2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市濱海縣東元高級(jí)中學(xué)、射陽(yáng)高級(jí)中學(xué)等三校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線傾斜角得到斜率，點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】傾斜角為的直線斜率為1，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，即.故選：D2．直線的傾斜角為，則（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由直線的傾斜角求直線的斜率，結(jié)合直線方程得的值.【詳解】直線傾斜角為，所以斜率為，即，解得.故選：B3．直線繞它與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線傾斜角的變化與點(diǎn)斜式方程求解，【詳解】直線與軸的交點(diǎn)為，斜率為，傾斜角為，則直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，斜率為，直線的方程為，即故選：A4．圓和的位置關(guān)系是（    ）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【分析】由圓與圓的位置關(guān)系判斷，【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D5．設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】作出圖形，結(jié)合直線相交關(guān)系及斜率公式可求答案.【詳解】如圖，直線的斜率為；直線的斜率為；當(dāng)直線與線段相交時(shí)，則的斜率的取值范圍是或.故選：B.  6．與圓及圓都外切的圓P的圓心在（    ）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別畫出兩個(gè)圓的圖形，然后結(jié)合圖形和雙曲線定義即可判斷.【詳解】由，得，畫出圓與的圖像如圖，設(shè)圓P的半徑為r，   ∵圓P與圓O和圓M都外切，∴，，則，∴根據(jù)雙曲線定義知點(diǎn)P在以O，M為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上.故選：D7．已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，分別為，的離心率，則的最小值為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，利用橢圓、雙曲線定義及余弦定理建立關(guān)系，再借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線對(duì)稱性不妨令點(diǎn)M在第一象限，由橢圓、雙曲線定義知：，且，則有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，從而有，所以的最小值為.故選：A8．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，4），圓O：，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．過(guò)點(diǎn)P與圓O相切的直線方程為B．過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相切于M，N，則直線MN的方程為C．過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相切于M，N，則|PM|=3D．過(guò)點(diǎn)P的直線m與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°，則直線m的方程為或【答案】D【分析】首先求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，注意分斜率存在和不存在兩種情況討論，即可判斷A,再利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，即可判斷C,在以為圓心，以為直徑的圓上，兩圓方程作差即可求出直線的方程，由此判斷B,由圓心到直線的距離求出直線斜率，即可求出直線方程,進(jìn)而求解D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，圓心到直線的距離，所以是過(guò)點(diǎn)的圓的切線，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離，解得，此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B;在以為圓心，以為直徑的圓，直線為圓與圓的公共弦，兩圓方程相減得：，即直線的方程為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C;，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D：過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則，圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，，解得或7，直線方程為或，故D正確，故選：D 二、多選題9．設(shè)直線，，其中實(shí)數(shù)，滿足，則（    ）A．與平行 B．與相交C．與的交點(diǎn)在圓上 D．與的交點(diǎn)在圓外【答案】BC【分析】根據(jù)直線的斜截式方程知兩斜率相乘為是兩直線互相垂直，即相交，再利用聯(lián)立兩直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在找到關(guān)系即可得到答案.【詳解】與不可能相等，，故與垂直即相交，故B正確；與的交點(diǎn)為，故與的交點(diǎn)在圓上.故選：BC.10．圓和圓的交點(diǎn)為，，則（    ）A．公共弦所在直線的方程為B．線段中垂線的方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．兩圓圓心距【答案】ABD【分析】把兩圓方程相減得到公共弦所在直線的方程，即可得到選項(xiàng)A；再把兩圓分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，兩圓心所在的直線即為線段中垂線，即可得到選項(xiàng)B；利用一個(gè)圓的圓心到直線的距離進(jìn)而求出弦的長(zhǎng)，驗(yàn)證選項(xiàng)C；兩圓心的距離即可得到選項(xiàng)D.【詳解】①，②，用①減去②即得到公共弦所在直線的方程為，故A正確；把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為 ，把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，線段中垂線即為圓心與圓心兩點(diǎn)構(gòu)成的直線為，故B正確；圓心到公共弦所在直線的距離為，故公共弦的長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；  圓心到圓心的距離，故D正確.   故選：ABD.11．若圓上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，則的取值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】求出圓心到直線的距離，使得圓心到直線的距離與半徑的差的絕對(duì)值小于，即可滿足題意．【詳解】圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，所以， 即，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，BC正確，故選：BC．12．油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽(yáng)光照射油紙叢在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子（春分時(shí)，該市的陽(yáng)光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則（    ）A．該橢圓的離心率為 B．該橢圓的離心率為C．該橢圓的焦距為 D．該橢圓的焦距為【答案】BC【分析】先求得，結(jié)合橢圓的知識(shí)以及正弦定理求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率和焦距.【詳解】，如圖，分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是圓的直徑，為該圓的圓心.因?yàn)?/span>，所以，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則.因?yàn)?/span>，由正弦定理得，解得，所以，所以.故選：BC 三、填空題13．寫出一個(gè)截距相等且不過(guò)第三象限的直線方程      .【答案】（答案不唯一）【分析】分截距為0和截距不為0兩種類型討論直線不過(guò)第三象限的情況.【詳解】當(dāng)截距相等且為0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，又直線不過(guò)第三象限，則直線方程為；當(dāng)截距相等且不為0時(shí)，直線截距式方程為，又直線不過(guò)第三象限，有，則直線方程為.故答案為：(答案不唯一，或).14．大約2000多年前，我國(guó)的墨子就給出了圓的概念：“一中同長(zhǎng)也.”意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周上的點(diǎn)的距離都相等.這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德給出的圓的定義要早100年.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，則線段長(zhǎng)的最大值是      .【答案】5【分析】點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，線段長(zhǎng)的最大.【詳解】已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，線段長(zhǎng)的最大，此時(shí).故答案為：5.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與C在軸上方的交點(diǎn)為A，若，則C的離心率是      .【答案】【分析】由橢圓的定義與余弦定理求解，【詳解】由題意得，則，在中，，則，由余弦定理得， ，解得故答案為：16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)連接，過(guò)點(diǎn)作交雙曲線于點(diǎn)B，且，則      ．【答案】5【分析】將點(diǎn)代入雙曲線方程，結(jié)合離心率，可求出，從而可求得直線的斜率，由可得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則可求得，然后利用余弦定理結(jié)合雙曲線的定義可求出，從而可得的值.【詳解】 由點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)和雙曲線的離心率為，得，解得，所以，c＝2，所以，．所以直線的斜率為，因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為．p設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，即，因?yàn)?/span>，為銳角，所以．連接，在中，由余弦定理得，又，所以，所以．故答案為：5 四、解答題17．已知直線和直線．(1)若時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)平行，求兩直線，的距離．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【詳解】（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．18．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且___________.從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①在過(guò)直線與直線的交點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.(1)求圓的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程.【答案】(1)；(2)切線方程為或 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)①②③逐個(gè)分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分情況討論即可【詳解】（1）選①，由可得，所以，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為，即選②，直線恒過(guò)，而圓E恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，則圓E的方程為選③，設(shè)圓E的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為（2）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)P在圓E外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即由圓E的方程為可得圓心，半徑為2，所以圓心到切線的距離，解得，所以切線方程為；若直線斜率不存在，直線方程為，圓心到直線的距離為2，滿足題意；綜上所述，過(guò)點(diǎn)的圓E的切線方程為或19．經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的弦AB，求：(1)線段的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).【答案】(1)30(2)64 【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由弦長(zhǎng)公式求解，（2）由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化后求解．【詳解】（1）由題意得直線AB的方程為,代入雙曲線方程可得,設(shè)，則即的長(zhǎng)為（2）由雙曲線的定義得=，則的周長(zhǎng)為=. . 20．已知直線與圓.(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線OM，ON的斜率分別為，，則是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)(2)是定值，定值為 【分析】（1）由已知可得根據(jù)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程計(jì)算方法可得l恒過(guò)定點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程.聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理求解進(jìn)而即可得結(jié)果.【詳解】（1）由直線得，聯(lián)立，解得，直線l恒過(guò)定點(diǎn).（2）圓的圓心為，半徑為，直線過(guò)點(diǎn)，直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，是定值，定值為21．已知雙曲線，(1)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若為弦的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)是否存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程結(jié)合驗(yàn)證，即可求得答案；（2）同（1）利用點(diǎn)差法求得直線方程，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，整理得到一元二次方程，其判別式小于0，說(shuō)明符合題意的直線不存在.【詳解】（1）設(shè) ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn),故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組得，其 ，說(shuō)明所求直線存在，故直線的方程為.（2）假設(shè)存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，設(shè)該直線與雙曲線交于C,D兩點(diǎn)，設(shè) ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn),故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組 ,得 ，根據(jù) ，說(shuō)明所求直線不存在,故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點(diǎn).22．已知離心率為的橢圓與直線x+2y-4=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以AB為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由將橢圓方程化簡(jiǎn)為，進(jìn)而結(jié)合判別式法求得答案；（2）設(shè)，，直線l方程為，根據(jù)，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，而，則，，所以橢圓方程為，，，，所以，，橢圓C方程為：.（2）設(shè)直線l方程為，，，，即，或，且,因?yàn)?/span>O在以AB為直徑的圓外，所以，則，于是，即.綜上：l斜率k的取值范圍為. 

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