一、單選題
1．若直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（ ）
A．－4B．4C．－3D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.
【詳解】直線l的斜率為．
故選：A.
2．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ）
A．，3B．，3
C．，1D．，1
【答案】A
【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得解.
【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.
故選：A.
3．已知直線過定點(diǎn)M，則點(diǎn)M關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意，聯(lián)立方程組求解定點(diǎn)，再求解點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用垂直平分性質(zhì)建立方程組求解即可.
【詳解】直線過定點(diǎn)，
由，解得，
則定點(diǎn)為.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
則關(guān)于直線r的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
4．拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式求出答案.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
故選：C
5．2023年7月20日中國太空探索又邁出重要一步，神州十六號航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮成功完成出艙任務(wù)，為國家實(shí)驗(yàn)室的全面建成貢獻(xiàn)了力量．假設(shè)神州十六號的飛行軌道可以看作以地球球心為左焦點(diǎn)的橢圓（如圖中虛線所示），我們把飛行軌道的長軸端點(diǎn)中與地面上的點(diǎn)的最近距離叫近地距離，最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離．設(shè)地球半徑為，若神州十六號飛行軌道的近地距離為，遠(yuǎn)地距離為，則神州十六號的飛行軌道的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，，解得，，得到離心率.
【詳解】根據(jù)題意：，，解得，，
故離心率.
故選：D
6．雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，一條漸近線的方程為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由橢圓方程求得半焦距，則漸近線方程及焦點(diǎn)位置設(shè)出雙曲線方程，再由半焦距求得參數(shù)值得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，∴，∴，∴.
故選:A.
7．17世紀(jì)，笛卡爾在《幾何學(xué)》中，通過建立坐標(biāo)系，引入點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，將代數(shù)對象與幾何對象建立關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化，打開了數(shù)學(xué)發(fā)展的新局而，創(chuàng)立了新分支——解析幾何.我們知道，方程在一維空間中表示一個(gè)點(diǎn)；在二維空間中，它表示一條直線；在三維空間中，它表示一個(gè)平面.那么，過點(diǎn)且為法向量的平面的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的特征判斷即可，再由在空間直角坐標(biāo)系中，若法向量為，且平面過點(diǎn)，那么平面方程為計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)是該平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則
過點(diǎn)且法向量為的平面的方程為，整理得.
故選：D
8．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，四邊形是等腰梯形，，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用橢圓的性質(zhì)得，再結(jié)合橢圓的定義求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.
【詳解】令橢圓的半焦距為c，依題意，，如圖，

由橢圓性質(zhì)知，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為長軸端點(diǎn)到相鄰焦點(diǎn)的距離，
于是，解得，，
在中，，
顯然，解得，
所以的離心率的取值范圍是.
故選：B
二、多選題
9．已知直線：，：，且，則（ ）
A．B．
C．與直線垂直D．與與間的距離為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)兩直線平行的系數(shù)要求，求出的值，然后根據(jù)垂直要求判斷直線是否垂直，根據(jù)平行線間距離公式求其距離.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則，解得或．
若，則：，：，，重合，故不符合題意；
若，則：，：，，所以與間的距離為．
由，得與直線垂直．
故選：ACD.
10．已知，分別是雙曲線：的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則（ ）
A．B．
C．的離心率為D．的漸近線方程為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)雙曲線方程及焦點(diǎn)位置求判斷A，根據(jù)雙曲線定義判斷B，求出離心率判斷C，求出漸近線方程判斷D.
【詳解】由題意，，且，
所以，解得，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋呻p曲線定義知，故B正確；
因?yàn)?，，所以，故離心率，故C正確；
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為，即，故D正確.
故選：BCD
三、單選題
11．已知圓：，圓：，則下列說法正確的是（ ）
A．圓與圓公共弦所在直線的方程為
B．圓與圓有兩條公切線
C．是圓與圓的一條公切線
D．圓與圓上均恰有兩點(diǎn)到直線的距離為2
【答案】C
【分析】根據(jù)兩圓圓心距離等于半徑和即可得兩圓外切判斷AB，根據(jù)直線與兩圓都相切判斷C，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑判斷D.
【詳解】由條件可得：圓：的圓心為，半徑；
圓：的圓心為，半徑.
因?yàn)?，所以圓與圓外切，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，圓心到直線的距離；
圓心為到直線的距離，
所以是圓與圓的一條公切線，選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，圓心到直線的距離，
所以圓：上有且僅有一點(diǎn)到直線的距離為2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C
四、多選題
12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與該橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在該橢圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．若，則
C．滿足為等腰三角形的點(diǎn)只有2個(gè)
D．的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)已知橢圓的焦點(diǎn)以及通經(jīng)，建立方程，解得標(biāo)準(zhǔn)方程；
對于A，利用動(dòng)點(diǎn)的位置變化，研究的取值范圍，可得答案；
對于B，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案；
對于C，利用分類討論，建立方程，求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案；
對于D，利用余弦定理結(jié)合的取值范圍，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，則，
將代入，則，解得，則，，
由，則，即，將其代入，可得，
化簡可得，由，解的，所以.
對于A，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大，如下圖：

由橢圓，則，，在中，，
易知此時(shí)，所以的取值范圍為，故A正確；
對于B，根據(jù)題意可作圖如下：

設(shè)，，則，，
在中，根據(jù)余弦定理，則，
所以，整理可得，
則，故B正確；
對于C，設(shè)，，則，，
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，易知此時(shí)的坐標(biāo)為或，
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)，設(shè)，
則，消去化簡可得，
由，則方程有解，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)，，則，
則，
在中，根據(jù)余弦定理可得：，
則，
化簡可得，由選項(xiàng)A可知，
則，，所以，
解得，故D正確.
故選：ABD.
五、填空題
13．已知傾斜角為45°的直線經(jīng)過點(diǎn)，，則的值為 .
【答案】4
【分析】已知傾斜角可以求出斜率，利用斜率公式，可以得到方程，解方程求出的值.
【詳解】由題意可知：直線的斜率，.
【點(diǎn)睛】本題考查了斜率與傾斜角的關(guān)系、斜率的公式,同時(shí)考查了運(yùn)算能力.
14．過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為 ．
【答案】2x＋y－7＝0
【解析】過一點(diǎn)作圓的切線只有一條，說明點(diǎn)在圓上，根據(jù)垂直關(guān)系即可求該切線方程.
【詳解】∵過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，
∴點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝＝，
∴切線的斜率為－2，
則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
故答案為：2x＋y－7＝0
【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，過一點(diǎn)作圓的切線的條數(shù)與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的辨析.
15．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】
不妨設(shè)正方體棱長為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
則，.
故答案為：.
六、雙空題
16．已知直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)，與C相交于兩點(diǎn)，且.若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則 ；直線l的斜率為 .
【答案】 4
【分析】先利用拋物線定義求得的值，再利用設(shè)而不求的方法依據(jù)弦長公式列方程，解之即可求得直線l的斜率.
【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，
令，由，
可得
又，則，則，
此時(shí)拋物線C：，其焦點(diǎn)，
由題意可得直線l的斜率存在，則其方程可設(shè)為，
由，整理得
則，則，
即，
即，解之得
故答案為：4，
七、解答題
17．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)求AB邊中線所在直線的方程；
(2)求△ABC外接圓的一般方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式可求出AB邊中線所在直線的方程；
（2）設(shè)△ABC的外接圓為，然后解方程組可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)椋?br>所以AB邊中線所在直線的方程為，即；
（2）設(shè)△ABC的外接圓為，則
，解得，
所以圓方程為.
18．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明與平面的法向量垂直即可； (2)利用空間向量求線面角即可.
【詳解】（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一個(gè)法向量．
因?yàn)椋?br>所以．
又平面，所以平面．
（2）因?yàn)?，，，，?br>所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則
由，解得，令，
得平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
故：直線與平面所成角的正弦值為．
19．（1）求焦點(diǎn)在軸上，離心率為，短軸長為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)橢圓方程，根據(jù)離心率和短軸長，求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)雙曲線方程，根據(jù)漸近線方程，過點(diǎn)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1）由題設(shè)所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題，即，
又，，解得，
所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）法1：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)得①
由雙曲線的漸近線方程為得②
由①②解得，，，
此時(shí)，所求雙曲線方程為.
（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)得①
由雙曲線的漸近線方程為得②
不存在同時(shí)滿足①②的，.
綜上所述，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
法2：由漸近線方程為可設(shè)所求雙曲線的方程為，
又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則有，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
20．已知拋物線C：過點(diǎn)，焦點(diǎn)為F．
(1)求過點(diǎn)P的拋物線C的切線方程；
(2)從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)P被拋物線C反射，求反射光線所在的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線C過點(diǎn)，求得拋物線C的方程后，設(shè)出切線方程，直線與拋物線聯(lián)立，消元后，利用，解出即可；
（2）根據(jù)反射關(guān)系，求出點(diǎn)F關(guān)于過點(diǎn)P的拋物線C的切線方程的對稱點(diǎn)，然后可以得到反射光線所在的直線.
【詳解】（1）由拋物線C：過點(diǎn)得，
解得，所以，所求拋物線C的方程為．
由題可設(shè)切線方程為，
聯(lián)立，
消去x并整理得：，
令，
解得，
所以，所求切線方程為．
（2）由題點(diǎn)F發(fā)出的入射光線所在的直線與反射光線所在的直線關(guān)于拋物線C在點(diǎn)P處的切線l對稱，又,
設(shè)點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)P處的切線l的對稱點(diǎn)為，
則由的中點(diǎn)在l上及得：，
解得，即，
所以，所求反射光線所在的直線方程為．
21．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn).請用空間向量的知識解答下列問題：

(1)求證：；
(2)求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可得證；
（2）求出平面的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）直三棱柱中，平面，又，所以兩兩互相垂直，
以A為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，
，
，
即.
（2）由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，可得，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
所以，
又平面的一個(gè)法向量可取，
所以.
所以平面和平面夾角的余弦值為.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)直線交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由橢圓的定義得到軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式和位置關(guān)系得到，表達(dá)出，四邊形的面積，求出最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由橢圓定義，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，
設(shè)橢圓方程為，
則，∴
又∵，則，
∴橢圓的方程為；
（2）由，解得或，
因此.
設(shè)直線的方程為，設(shè)，.
由得.
，故.
又，的交點(diǎn)在，之間，故.
因?yàn)橹本€的斜率為1，
所以.
又四邊形的面積，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以四邊形面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．

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