2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若數(shù)列－1，a，b，c，－9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（    ）A．－5 B．－3 C．3 D．3或－3【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】由題意，又?jǐn)?shù)列的奇數(shù)項同號，即，所以．故選：B．2．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目改編：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的份為（    ）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】由題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組求出數(shù)列首項.【詳解】設(shè)每個人所得按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，首項為，公差為，由題意知，解得，最小的份為個.故選：A.3．已知數(shù)列滿足：且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由計算出數(shù)列前4項，得到數(shù)列為周期數(shù)列，從而得到.【詳解】因為，，， 所以，，，故數(shù)列為周期是3的數(shù)列，所以，故選：B4．已知曲線在處的切線方程是，則及分別為（    ）A．3，3 B．3，C．，3 D．，【答案】B【分析】直接由切線方程求出斜率及對應(yīng)的值，即可求解.【詳解】易得的斜率為，當(dāng)時，，故，.故選：B.5．設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（    ）A． B．2 C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知先求出數(shù)列的首項和公比，即可利用求和公式求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，則，，所以.故選：C.6．等差數(shù)列中，已知公差，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及求和，利用與的關(guān)系即可求解.【詳解】解：由題意，在等差數(shù)列中，，，.故選：A.7．?dāng)?shù)列中，，對所有的，，都有，則等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別令，代入遞推關(guān)系式，即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，； 則，；所以.故選：C. 二、多選題8．（多選）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測量，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的關(guān)系如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的是（    ）A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率相同C．在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率相同D．在，兩個時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率不相同【答案】ACD【分析】根據(jù)已知血管中的藥物濃度隨時間變化圖象，結(jié)合瞬時變化率、平均變化率的概念判斷各選項的正誤.【詳解】A：在時刻，兩圖象相交，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，正確；B：兩條曲線在時刻的切線的斜率不相等，所以甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率不相同，錯誤；C：根據(jù)平均變化率公式，可知在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率都是，正確；D：在時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，在時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，顯然不相等，正確．故選：ACD．9．若橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．的長軸長為 C．的短軸長為 D．的離心率為【答案】AB【分析】由題意可得橢圓的焦點在軸上，且，可得，求出橢圓的方程，然后逐一判斷各選項即可.【詳解】由題意可得橢圓的焦點在軸上，且，所以，且，，解得，故A正確；所以橢圓，所以，，所以的長軸長為，故B正確；所以的短軸長為，故C錯誤；所以，故D錯誤.故選：AB.10．等差數(shù)列前項和為，已知，下列結(jié)論正確的是（    ）A．最大 B． C． D．【答案】ABC【分析】由題意得出，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為對于A，，，故可得等差數(shù)列單調(diào)遞減，且，則最大，故A正確；對于B和D，，故B正確，D錯誤；對于C，因為，所以，故C正確故選:ABC.11．若為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的是（    ）A． B．（其中且）C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義直接判斷作答.【詳解】因為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則有，對于A，是常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，A是；對于B，且，是常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，B是；對于C，是常數(shù)，是等比數(shù)列，C是；對于D，顯然，為等比數(shù)列，而，數(shù)列不是等比數(shù)列，D不是.故選：ABC12．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖，在長度為的線段上取兩個點、，使得，以為邊在線段的上方做一個正方形，然后擦掉，就得到圖形；對圖形中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖，圖，圖，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項和為，則（    ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C．存在正數(shù)，使得恒成立 D．恒成立【答案】BD【分析】根據(jù)題意得到遞推公式，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，可判斷AD選項正誤；利用分組求和法可判斷B選項的正誤，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項的正誤.【詳解】由題意知，，以此類推可得，故，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤；，故B正確；因為恒成立，且單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增，所以，數(shù)列無最大值，因此，不存在正數(shù)，使得，故C錯誤；恒成立，故D正確.故選:BD. 三、填空題13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，且，則______【答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，然后利用等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故答案為：.14．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則______．【答案】35【解析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得成等比數(shù)列，運(yùn)算即可得解.【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，所以成等比數(shù)列，因為，，所以，，故.故答案為：.15．在正項等比數(shù)列中，已知，則________．【答案】##【分析】利用等比數(shù)列中項的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項的性質(zhì)可得，則，因此，.故答案為：.16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為_______ .【答案】2【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出a與c的關(guān)系即可.【詳解】對于雙曲線 ，其漸近線方程為 ，對于圓 ，有 ，圓心為 ，半徑 ，漸近線被圓截得的弦長為2，所以圓心到漸近線的距離為 ，由點到直線距離公式得： ；故答案為：2. 四、解答題17．已知曲線： (1)求的值；(2)求曲線在點處的切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式求解；(2)根據(jù)切點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率以及切點在曲線上也在切線上的原理求解..【詳解】（1）由題得，所以.（2）因為，所以，切線方程為，即.18．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；（Ⅱ）求得，由裂項相消求和，化簡運(yùn)算可得所求和．【詳解】（Ⅰ）公差d不為零的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列， 可得，即，解得．則；（Ⅱ），可得前n項和.．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式與等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項相消求和，化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．已知數(shù)列滿足數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知條件得，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；且，當(dāng)時，．當(dāng)時，，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）由（1）得，利用分組求和即可．【詳解】（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，所以．又當(dāng)時，，所以，當(dāng)時， ①          ②由①－②得，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）得，所以．【點睛】方法點睛：求數(shù)列通項公式的方法：1.定義法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義；2.利用 與 的關(guān)系： ；3.累加法： ；4.累乘法：；5.構(gòu)造法：；；6.取倒數(shù)或者取對數(shù)．20．已知數(shù)列滿足：，且對任意的，都有，，成等差數(shù)列.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)已知：求數(shù)列前和為.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由條件可知，即，從而得出數(shù)列為等比數(shù)列；（2），利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）證明：由條件可知，即，，且，是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則，，，兩式相減可得，，即，化簡得.21．已知等比數(shù)列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入3個正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列前n項的乘積為，試問：是否有最大值？如果是，請求出此時n以及最大值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)當(dāng)或時，有最大值. 【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）求出數(shù)列的前n項的乘積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）由已知得，數(shù)列的首項， ，設(shè)數(shù)列的公比為，即 ∴即，（2） ，即當(dāng)或5時，有最大值.22．已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點，C2的左?右焦點分別為F1，F2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點在橢圓左頂點的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)拋物線角點可得橢圓半焦距，結(jié)合離心率可解；（2）由題可知，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程消元，利用韋達(dá)定理、弦長公式和點到直線的距離公式表示出面積，化簡，由基本不等式可得.【詳解】（1）由題意可得，拋物線的焦點為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，所以，則，即，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，∵與互補(bǔ)，∴，所以，化簡整理得①，設(shè)直線PQ為，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，∴PQ的方程為，且由②可得，，即，由點到直線PQ的距離，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積S最大值為. 

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