2024屆湖北省黃岡市浠水縣第一中學(xué)高三上學(xué)期7月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式求出，再根據(jù)補(bǔ)集的概念求解即可.【詳解】由，得到，∴，由，得到，∴，∴，故選：D.2．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】計(jì)算出，根據(jù)函數(shù)奇偶性求出.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.所以.故選：A.3．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A．63 B．45 C．49 D．56【答案】A【分析】先根據(jù)已知求出公差，再利用求和公式得出結(jié)果.【詳解】設(shè)公差為，由可得，解得，故．故選：A.4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（    ）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因?yàn)?/span>，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D.5．等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，前n項(xiàng)和為，則“”是“{}是遞增數(shù)列”的（    ）A．充分而非必要條件 B．必要而非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取，可判斷充分性；由是遞增數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得成立，即可判斷必要性.【詳解】在等比數(shù)列中，取，，此時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，,故充分性不成立；若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，則，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，成立，故必要性成立.所以，“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要而非充分條件.故選：B.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，，，則（    ）A． B．0 C． D．2023【答案】D【分析】由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸確定函數(shù)的周期為4，代入特殊值求得，，，，問(wèn)題即可得到解決.【詳解】由可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故函數(shù)的周期.將代入得，將代入得，將代入得，而，將代入得，將代入得，所以.故選：D7．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，由可得在上恒成立，所以函數(shù)在為上單調(diào)遞減函數(shù)，由為偶函數(shù)，，可得，故要求不等式的解集等價(jià)于的解集，即可得到答案.【詳解】由題意構(gòu)造函數(shù)，則，定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足在上恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；又為偶函數(shù)，則函數(shù) ，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ，則，由于不等式的解集等價(jià)于的解集，根據(jù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則，故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用，屬于較難題．8．已知函數(shù)，若有3個(gè)不同的解，，且，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)變形，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及圖象，把原函數(shù)有3個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，從而利用根的分布求解即可.【詳解】，令，則，令得，令得且，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，如圖：  則，所以有3個(gè)不同的解等價(jià)于有兩個(gè)解，，整理可得，且，，根據(jù)根的分布得，解得，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b），其共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)果為實(shí)數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】逐個(gè)代入化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)虛部是否為0，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，不一定為實(shí)數(shù);對(duì)于 B， ;對(duì)于 C，;對(duì)于 D，.故選：BCD.10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．為奇函數(shù) B．為減函數(shù)C．有且只有一個(gè)零點(diǎn) D．的值域?yàn)?/span>【答案】AC【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域，零點(diǎn)即可求解.【詳解】,,,故為奇函數(shù)，又，在R上單調(diào)遞增，，，，，，即函數(shù)值域?yàn)?/span>令，即，解得，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.綜上可知，AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC11．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（   ）A．ab的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．已知函數(shù)，，則（    ）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A：利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得其圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可得B正確；對(duì)于C：根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，可得C正確；對(duì)于D：根據(jù)以及指對(duì)同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可得D正確.【詳解】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在單調(diào)遞增，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即，又時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖：  若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得 有兩個(gè)實(shí)根，得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，故B正確；對(duì)于C：由B得：在上恒成立，則在單調(diào)遞增，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D：若，則，即，∵，∴，，，由A知，在上單調(diào)遞增，故，所以，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值是，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故. 三、填空題13．已知向量，，若，則      .【答案】13【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?/span>，，則，又，所以，解得.故答案為：1314．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，，則     ．【答案】9【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，再由等差數(shù)列性質(zhì)可得；所以，又因?yàn)?/span>，所以；即.故答案為：915．現(xiàn)有一倒放圓錐形容器，該容器深，底面直徑為，水以的速度流入，則當(dāng)水流入時(shí)間為時(shí)，水面上升的速度為         .【答案】【解析】根據(jù)平行線分線段成比例可得水面半徑和高關(guān)系，再由圓錐的體積公式求出水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，對(duì)其求導(dǎo)即可的到水面上升的速度.【詳解】設(shè)注入水后水面高度為，水面所在圓的半徑為，，即：.因?yàn)樗捏w積為，即，，所以當(dāng)時(shí)，.（注：瞬時(shí)速度）.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體的位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，可以精確刻畫(huà)物體在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢，故解決本題的關(guān)鍵是求出水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，水流入時(shí)間為時(shí)的瞬時(shí)變化率，即此時(shí)的導(dǎo)數(shù)值.16．已知恒成立，則t的取值范圍是          ．【答案】【分析】由已知不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，可得恒成立，通過(guò)分離參數(shù)，以及構(gòu)造導(dǎo)數(shù)求得t的取值范圍.【詳解】由，得，所以，即，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，上式即為恒成立，因?yàn)?/span>，所以在R上單調(diào)遞增，則可得恒成立，所以，即，再設(shè)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以，從而，即t的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)(2)最大值為4，最小值為0 【分析】（1）直接求導(dǎo)找出切點(diǎn)處斜率，再將代入原函數(shù)得到縱坐標(biāo)從而得到切線；（2）令其導(dǎo)函數(shù)大于0，判斷函數(shù)在的單調(diào)性從而確定最值．【詳解】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，，所求得的切線方程為，即；（2）由（1）有，令，解得：或，故函數(shù)在遞增，在遞減，故函數(shù)在取最大值，，，故函數(shù)在的最大值為4，最小值為0．18．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿(mǎn)足.(1)求角；(2)若點(diǎn)D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面積的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理邊角化即可求解，（2）由面積公式以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）由可得：，由余弦定理知，，又，因此.-（2）∵ ，即 ，∴ ≥∴ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a，即a=，b=取等號(hào) ∴=≥∴△ABC面積的最小值為19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，然后代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原式變形可得，然后結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以在定義域內(nèi)恒成立，即在定義域內(nèi)恒成立，整理，得在定義域內(nèi)恒成立，所以，解得．因?yàn)?/span>時(shí)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足題意，所以．（2）因?yàn)?/span>的定義域，所以或，解得，因?yàn)?/span>恒成立，所以，所以．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以．20．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.∵，∴單調(diào)遞增，∴，∵，∴，若使得對(duì)一切恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．環(huán)境污染日益嚴(yán)重，某科研單位為了凈化空氣，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度t（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．如果進(jìn)行多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4毫克/立方米時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再?lài)姙?/span>個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的4天能夠持續(xù)有效凈化，試求m的最小值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)8天(2)1.6 【分析】（1）釋放的濃度t隨著時(shí)間x變化的關(guān)系，令分段解不等式求出即可. （2）列出從第一天起經(jīng)過(guò)天后的濃度表達(dá)式，使用基本不等式求得最小值，讓最小值不小于4，即可求出的范圍.【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?/span>4個(gè)單位的凈化劑，所以濃度可以表示為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，得，所以此時(shí)當(dāng)時(shí)，令，得，所以此時(shí)綜上，若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)過(guò)天，濃度因?yàn)?/span>，則，且，則所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)濃度的最小值為令，解得，所以m的最小值約為1.622．已知函數(shù).(1)若單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，且，證明：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由已知可得在時(shí)恒成立，由此可得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，由此可得的取值范圍；（2）令，則，由已知可得要證明只需證明，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由得，，因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，所以在時(shí)恒成立，即，令，則，可知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，則時(shí)取最大值，所以，即，所以的取值范圍是.（2）因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由可知，， 要證明，只需證明.由已知可得，化簡(jiǎn)得，所以，.令，則，要證明，只需證明.令，且，則，令，且，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，故，故，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即，則有，所以，即原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理． 

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