一、單選題
1．已知傾斜角為的直線過，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據傾斜角與斜率的關系求解.
【詳解】由題意，解得,
故選：C．
2．已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據離心率求出，再根據雙曲線的漸近線方程即可得解.
【詳解】設雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
3．以為頂點的三角形是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．以為直角頂點的直角三角形D．以為直角頂點的直角三角形
【答案】D
【分析】通過斜率證明兩直線垂直，得到三角形形狀.
【詳解】直線的斜率，直線的斜率，
由，所以，
故是以為直角頂點的直角三角形．
故選：D
4．已知等差數列共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為（ ）
A．100B．105C．90D．95
【答案】A
【分析】等差數列前n項和公式的應用
【詳解】由，有，偶數項的和為100．
故選：A
5．直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
【答案】C
【分析】求出直線恒過的定點，判斷定點與圓的位置關系.
【詳解】由題知，圓心坐標，半徑，
將直線化為點斜式得，
知該直線過定點，
又，故該定點在圓內，
所以該直線與圓必相交.
故選：C
6．已知數列對任意滿足，則（ ）
A．4040B．4043C．4046D．4049
【答案】B
【分析】根據數列的遞推公式可知相鄰的奇數項或者偶數項成等差數列，寫出的表達式即可求出結果.
【詳解】由可得；
兩式相減可得；
即相鄰的奇數項或者偶數項成等差數列，且公差為4，
所以可得，即；
當時，，因此.
故選：B
7．剛考入大學的小明準備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時通過勤工儉學來分期還款．小明與銀行約定：每個月還一次款，分10次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為．則小明每個月所要還款的錢數為（ ）元．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】表示出第10個月末所欠銀行貸款數，因為分10次還清所有的欠款，故得到方程，求出答案．
【詳解】設小明每個月所要還款的錢數為元，根據等額本息還款法可得，
第一個月末所欠銀行貸款為：，
第二個月末所欠銀行貸款為：,，
……，
第10個月末所欠銀行貸款為：
由于分10次還清所有的欠款，故，解得，
故選：D．
8．斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為，則的范圍是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由點在橢圓內有求m范圍，設直線方程聯立橢圓整理為一元二次方程形式，則必有，，結合韋達定理有，即可求的范圍.
【詳解】由題設，在橢圓內，則，
設直線代入橢圓，

整理得且，則，
由圖知：直線斜率不可能為0，所以，故或.
故選：C
二、多選題
9．已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線過點B．直線的斜率為
C．直線在上的截距為D．直線在上的截距為
【答案】BD
【分析】根據直線，對各個選項分析判斷即可求出結果.
【詳解】選項A，因為，即直線不過點，所以選項A不正確；
又由，得到，所以直線斜率為，在上的截距為，所以選項BD正確，
又由直線，令，得到，所以選項C錯誤，
故選：BD.
10．若為等比數列，則下列數列中是等比數列的是（ ）
A．B．（其中且）
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據給定條件，利用等比數列定義直接判斷作答.
【詳解】因為等比數列，設其公比為，則有，
對于A，是非零常數，數列是等比數列，A是；
對于B，且，是非零常數，數列是等比數列，B是；
對于C，是非零常數，是等比數列，C是；
對于D，顯然，為等比數列，而，數列不是等比數列，D不是.
故選：ABC
11．已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列選項正確的是（ ）
A．B．以MF為直徑的圓與軸相切
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據拋物線的定義結合已知條件判斷AB；先求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果判斷C；根據拋物線的性質結合三角形的面積公式求解判斷D.
【詳解】依題意，拋物線的焦點為，準線方程為，
對于A，由，得，A正確；
對于B，顯然的中點的橫坐標為，則該點到軸的距離，
所以以為直徑的圓與軸相切，B正確；
對于C，當時，，解得，即，則，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD

12．已知與，則下列說法正確的是（ ）
A．與有2條公切線
B．當時，直線是與的公切線
C．若分別是與上的動點，則的最大值是3
D．過點作的兩條切線，切點分別是，則四邊形的面積是
【答案】BD
【分析】根據圓心距和半徑之間的關系可判斷A；計算圓心到直線的距離可判斷B；結合兩圓外切求得的最大值判斷C；求出弦長即可求得四邊形的面積判斷D.
【詳解】由題意知的圓心，半徑的圓心，半徑，所以，
所以與相外切，有3條公切線，錯誤；
當時，點到直線的距離，
即與相切；
點到直線的距離，
即與相切；
所以直線是與的公切線，正確；
由于與相外切，故的最大值為，C錯誤；
連接，則，
根據勾股定理可得，

所以四邊形的面積，D正確.
故選：BD.
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是明確兩圓的位置關系，即判斷出兩圓外切，則圓的公切線問題即可解決.
三、填空題
13．兩條平行直線與間的距離是 ．
【答案】1
【分析】根據平行關系求得a的值，再利用平行線間的距離公式求解即可.
【詳解】因為直線與平行，故．
可得符合題意，
由平行線距離公式可得所求為．
故答案為：1
14．若滿足：，則滿足上述條件數列的一個通項公式為 ．
【答案】
【分析】根據條件，數列單調遞減，且，寫出符合要求的即可.
【詳解】因為，即數列單調遞減，
所以滿足上述條件數列的一個通項公式可以為．
故答案為：.（答案符合條件即可）
15．定義：點P為曲線外的一點，A，B為曲線上的兩個動點，當取最大值時，為點P對曲線的張角．已知點P為直線l：上的動點，A，B為圓O：上的兩個動點，設點P對圓O的張角為，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】當過點O的直線與直線l垂直時張角最大，即可求解.
【詳解】由題可知點P在圓O外，當PA，PB均與圓O相切時，
最大，則也最大，此時．
要使最大，則最小，又的最小值為點O到直線l的距離，
所以，所以．
故答案為：

16．已知，是橢圓的左右頂點，是雙曲線在第一象限上的一點，直線，分別交橢圓于另外的點，．若直線過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【分析】由直線斜率公式結合點在曲線上可得，從而求得，進而結合正切的定義即可求解．
【詳解】由題意可知，，
設，可得直線的斜率分別為，，
因為點在雙曲線上，則，整理得，所以，
設點，可得直線，的斜率，，
因為點在橢圓上，則，整理得，
所以，即，
則，所以直線與關于軸對稱，
又因為橢圓也關于軸對稱，且，過焦點，則軸，
又，則，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以橢圓的離心率為．
故答案為：．

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；
齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；
特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
四、解答題
17．已知直線過點．
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程
(2)若直線在兩坐標軸的截距互為相反數，求直線的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根據直線方程垂直設出方程求解未知數即可；
（2）根據截距的概念分類討論求方程即可.
【詳解】（1）因為直線與直線垂直，
所以可設直線的方程為，
因為直線過點，所以，解得，
所以直線的方程為
（2）當直線過原點時，直線的方程是，即．
當直線不過原點時，設直線的方程為，
把點代入方程得，所以直線的方程是．
綜上，所求直線的方程為或
18．已知等差數列的前n項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，根據等差數列的定義以及通項公式，可得答案；
（2）由題意，根據裂項相消的求和方法，可得答案.
【詳解】（1）由題意得：，所以是公差為2的等差數列，則；
（2）由題知
則
19．圓：內有一點，過的直線交圓于，兩點.
(1)當為弦中點時，求直線的方程；
(2)若圓與圓：相交于，兩點，求的長度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂徑定理得⊥，根據得到，從而求出直線的方程；
（2）先求出公共弦方程，即直線的方程為，由點到直線距離公式和垂徑定理求出答案.
【詳解】（1）因為為弦中點，由垂徑定理得⊥，
因為，所以，
故直線的方程為，即；
（2）與相減得，，
即直線的方程為，
圓心到直線的距離為，
由垂徑定理得的長度為.
20．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 ?軸，且經過點?.
(1)求拋物線方程;
(2)若直線 ?與拋物線交于?兩點，且滿足?，求證: 直線?恒過定點，并求出定點坐標.
【答案】(1)
(2)定點，證明見解析
【分析】（1）根據拋物線過點，代入即可求出結果;
（2）由題意直線方程可設為，將其與拋物線方程聯立，根據韋達定理，化簡求解，即可求出定點.
【詳解】（1）由題可知，拋物線的開口向右，
設拋物線方程為 ?，
因為經過點?，
所以 ?，解得?
所以，拋物線的標準方程為: ?.
（2）如圖，
設直線 ?的方程為:?，
聯立方程 ?
消 ?有：?
由于交于?兩點，設?，
則 ?，即?，
?，
由 ?.
則 ?.
解得: ?，驗證滿足條件.
所以直線 ?的方程為?，
即證直線?恒過定點.
21．各項均為正數的數列的前項和記為，已知，且對一切都成立．
(1)求數列的通項公式；
(2)在和之間插入個數，使這個數組成等差數列，將插入的個數之和記為，其中．求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，進而可得，再利用退一相減法可得；
（2）利用等差數列等差中項的性質可得，再利用錯位相減法可得前項和.
【詳解】（1）由，
得，
所以，
所以，
當時，，
所以，
所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以；
（2）由已知在和之間插入個數，這個數組成等差數列，
所以，
設數列的前項和為，
則，
，
所以，
所以.
22．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：

步驟1：設圓心是，在圓內異于圓心處取一定點，記為；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點（即折疊后圖中的點與點重合）；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與的交點為；
步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.
現取半徑為4的圓形紙片，設點到圓心的距離為2，按上述方法折紙．以線段的中點為原點，線段所在直線為軸建立平面直角坐標系，記動點的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)直線與在第一象限內交于點，直線與交于兩點（均異于點），則直線的斜率之和是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值為0
【分析】（1）由，故點的軌跡是以為焦點的橢圓，根據已知數據求出方程即可；
（2）直線與橢圓聯立方程組，利用韋達定理表示直線的斜率之和，化簡即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
故點的軌跡是以為焦點，且長軸長的橢圓，焦距，
所以，
所以曲線的方程為．
（2）把代入曲線的方程，求得．
設，

聯立，消去得，
則，得，
，
則
，
所以直線的斜率之和為定值0．
【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．要強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

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