一、單選題
1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可直接求解.
【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，
則.
故選：B.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念，涉及極限的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
2．點在橢圓上，則等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷出和是橢圓的兩個焦點及，，的值，再根據(jù)橢圓的定義，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為定值可得結(jié)論.
【詳解】因為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以該橢圓的交點在軸上，且，，
所以，所以焦點坐標(biāo)為：和.
因為表示點到兩點和的距離之和；
根據(jù)橢圓的定義，所以.
故選：A.
3．已知點是雙曲線：的右支上一點，、是雙曲線的左、右焦點，的面積為20，則點的橫坐標(biāo)為（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，代入計算，即可得到，再代入雙曲線方程即可得到結(jié)果.
【詳解】
因為雙曲線：，則有，不妨設(shè)，，
由的面積為20，可得，其中，則，
將代入雙曲線方程，可得.
故選：D
4．已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為動點到定點和的距離之和的最小值問題，然后求出點A關(guān)于的對稱點為，結(jié)合圖形可解.
【詳解】因為，
所以，目標(biāo)式表示動點到定點和的距離之和.
點在直線上，
設(shè)點A關(guān)于的對稱點為，
則，解得，
由對稱性可知，，
當(dāng)三點共線時等號成立，
所以，的最小值為.
故選：C
5．已知點P是直線上的動點，過點P引圓的兩條切線PM，PN，M，N為切點，則PM的最小值為時，r的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】當(dāng)時最小，最小，求出最小值即得的值.
【詳解】由題得，當(dāng)時，最小時，最小.
由題得，
所以.
故選：B.
6．已知數(shù)列滿足，若， 則（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【分析】按奇偶性分類討論即可求解.
【詳解】為奇數(shù)時，依題意有，
又由可知，故上式無解.
為偶數(shù)時，依題意有，
故選：A
7．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足， ，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)圓的半徑得出，根據(jù)中位線定理和勾股定理得到關(guān)系式，即可得出離心率.
【詳解】∵為圓上的點，，
，∴是的中點，
又是的中點，，即，
且，
又，，
是圓的切線，，
在中，又有，
，
， 故雙曲線的離心率為.
故選：A.
8．在數(shù)列中，，，且．表示不超過的最大整數(shù)，若，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．2B．3C．2022D．2023
【答案】B
【分析】利用累加法求得，進而求得，找到規(guī)律后求得.
【詳解】由可得，
故是首項為，公差為2的等差數(shù)列，
則，
所以當(dāng)時，
，故，
當(dāng)時，也滿足上式，所以，故．
易得，，
當(dāng)時，，，，即，
故，故當(dāng)時，，故．
故選：B
二、多選題
9．下列命題說法正確的有（ ）
A．已知直線與直線，若，則或
B．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為
C．原點到直線的距離的最大值為
D．過點且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為
【答案】BC
【分析】A：根據(jù)兩直線平行列出關(guān)于的方程，求解出結(jié)果后再檢驗是否重合，由此作出判斷；B：設(shè)出對稱點坐標(biāo)，根據(jù)已知點和對稱點的中點在已知直線上、已知點和對稱點的連線垂直于已知直線求解出對稱點坐標(biāo)；C：先分析直線經(jīng)過的定點，然后根據(jù)最大距離即為原點到定點的距離求解出結(jié)果；D：分別考慮直線的橫縱截距是否為，由此求解出直線方程.
【詳解】A：因為，所以，解得或，
當(dāng)時，化簡可得，所以重合，故A錯誤；
B：設(shè)對稱點為，所以，解得，所以對稱點為，故B正確；
C：因為即為，
令，解得，所以直線經(jīng)過定點，
下面證明：當(dāng)時，此時原點到直線的距離有最大值，
當(dāng)轉(zhuǎn)至任意位置且不垂直時，過點作，如下圖所示：
此時顯然為直角三角形，且為斜邊，所以，
所以原點到直線距離的最大值即為原點到的距離，即為，故C正確；
D：當(dāng)直線的橫縱截距均為時，設(shè)，代入，解得，
當(dāng)直線的橫縱截距均不為時，設(shè)，代入，解得，
由上可知，過點且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，故D錯誤；
故選：BC.
10．已知兩點，若直線上存在點，使得，則稱該直線為“點定差線”，下列直線中，是“點定差直線”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)雙曲線定義得到的軌跡方程為，，聯(lián)立四個選項中的直線，求出交點橫坐標(biāo)，從而判斷出答案.
【詳解】則由題意得，
故點的軌跡為以為焦點，長軸長為2的雙曲線的右支，
故，，
故點滿足的軌跡方程為，，
A選項，聯(lián)立與，解得，負值舍去，滿足要求，A正確；
B選項，聯(lián)立與，解得，負值舍去，滿足要求，B正確；
C選項，聯(lián)立與，解得，不合要求，C錯誤；
D選項，聯(lián)立與，解得，負值舍去，D正確.
故選：ABD
11．已知是拋物線上不同于原點的兩點，點是拋物線的焦點，下列說法正確的是（ ）
A．點的坐標(biāo)為
B．
C．若，則直線經(jīng)過定點
D．若點為拋物線的兩條切線，則直線的方程為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點坐標(biāo)可判斷A，根據(jù)焦點弦的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)垂直關(guān)系得，由兩點坐標(biāo)求解直線方程即可判斷C，根據(jù)切線方程求出切點坐標(biāo)，進而根據(jù)兩點求解直線方程即可求解D.
【詳解】因為拋物線，故的坐標(biāo)為故A正確；
由于當(dāng)直線過焦點時，由拋物線定義可得，但直線不一定過焦點，故B錯誤；
若，故，即或（舍去），
因為直線，即，得，故直線經(jīng)過定點，故C正確；
設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立 ，
所以，故 或，所以方程的根為，
故切線方程中分別為和，故，
，
可得直線，即，故D正確.
故選：ACD.
12．設(shè)數(shù)列滿足：，，則下列說法中，正確的有（ ）
A．是遞增數(shù)列B．是等差數(shù)列
C．D．當(dāng)時，
【答案】BCD
【分析】由題意可得，且，由基本不等式可判斷A；由等差數(shù)列的定義可判斷B；由等差數(shù)列的通項公式，求和公式，計算可判斷C；由累乘法可判斷D.
【詳解】由，可知，，且，
所以，即，
所以是遞減數(shù)列，故A錯誤；
由可得，
所以，即，
所以是公差為1的等差數(shù)列，故B正確；
所以，，
所以，故C 正確；
當(dāng)時，，故D正確.
故選：BCD
三、填空題
13．已知，，且，則 .
【答案】
【分析】對給定函數(shù)求導(dǎo)，再求出在3處的導(dǎo)數(shù)值即得.
【詳解】由，求導(dǎo)得，則，由，求導(dǎo)得，
所以.
故答案為：
14．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù) .
【答案】/
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實數(shù).
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
其準(zhǔn)線方程是，而
所以 ，即 ，
故答案為：
15．已知是正項等比數(shù)列的前項和，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等比數(shù)列，可得：進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等比數(shù)列，
則，
由于，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，故最小值為
故答案為：．
16．設(shè)點是函數(shù)圖象上任意一點，點的坐標(biāo)，當(dāng)取得最小值時圓：上恰有個點到直線的距離為，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由點的坐標(biāo)，可得在直線上，方程為：，由，兩邊平方可得軌跡為半圓，經(jīng)過圓心與垂直的直線為：，把圓心坐標(biāo)代入可得，即可得出此直線的方程，進而得出取得最小值時的坐標(biāo)，解得，表示出圓心到直線的距離，根據(jù)已知，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為點的坐標(biāo)，
可得在直線上，：，
由，
兩邊平方得，
可得軌跡為半圓，圓心，
經(jīng)過圓心與垂直的直線為：，
把代入可得，
則此直線方程為：，
聯(lián)立，解得，
所以當(dāng)取得最小值時，，
所以，解得，
所以圓為，
圓心到直線的距離為：
，
由圓上恰有個點到直線的距離為，
則實數(shù)的取值范圍為，即.
故答案為：
四、證明題
17．已知直線．
(1)求證：無論為何值，直線恒過定點；
(2)若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值和此時直線的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)的最小值為4，直線的方程為
【分析】（1）將直線方程化為點斜式，從而求得定點的坐標(biāo).
（2）先求得的表達式，然后利用基本不等式求得的最小值，并求得此時直線的方程.
【詳解】（1）直線可化為，故過定點，
所以無論為何值，直線恒過定點；
（2）因為直線交軸負半軸于，交軸正半軸于，所以，
則中取得，取得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取“＝”，
所以的最小值為4，直線的方程為．

五、解答題
18．已知圓C過點，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的方程；
(2)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線的一般方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求AB的垂直平分線方程，聯(lián)立直線l的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)點關(guān)于直線對稱的特征列方程可得，利用直線點斜式方程即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由，得直線AB的斜率為，線段中點
所以，直線CD的方程為，即，
聯(lián)立，解得，即，
所以半徑，
所以圓C的方程為；
（2）由恰好平分圓C的圓周，得經(jīng)過圓心，
設(shè)點M關(guān)于直線的對稱點，
則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點在上，
則有，解得，所以，
所以直線CN即為直線，且，
直線方程為，即.

六、證明題
19．已知數(shù)列滿足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．
(1)設(shè)bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}滿足（n∈N*），求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）構(gòu)造證明即可；
（2）根據(jù)是等比數(shù)列，利用累加法與等比數(shù)列的求和公式可得，再根據(jù)的最大值分析即可
【詳解】（1）因為，所以．
即，又因為，所以，則，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列
（2）由（1）數(shù)列是首項為2公比為的等比數(shù)列，則．
所以，
則．
經(jīng)檢驗時也符合，則．
又因為，所以．
七、解答題
20．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，兩個焦點分別為，一個頂點為H.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)對于y軸上的點，橢圓E上存在點M，使得，求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓長短半軸長、半焦距即得.
（2）設(shè)出點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍求解即得.
【詳解】（1）依題意，橢圓E的長半軸長，半焦距，則短半軸長，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，顯然，由（1）知，即，
由，得，由，得，
于是，即有，整理得 ，
而，則，又，因此，
故實數(shù)t的取值范圍為．
21．已知橢圓過點，其右頂點為，下頂點為，且，若作與軸不重合且不平行的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.
（I）求橢圓的方程：
（2）當(dāng)點的橫坐標(biāo)的乘積是時，試探究直線是否過定點？若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）；（2）直線過定點，定點為.
【分析】（1）由，橢圓過點可構(gòu)造方程組求得，由此得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式；利用直線方程可求得，由橫坐標(biāo)之積為，結(jié)合韋達定理可構(gòu)造方程求得，由此可確定直線所過定點.
【詳解】（1）由題意知：，，，…①，
將代入橢圓方程可得：…②，
又，由①②可得：，，橢圓的方程為；
（2）設(shè)直線，，，
由得：，
則，即，
，；
由（1）知：，直線方程為：，
令，解得：，即；
同理可得：，，
即，解得：，
此時，即或，滿足題意；
，恒過定點.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；
④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.
22．在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”．如數(shù)列1，2第1次“和擴充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次“和擴充”后所得數(shù)列的項數(shù)記為，所有項的和記為．
(1)若，求，；
(2)設(shè)滿足的n的最小值為，求及 （其中[x]是指不超過x的最大整數(shù)，如，）；
(3)是否存在實數(shù)a，b，c，使得數(shù)列{}為等比數(shù)列？若存在，求b，c滿足的條件；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)存在，詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)題中定義進行求解即可；
（2）根據(jù)“和擴充”的方法，確定和的遞推關(guān)系式，利用配湊法求得的通項公式，解不等式求得的最小值，然后根據(jù)“和擴充”的定義即得；
（3）根據(jù)“和擴充”的方法，利用等比數(shù)列求和公式結(jié)合條件可得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】（1）數(shù)列1,2,3，經(jīng)第1次“和擴充”后得到數(shù)列為1,3,2,5,3，
數(shù)列1,2,3，經(jīng)第2次“和擴充”后得到數(shù)列為1,4,3,5,2,7,5,8,3，
所以，；
（2）數(shù)列經(jīng)每1次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
由數(shù)列經(jīng)“和擴充”后的項數(shù)為，
則經(jīng)第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，
所以，所以，
由（1）得，是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
由，即，解得，即，
所以，
數(shù)列a，b，c經(jīng)過第1次“和擴充”后得到數(shù)列，且，
數(shù)列a，b，c經(jīng)過第2次“和擴充”后得到數(shù)列，且，
數(shù)列a，b，c經(jīng)過第3次“和擴充”后得到數(shù)列
，且，
即；
（3）因為，，，，，
所以，
，
若使為等比數(shù)列，則或，
即或，
綜上，存在實數(shù)a，b，c，滿足或，使得數(shù)列{}為等比數(shù)列．
【點睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進行再遷移.

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