一、單選題
1．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，－1)，B(，2)，則l的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】結(jié)合已知條件，利用兩點(diǎn)求斜率和斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.
【詳解】因?yàn)閘經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2－1)，B(，2)，
所以由兩點(diǎn)求斜率和斜率與傾斜角關(guān)系得，，
故.
故選：C.
2．拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】得出焦點(diǎn)位置和即可得出.
【詳解】由化為，拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸，且，
則準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
3．某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為（ ）
A．58B．60C．61D．62
【答案】C
【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.
【詳解】注意到，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為第9，第10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為.
故選：C
4．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求得雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)求解.
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓的方程是，
故選：C.
5．直線關(guān)于點(diǎn)P（2，3）對(duì)稱的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題可得和平行，設(shè)出方程，根據(jù)點(diǎn)P到兩直線距離相等即可求出.
【詳解】因?yàn)楹完P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則兩直線平行，可設(shè)方程為（），
點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則，解得或3（舍去），
所以直線的方程是.
故選：A.
6．如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為4米時(shí)，水面寬AB為米，則當(dāng)水面寬度為米時(shí)，拱頂M到水面的距離為（ ）
A．4米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】將代入雙曲線得到，當(dāng)?shù)玫?，得到答?
【詳解】根據(jù)題意：，，故，解得，即，
當(dāng)水面寬度為米時(shí)，即時(shí)，，
拱頂M到水面的距離為.
故選：D
7．過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】當(dāng)最小時(shí)，和垂直，求出直線的斜率，用點(diǎn)斜式求得直線的方程．
【詳解】
圓：的圓心為，
當(dāng)最小時(shí)，圓心到直線的距離最長(zhǎng)，此時(shí)，和垂直，
∵
∴直線的斜率等于，
用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程為，即，
故選：B.
8．如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線與BF交于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，由兩點(diǎn)間斜率公式求出直線的斜率與直線的斜率，由題意，直線的斜率與直線的斜率的積為，聯(lián)立橢圓中，即可求出橢圓的離心率．
【詳解】解：設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)
則直線的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因?yàn)?，所以?br>故選：B．
二、多選題
9．已知直線，和直線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)B．當(dāng)時(shí)，
C．直線過(guò)定點(diǎn)，直線定點(diǎn)D．當(dāng)平行時(shí)，兩直線的距離為
【答案】AD
【分析】A選項(xiàng)：把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線垂直時(shí)，斜率相乘為，直接判斷即可；
B選項(xiàng)，把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線平行時(shí)，斜率相等判斷即可；
C選項(xiàng)，把直線的方程變形，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的定義判斷即可；
D選項(xiàng)，由直線平行時(shí)，斜率相等，可求得得值，排除重合情況，再利用平行直線的距離公式直接求解即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，那么直線為，直線為，
此時(shí)兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，那么直線為，直線為，此時(shí)兩直線重合，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由直線：，整理可得： ，故直線過(guò)定點(diǎn)，
直線：，整理可得：，故直線過(guò)定點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)，平行時(shí)，兩直線的斜率相等，即，解得：或，
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線為，為，
此時(shí)兩直線的距離，故D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
10．已知圓，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．直線與圓C的相交弦長(zhǎng)為
B．圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為
C．若點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為
D．若圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則或
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，求出直線到圓心距離，再利用垂徑定理結(jié)合勾股定理可得答案.
對(duì)于B，相當(dāng)于求以點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為圓心，半徑不變的圓的方程.
對(duì)于C，注意到，結(jié)合范圍可得答案.
對(duì)于D，題目等價(jià)于直線到圓心距離為，進(jìn)而可得答案.
【詳解】圓
對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)到圓心距離為.又圓C半徑為.
所以直線與圓C的相交弦長(zhǎng).故A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，又關(guān)于直線對(duì)稱的圓半徑不變.
則圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故B正確.
對(duì)于選項(xiàng)C，由圓C：，可得.
又，得，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D，圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于等價(jià)于
直線到圓心距離.
則，得或.故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題A，B，C選項(xiàng)所涉知識(shí)較為基礎(chǔ)，選項(xiàng)D涉及的結(jié)論為：
設(shè)直線l與圓O相交，l到O距離為d，圓O半徑為r，圓上一點(diǎn)P到l距離為.
（1）若，滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè).
（2）若，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)
（3）若，滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)
（4）若，滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)
（5）若，滿足條件的點(diǎn)P有1個(gè)
11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該雙曲線的離心率為B．該雙曲線的漸近線方程為
C．若，則的面積為D．點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為
【答案】BD
【分析】利用雙曲線的離心率公式可判斷A選項(xiàng)；求出雙曲線的漸近線方程可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義以及三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，，該雙曲線的離心率為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，該雙曲線的漸近線方程為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，
所以，，可得，
故，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，
雙曲線的兩漸近線方程分別為、，
所以，點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為，D對(duì).
故選：BD.
12．已知是左右焦點(diǎn)分別為的橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， ,下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．的最大值為
C．存在點(diǎn)，使D．的最大值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于選項(xiàng) 由橢圓的定義可得選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)由橢圓的性質(zhì)可知，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，又由橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，最大，所以，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確，
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)由題設(shè)可得：，，
由橢圓的定義可得：，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)由橢圓的性質(zhì)可知：（當(dāng)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)取““，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，又由橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，所以，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法解決：
（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.
（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍.
（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；
（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式.
（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.
三、填空題
13．若方程表示橢圓，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據(jù)方程的形式可得關(guān)于的不等式組，從而可得的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)可得，解得.
故答案為：.
14．一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【詳解】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.
【解析】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與雙曲線交于點(diǎn)，．若，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形是矩形，結(jié)合雙曲線定義即可求出與，從而得出面積．
【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形的對(duì)角線互相平分且相等，
所以四邊形是矩形．
設(shè)，，
則．
因?yàn)椋?br>所以，
化簡(jiǎn)得，
所以四邊形的面積為．
故答案為：
16．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】分析：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，連接．由線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，可得，所以．因?yàn)?，由因?yàn)?，所以．變形可得，進(jìn)而可得，所以．根據(jù)橢圓的離心率，可得．
詳解：
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，連接，
∵的中垂線過(guò)點(diǎn)，
∴，可得，
又∵，且，
∴，即，
∴，，結(jié)合橢圓的離心率，得，
故離心率的取值范圍是．
點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率，應(yīng)從條件得到關(guān)于的關(guān)系式．解題過(guò)程注意的關(guān)系．
（1）直接根據(jù)題意建立的等式求解；
（2）借助平面幾何關(guān)系建立的等式求解；
（3）利用圓錐曲線的相關(guān)細(xì)則建立的等式求解；
（4）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立的等式求解．
四、解答題
17．（1）直線經(jīng)過(guò)兩直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
（2）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離等于，求直線的方程.
【答案】（1）或；
（2）或.
【分析】（1）根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線的截距式方程即可求解；
（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程和點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，，解得，
所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即.
當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得,
所以直線的方程為，即.
綜上，所求直線的方程為或.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，滿足題意；
當(dāng)直線的斜率不時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離等于，所以，解得，
所以直線的方程為，即.
綜上，所求直線的方程為或.
18．新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)?，，…，分成?組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）．
(1)求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求這組中至少有1人被抽到的概率．
【答案】(1)，平均分為；
(2)
【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可計(jì)算出值，然后用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率再相加可得平均值；
（2）由頻率分布直方圖得出成績(jī)位于和上的人數(shù)，并編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出隨機(jī)抽取的2人的所有基本事件，由概率公式計(jì)算概率．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，，，
平均分為；
（2）由頻率分布直方圖得出成績(jī)位于和上的人數(shù)比為，
抽取的6人中成績(jī)位于上的有4人，編號(hào)為1，2，3，4，位于上的有2人，編號(hào)為，
從這6人中任取2人的基本事件有：共15個(gè)，其中這組中至少有1人被抽到的基本事件有共9個(gè)，所以所求概率為．
19．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線E：的一個(gè)焦點(diǎn)重合．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先由雙曲線的焦點(diǎn)，可得，解出即可求解;
（2）根據(jù)拋物線的定義可得，從而可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義可求解.
【詳解】（1）∵雙曲線E：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
又拋物線（）的焦點(diǎn)，
∴，即.
∴拋物線C的方程為.
（2）設(shè)，，由拋物線定義，
知，
∴，于是線段的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，
又準(zhǔn)線方程是，
∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于.
20．如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，．

（1）求橢圓的離心率；
（2）已知的面積為，求a，b的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用，求橢圓的離心率；
（2）設(shè)，則，利用余弦定理以及已知的面積為，直接求， 的值．
【詳解】解：（1）
；
（2）設(shè)；則，在中， ，
面積
．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
21．已知圓的半徑為2，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切．
(1)求圓的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓心在軸正半軸注設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)直線與圓相切得到，解方程得到，然后寫(xiě)圓的方程即可；
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立直線和圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理和列方程得到，然后利用幾何法求弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到點(diǎn)到直線的距離，最后根據(jù)三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得或（舍去），
所以圓的方程為.
（2）
設(shè)，，直線：，
聯(lián)立得，
，解得，
所以，，，
因?yàn)?，，?br>所以，解得或（舍去），
所以直線：，圓心到直線的距離，
，點(diǎn)到直線的距離，
所以.
22．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.
【分析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用即可求出m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ，解得， ∴橢圓方程為；
（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，
所以設(shè)直線的方程為，
由消元，得
∵直線l與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，
所以，解得，
所以m的取值范圍為.
（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，
設(shè)，由（Ⅱ）可知，
則，
由，
而
，，
故直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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