一、單選題
1．直線的傾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】求出直線的斜率，然后求解傾斜角．
【詳解】直線的斜率為：，
設(shè)傾斜角是，則，
可得．
故選：A．
2．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而得解.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
故選：．
3．若，，則（ ）
A．10B．3C．D．
【答案】D
【分析】先求出再利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式即可
【詳解】，
所以
故選：D
4．圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用圓的定義計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知原點(diǎn)到圓心的距離即該圓的半徑，
由兩點(diǎn)距離公式可知，
故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故選：A
5．若平面，的法向量分別為，，則（ ）
A．B．C．，相交但不垂直D．以上均不正確
【答案】C
【分析】應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值，即可判斷面面關(guān)系.
【詳解】由，而，
由所得向量夾角余弦值知：，相交但不垂直.
故選：C
6．直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【解析】先將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，再求圓心到直線的距離，然后解弦長(zhǎng)即可．
【詳解】因?yàn)?br>所以，
圓心到直線的距離為
直線被圓截得的弦長(zhǎng)；
故選：A．
【點(diǎn)睛】計(jì)算圓的弦長(zhǎng)通常使用幾何法簡(jiǎn)捷．也可使用代數(shù)法計(jì)算.
7．在雙曲線中，，且雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓方程求得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)和，根據(jù)求得，由此求得，進(jìn)而求得雙曲線的方程.
【詳解】橢圓方程可化為，因?yàn)?，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，
由，所以橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
因?yàn)椋?，由?br>所以雙曲線的方程為.
故選：A.
8．如圖所示，在底面為正三角形的三棱柱中，若平面ABC，，則與所成的角的大小為（ ）

A．60°B．45°C．90°D．120°
【答案】C
【分析】將正三棱柱組成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，連結(jié)，，則異面直線與所成的角，再利用勾股定理進(jìn)行求解.
【詳解】如圖所示，將正三棱柱組成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，連結(jié)，，
因?yàn)?
所以四邊形是平行四邊形，所以，
∴異面直線與所成的角，
∵，∴設(shè)，，
則，，
∵，∴.
故選：C.

二、多選題
9．以直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再得到拋物線方程.
【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，
故以和為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和.
故選：BD.
10．已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)空間向量基本定理知基底需不共面，從而進(jìn)行求解.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以共面，故不符題意；
對(duì)于B：假設(shè)存在，使得，
即，此方程組無(wú)解，即不存在，
所以假設(shè)不成立，所以不共面，故符合題意；
對(duì)于C：假設(shè)存在，使得，
即，此方程組無(wú)解，即不存在
所以假設(shè)不成立，所以不共面，故符合題意；
對(duì)于D：因?yàn)?，所以共面，故不符合題意；
故選：BC.
11．已知圓：，圓：，則（ ）
A．
B．圓與圓的公共弦所在直線方程為
C．圓與圓相離
D．圓與圓的公切線有2條
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：求得兩圓心坐標(biāo)，計(jì)算兩圓心之間距離；對(duì)B：將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程；對(duì)C：判斷與大小關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系；對(duì)D：根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷公切線的條數(shù).
【詳解】對(duì)于A，由已知，故，故A正確；
對(duì)于C，兩圓半徑，，故兩圓相交，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將兩圓方程與相減得公共弦所在直線方程，故B正確；
對(duì)于D，兩圓相交則兩圓的公切線有2條，故D正確；
故選：ABD
12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．平面
B．點(diǎn)C到平面的距離為
C．平面與平面夾角的余弦值為
D．正方體的內(nèi)切球半徑為
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷；對(duì)于B，利用點(diǎn)面距離的向量公式求解即可判斷；對(duì)于C，利用面面角的向量法求解即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，即可判斷
【詳解】
對(duì)于A，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，所以，
由于平面，所以平面，A正確；
對(duì)于B，由A可知，平面的一個(gè)法向量為，，
所以點(diǎn)到平面的距離為，B正確；
對(duì)于C，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，
則，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，
所以正方體的內(nèi)切球半徑為1，D錯(cuò)誤
故選：ABC
三、填空題
13．直線l1：和l2：的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】聯(lián)立兩直線方程解方程組即可.
【詳解】解方程組得
所以兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
14．經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方程為 .
【答案】
【分析】先求出斜率，再根據(jù)斜截式即可得解.
【詳解】直線的斜率，
所以直線方程為.
故答案為：.
15．已知直線過(guò)點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】
【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，
所以，
所以點(diǎn)到直線的距離為：
，
故答案為：
16．已知點(diǎn)，，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 .
【答案】
【分析】利用橢圓的定義結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由橢圓方程可知，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)P是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值.
故答案為：.
四、解答題
17．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求出橢圓的方程；
(2)求出橢圓的離心率及其長(zhǎng)軸長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)
【分析】由橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)得b，c的值，求得橢圓方程和離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng).
【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上，
所以，橢圓方程為：.
（2）由第一問(wèn)，得，，
所以橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng).
18．已知直線：.
(1)若直線在軸上的截距為2，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若直線與直線：平行，求兩平行線之間的距離.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)直線方程求得截距的表達(dá)式，解方程得出實(shí)數(shù)的值.
（2）根據(jù)平行得出參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩平行線之間的距離
【詳解】（1）由題意
在直線：中，
令，可得，
∴直線在軸上的截距為，
解得：；
（2）由題意及（1）得
在直線：中，
直線與直線：平行，
∴，
∴直線的方程可化為
∴兩平行線之間的距離為：.
19．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)求的值；
(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.
【答案】(1)6
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）寫(xiě)出向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式求出答案；
（2）求出，得到四點(diǎn)共面.
【詳解】（1）∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（2）證明：由（1）得：，
令，即，解得
∴.
故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.
20．如圖，底面是正方形，平面，，，點(diǎn)E、F分別為線段、的中點(diǎn).請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并解答下列問(wèn)題.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）以A為原點(diǎn)，、、所在直線對(duì)應(yīng)x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再論證即可；
（2）求得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面夾角為，由求解.
【詳解】（1）證明：∵平面，平面，
∴，，
又底面是正方形，則，
∴可以建立如圖所示以A為原點(diǎn)，、、所在直線對(duì)應(yīng)x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
∴，，
易知是平面的一個(gè)法向量，
∵，平面，
∴平面.
（2）由（I）知，，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有即
令，則，，
故平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面夾角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
21．已知圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的切線，求：
(1)圓的一般方程；
(2)圓過(guò)點(diǎn)的切線方程.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）設(shè)圓的一般方程為，代入三點(diǎn)的坐標(biāo)，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況，再結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求解.
【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為，
代入三個(gè)點(diǎn)得，解得
所以圓的一般方程為.
（2）圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為.
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，易知切線方程符合題意.
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
則依題意可得，解得，
此時(shí)切線方程為，即.
綜上所述，圓過(guò)點(diǎn)的切線方程為和.
22．已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為，且雙曲線C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求雙曲線C的方程
(2)若直線：與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)D在雙曲線C上，且軸.求證：直線過(guò)點(diǎn)F.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由雙曲線的定義和漸近線的方程求出即可；
（2）畫(huà)出圖像，設(shè)，，直曲聯(lián)立，得到用縱坐標(biāo)表示的韋達(dá)定理，再用坐標(biāo)寫(xiě)出向量，，利用向量共線的充分必要條件證明三點(diǎn)共線即可.
【詳解】（1）由右頂點(diǎn)為，得，
由雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得，即，∴，
∴雙曲線C的方程為.
（2）
由（）可知，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
由題意可知直線的斜率存在且不為0，∴，
設(shè)，，則，
由（）可知，雙曲線的漸近線方程為，
又直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則，即，且直線過(guò)定點(diǎn)作出圖像如上，
聯(lián)立消去得，
則，得，
，，則，
又，∴，，
∴，
∴，又，有公共點(diǎn)F，
∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，∴直線過(guò)點(diǎn)F
【點(diǎn)睛】第一問(wèn)由雙曲線的性質(zhì)和漸近線的定義直接得到；第二問(wèn)先根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)確定直線的大致位置，在設(shè)出，，坐標(biāo)，直曲聯(lián)立得到關(guān)于的韋達(dá)定理，然后再由向量共線的充分必要條件證明點(diǎn)在直線上.

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