所以，
，
所以，所以且，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，取得最大值．故AD正確，BC錯(cuò)誤．
故選：AD．
12．在邊長為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．異面直線與MN所成的角為
B．二面角的正切值為
C．點(diǎn)C到平面BMN的距離是點(diǎn)到平面BMN的距離的2倍
D．過A，M，N三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的周長是
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A，連接，可得異面直線與MN所成的角，然后在中求解即可，對(duì)于B，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷，對(duì)于C，利用等體積法求解，對(duì)于D，作出截面，再求其周長
【詳解】對(duì)于A，連接，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)椤?，所以∥，所以異面直線與MN所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以異面直線與MN所成的角為，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，
向量為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，則
，
所以
所以，所以B正確，
對(duì)于C，設(shè)，分別到平面的距離為，
因?yàn)椋?br>所以,
所以，
所以，所以，
所以點(diǎn)C到平面BMN的距離是點(diǎn)到平面BMN的距離的2倍，所以C正確，
對(duì)于D，作直線，分別延長交于，
連接交于，連接交于，連接，則五邊形為過A，M，N三點(diǎn)的截面，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以，
因?yàn)椤?，所以?br>所以，
所以，
所以，，
同理可得，，
所以五邊形的周長為，所以D正確，
故選：BCD
三、填空題
13．在和之間插入兩個(gè)數(shù)，，使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則公差為 .
【答案】3
【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，即可得出公差.
【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其首項(xiàng)為，公差為，由題知，，，
即，解得.
故答案為：.
14．已知雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程，再代入計(jì)算即可
【詳解】雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)雙曲線的方程為,代入,可得,則雙曲線的方程為.
故答案為：
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則= .
【答案】
【分析】根據(jù)題中，利用 和 的關(guān)系式 來求解，注意時(shí)要檢驗(yàn)是否符合時(shí)的表達(dá)式.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以
所以；
所以；
所以當(dāng)時(shí)，是以2為公比的等比數(shù)列；
所以，
當(dāng)時(shí)，
所以，
故答案為：
16．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為
【答案】
【詳解】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.
利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.
【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可. 體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.
四、解答題
17．在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.
①與直線垂直；②過點(diǎn)；③與直線平行.
問題：已知直線過點(diǎn)，且___________.
（1）求直線的一般式方程；
（2）若直線與圓相交于點(diǎn)，，求弦的長.
【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.
【分析】選①：（1）求出直線的斜率，可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程即可；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長；
選②：（1）根據(jù)直線上兩點(diǎn)求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長；
選③：（1）由直線平行求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程即可；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長.
【詳解】方案一選條件①.
（1）因?yàn)橹本€的斜率為，又直線與直線垂直，
所以直線的斜率為，
依題意，直線的方程為，即.
（2）圓的圓心到直線的距離為.
又圓的半徑為，所以.
方案二選條件②.
（1）因?yàn)橹本€過點(diǎn)及，
所以直線的方程為，即.
（2）圓的圓心到直線的距離為.
又圓的半徑為，所以.
方案三選條件③.
（1）因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線平行，
所以直線的斜率為
依題意，直線的方程為，即.
（2）圓的圓心到直線的距離為.
又圓的半徑為，所以.
18．已知等差數(shù)列的公差，且是與的等比中項(xiàng).
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的前項(xiàng)和的最大值及對(duì)應(yīng)的的值.
【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且最大值為.
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，再結(jié)合條件，可求出，代入等差數(shù)列公式即可求出.
（2）根據(jù)條件求出，利用二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．
【詳解】（1）因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即
整理得：
因?yàn)?，，所?br>故
（2）（方法一）因?yàn)?，，所?br>所以
當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
故當(dāng)或時(shí)，取得最大值110.
（方法二）由，得
則當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
且最大值為
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理和計(jì)算能力，屬中檔題．
19．雙曲線上一點(diǎn)到左、右兩焦點(diǎn)距離的差為2．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可求出雙曲線的方程，
（2）由已知結(jié)合雙曲線的定義可求出，然后利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求出的面積
【詳解】（1）由題意得，得，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為，
（2）由（1）可得，所以，
不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以的面積為
20．已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用已知條件求公比和，再計(jì)算，即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，
故，即，故，，；
（2）由知，
①
又 ②
由①②得，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.
21．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是邊長為2正方形，，，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段上.
(1)求證：平面；
(2)若E為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；
（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫媲医痪€為，
又底面是正方形，所以，平面，
所以平面，平面，所以，
因?yàn)榈酌媸沁呴L為2正方形，所以，
又，，所以，所以，
又因?yàn)?，平面，所以平面?br>（2）因?yàn)槠矫?，底面是正方形?br>以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
，.
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
直線與平面所成角的正弦值為.
22．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為6.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
(2)設(shè)不與軸垂直的直線與點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，.若，求證：直線l過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，利用垂徑定理列方程即可得軌跡方程；
（2）設(shè)，將其和軌跡C聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入，可得的關(guān)系，代入，即可找到定點(diǎn)．
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，，到x軸距離為，x軸截得半弦長為3,
則，化簡(jiǎn)得；
所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.
（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)，則
由，得，
,
由韋達(dá)定理有：，.
從而，
即，則,
則直線，
故直線過定點(diǎn).

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