答題時間：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知，則（ ）
A．0B．1C．D．2
2．已知命題，；命題，，則（ ）
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
3．已知平面向量，滿足，，，則（ ）
A．3B．C．D．1
4．以下命題中真命題的是（ ）
A．各側面都是矩形的棱柱是長方體B．有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱
C．體對角線都相等的平行六面體是長方體D．各側面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
5．，函數(shù)的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
6．已知函數(shù)，若關于的方程有實數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱臺的側面積為6，，，則與平面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在長方體中，，，點在矩形內運動（包括邊界），，分別為，的中點，若平面，當取得最小值時，的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．）
9．已知，且，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，，則下列結論正確的有（ ）
A．數(shù)列是遞增數(shù)列B．
C．使為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為0D．的最小值為
11．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分．
12．已知集合，，則______．
13．已知正三棱柱的體積與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側面積的比值為______．
14．將兩個觀賞球體封閉在一個正方體容器內，設正方體棱長為1，則兩個球體體積之和的最大值為______．
四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟．
15．（13分）
在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，，．
（1）求；
（2）若，求的周長．
16．（15分）
已知函數(shù)．
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范圍．
17．（15分）
已知數(shù)列滿足，且．
（1）設，證明：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式．
18．（17分）
如圖，菱形的邊長為4，，為的中點．將沿折起，使到達，連接，，得到四棱錐．
（1）證明：；
（2）當二面角的平面角在內變化時，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
19．（17分）
當，且時，我們把叫做數(shù)列的階子數(shù)列，若成等差（等比）數(shù)列，則稱為數(shù)列的階等差（等比）子數(shù)列．已知項數(shù)為的等差數(shù)列的首項，公差．
（1）寫出數(shù)列的所有3階等差子數(shù)列；
（2）數(shù)列中是否存在3階等比子數(shù)列？若存在，請至少寫出一個；若不存在，請說明理由；
（3）記數(shù)列的3階和4階等差子數(shù)列個數(shù)分別足，，求證：．

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