一、單選題
1．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．36B．45C．54D．63
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求和即可.
【詳解】，所以，.
故選：C.
2．圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】由點到直線的距離公式計算.
【詳解】由題意可得圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離為．
故選：D．
3．?dāng)?shù)列中，，，則（ ）
A．77B．78C．79D．80
【答案】D
【分析】利用裂項求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
由，解得.
故選：D
4．直線，，若兩條直線平行，則實數(shù)（ ）
A．B．1C．3D．或3
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列式求解即可.
【詳解】因為，，
由可得且，
解得，
故選：C.
5．若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的方程得到直線恒過定點，根據(jù)曲線的方程曲線表示半圓，然后結(jié)合圖形求的范圍即可.
【詳解】直線恒過定點，
曲線的方程可整理為，，
所以曲線表示以為圓心，半徑為1的半圓，圖象如下所示：
，為兩種臨界情況，由題意得，則，
令圓心到直線的距離，解得，則，
所以當(dāng)時，直線與曲線有兩個不同的交點.
故選：A.
6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心，根據(jù)，求出外心，再求出斜率，利用點斜式即可求出歐拉線方程.
【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.
設(shè)外心，因為，所以，解得，即：.
，故歐拉線方程為：，即：，
故選：A.
7．已知，，（，），為其前項和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式求答案.
【詳解】由（，）可得，
已知，，所以，
即是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
，，，，，
，
故選B.
8．已知正方形的邊長為2，點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐標(biāo)系，取點，探討滿足條件的點的軌跡，再結(jié)合已知，求出兩條線段長度和的最小值作答.
【詳解】依題意，以點為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，如圖，

取點，設(shè)，當(dāng)時，，
化簡整理得，即點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
而點在以為圓心，1為半徑的圓上，因此，顯然點在圓：外，
則，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時取等號，
而，所以的最小值為.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點睛：建立坐標(biāo)系，取點并求出滿足條件的點的軌跡是解題的關(guān)鍵.
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為
B．經(jīng)過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為
C．直線與直線之間的距離是
D．直線，，，則
【答案】ACD
【分析】由直線斜率求出傾斜角判斷A；求出過原點的直線方程判斷B；求出平行線間距離判斷C；由兩直線垂直求出參數(shù)判斷D.
【詳解】對于A，直線的斜率，則其傾斜角為，A正確；
對于B，過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線還有過原點的，其方程為，B錯誤；
對于C，直線與直線，即間的距離，C正確；
對于D，由，得，且，解得，D正確.
故選：ACD
10．下列命題中，正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列中，“（，）”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件
B．?dāng)?shù)列的通項為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則
C．等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則
D．等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則
【答案】AD
【分析】利用必要不充分條件的意義判斷A；利用遞增數(shù)列列出不等式求解判斷B；利用等比中項意義求出判斷C；利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合前項和公式計算判斷D.
【詳解】對于A，是公比為2的等比數(shù)列，則有（，），
反之，當(dāng)（，），若，數(shù)列不是等比數(shù)列，
因此“（，）”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件，A正確；
對于B，，為單調(diào)遞增數(shù)列，
則，，即，
而數(shù)列單調(diào)遞減，即，因此，B錯誤；
對于C，令等比數(shù)列的公比為，依題意，
顯然，而，因此，C錯誤；
對于D，等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，
所以，D正確.
故選：AD
11．已知圓與直線，點在直線上運動，直線，分別與圓切于點，，則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形的面積最小值為
B．最短時，弦長為
C．最短時，弦直線方程為
D．直線過定點
【答案】ACD
【分析】A選項，根據(jù)面積公式得到當(dāng)時四邊形的面積最小，然后求面積；B選項，利用等面積的思路求；C選項，根據(jù)，得到為以為直徑的圓上的點，然后根據(jù)圓的方程求弦所在直線的方程；D選項，設(shè)，借助圓的方程得到直線的方程為，然后求定點.
【詳解】
由題意得四邊形PAMB的面積，，
因為，，所以當(dāng)長度最小時，四邊形的面積最小，
最小為點到直線的距離，所以，
所以四邊形的面積最小值為，故A正確；
由圓的性質(zhì)得，
由A選項可得，最短時，四邊形的面積最小，，
所以，故B錯；
由題意得，，所以為以為直徑的圓上的點，
所以直線為兩圓公共弦所在的直線，
，直線：，即，
聯(lián)立得，所以最短時，，中點坐標(biāo)為，
此時以為直徑的圓的方程為，
聯(lián)立得，所以弦所在直線的方程為，故C正確；
設(shè)，則，即，
以為直徑的圓的方程為，
聯(lián)立得，
所以直線的方程為，
將代入得，
令，解得，
所以直線過定點，故D正確.
故選：ACD.
12．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)數(shù)列各項可知其是以為周期的周期數(shù)列，由此可判斷A，B；根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，采用累加法可判斷C；由斐波那契數(shù)列定義可推導(dǎo)得到，累加即可判斷D.
【詳解】斐波那契數(shù)列：，則
，即數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，，，，
，故C正確；
對于D，因為，
所以，
所以，，，，
所以，
又，所以，故D正確，
故選：BCD.
【點睛】解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，確定其數(shù)列前后項所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而驗證得到新定義的數(shù)列為周期數(shù)列.
三、填空題
13．過點，，圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【答案】
【分析】設(shè)圓心為，由，列方程解出和，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】圓心在直線上，設(shè)，設(shè)圓的半徑為，由圓過點，，
有，則，
解得，，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
14．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)對稱點的求法求得正確答案.
【詳解】設(shè)對稱點的坐標(biāo)為，
則，
解得，所以對稱點的坐標(biāo)為.
故答案為：
15．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)直線方程得到，，，根據(jù)勾股定理得到，然后根據(jù)不等式求最值即可.
【詳解】直線可得，
直線可整理為，令，解得，
所以，
因為，所以直線與直線垂直，則，
所以點的軌跡為以為直徑的圓，
，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：.
16．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值為 ．
【答案】/0.75
【分析】先通過遞推公式求出的通項公式，代入求出的通項公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.
【詳解】因為，所以，
所以，即，
兩邊同除可得，
又因為時，所以，
所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
即，
所以，
代入不等式可得，
即，
令，則，
所以
，
因為，
所以，
所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
所以，即的最大值為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列的恒成立問題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過作差法來判斷單調(diào)性.
四、解答題
17．在中，點的坐標(biāo)為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點，求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角為得到直線的方程，然后與邊上的中線所在的直線方程聯(lián)立得到點；
（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)點的坐標(biāo)得到，然后利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，
又的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．
因為BC邊上的中線經(jīng)過點A，由與聯(lián)立，解得，，
所以點的坐標(biāo)為．
（2）依題意可設(shè)直線的方程為（，），則．
因為，，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最小值為．
18．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式計算；
（2）利用分組求和的方法計算.
【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，
因為，所以，則，
因為，即，所以，
所以，，所以，即．
（2）因為，所以，
所以．
19．已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點．
(1)求外接圓的方程；
(2)若直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）先判斷三角形的形狀為等腰直角三角形，則圓心為斜邊的中點，半徑為斜邊的一半可以得到圓的方程；
（2）先根據(jù)弦長求出弦心距，再考慮直線斜率是否存在，分別判斷直線是否符合要求，最后得到兩條直線方程.
【詳解】（1）因為，，，
所以，，所以，所以，
又因為，所以是等腰直角三角形，
所以的圓心是的中點，即圓心，半徑，
所以的方程為；
（2）因為圓的半徑為2，當(dāng)直線截圓的弦長為時，圓心到直線的距離為，
①當(dāng)直線與軸垂直時，此時直線斜率不存在，直線為，與圓心的距離為1，滿足條件；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，
則圓心到直線的距離為，解得，
此時直線的方程為，即，
綜上可知，直線的方程為或．
20．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
①求數(shù)列的前項和；
②若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】【小題1】； 【小題2】①；②．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，結(jié)合等比中項進(jìn)行求解；
（2）①先計算的通項公式，再用錯位相減法求解；
②代入，得到對一切恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再求的最小值，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）依題意得，解得，
，即．
（2）①，，
，
，
所以．
．
②由（1）易求得，所以不等式對一切恒成立，
即轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，
令，則，
又，
當(dāng)時，；時，，
所以，且，則．
所以實數(shù)的最大值為．
21．已知數(shù)列的前項和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項和記為．若，且存在不小于3的正整數(shù)，，使得．
(1)若，，求的值；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)若，是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)存在，，．
【分析】（1）根據(jù)求；
（2）根據(jù)和等差數(shù)列的定義證明；
（3）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式和得到，然后結(jié)合，為不小于3的正整數(shù)得到，.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因為，，所以．
（2）由，得，
兩式相減，得，即，
所以．
兩式相減，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．
（3）依題意：，由得：，
即，所以．
因為，且，所以，
又因為，且為奇數(shù)，所以時，是整數(shù)，此時，
所以，．
22．已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點的運動軌跡是曲線，線段的中點的軌跡方程是．
(1)求曲線的方程；
(2)已知斜率為的直線與曲線相交于兩點，（異于原點）直線，的斜率分別為，，且，
①證明：直線過定點，并求出點的坐標(biāo)；
②若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．
【答案】(1)
(2)①證明見解析，；②證明見解析
【分析】（1）直接設(shè)點，由中點坐標(biāo)代入即可得到軌跡方程；
（2）先設(shè)直線然后聯(lián)立，聯(lián)立后得到韋達(dá)定理，再求斜率之積，代入韋達(dá)定理得到參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而得到直線過定點，然后應(yīng)用直角三角形斜邊中線長是斜邊一半求出定點坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）設(shè)，，由中點坐標(biāo)公式得．
因為點的軌跡方程是，所以，
整理得曲線的方程為．
（2）①設(shè)直線的方程為，，，，
聯(lián)立，得，
所以，即，
所以，，
所以，
所以且，
所以直線的方程為，即直線過定點．
②如圖所示，
因為為定值，且于，所以為直角三角形，為斜邊，
所以當(dāng)點是的中點時，此時為定值．
因為，，所以由中點坐標(biāo)公式得．
所以存在定點使得為定值．
【點睛】關(guān)鍵點睛：定點問題的解題關(guān)鍵是設(shè)出直線然后應(yīng)用韋達(dá)定理求出參數(shù)之間的聯(lián)系，定值問題關(guān)鍵在于求出斜邊是定值，進(jìn)而得到斜邊中線也是定值，即可得到對應(yīng)的點.

相關(guān)試卷

2023-2024學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共23頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，未知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年江蘇省常熟市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省常熟市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷：

這是一份江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷，共8頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

江蘇省常熟市2023-2024高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷+答案

江蘇省常熟市2023-2024高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷+答案
江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案
江蘇省常熟市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（掃描版含答案）

江蘇省常熟市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（掃描版含答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部