一、單選題
1．若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或0B．C．1或0D．1
【答案】A
【分析】利用直線垂直的充分必要條件判斷即可.
【詳解】由已知可得，解得或，
故選：A
2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為40，前項(xiàng)和為420，則前項(xiàng)和為（ ）
A．140B．180C．220D．380
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
成等差數(shù)列，
所以，
又
所以，解得.
所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：B.
3．若雙曲線：為等軸雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意寫出焦點(diǎn)在軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)該雙曲線為等軸雙曲線寫出滿足的條件，解得即可.
【詳解】由于雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，所以，解得.
故選：.
4．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為3，點(diǎn)到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求以點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓和以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的公切線的條數(shù)求解.，
【詳解】到點(diǎn)距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，
同理到點(diǎn)距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，
故所求直線為兩圓的公切線，
又，
故兩圓外切，
所以公切線有3條，
故選：C
5．如圖所示，矩形的一邊在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)，在函數(shù)（）的圖像上.若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），矩形的周長(zhǎng)記為，則（ ）
A．216B．108C．220D．110
【答案】A
【分析】先確定點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得矩形的周長(zhǎng)，進(jìn)而可求和.
【詳解】令，則，即方程若有兩不等根，則這兩不等根必互為倒數(shù)，
因?yàn)辄c(diǎn)，在函數(shù)（）的圖像上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
所以矩形的周長(zhǎng)，
所以.
故選：A.
6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)推出，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再分別用基本量法得出，最后結(jié)合，代入數(shù)值即可算出結(jié)果
【詳解】由題意可知不符合題意；
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列；所以，
則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，通分化簡(jiǎn)可得，
而，則
因?yàn)?，，代入可得?br>故選：C
7．已知點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6B．7C．D．
【答案】D
【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓心和半徑，求解的表達(dá)式，然后求解最值.
【詳解】點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
又為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，圓的圓心，半徑為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
則的最大值為.
故選：D.
8．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)，稱為“高斯函數(shù)”，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.則的前2048項(xiàng)的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)高斯函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后利用錯(cuò)位相減法求和即可求得.
【詳解】；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，記的前2048項(xiàng)的和為，
則，
又，
相減得
，所以.
故選：B.
二、多選題
9．已知是圓：上一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為
D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為
【答案】AD
【分析】確定圓心和半徑，表示和所在直線的斜率，計(jì)算得到A正確B錯(cuò)誤，確定點(diǎn)在圓上，計(jì)算斜率得到切線方程，得到答案.
【詳解】，即，圓心為，，
對(duì)選項(xiàng)AB：表示和所在直線的斜率，
如圖所示：當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率最大，此時(shí)，
故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)CD：點(diǎn)在圓上，則，故切線斜率為，
切線方程為，即，C錯(cuò)誤D正確；
故選：AD.
10．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng).為的前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
（1） （2） （3）
A．?dāng)?shù)列是1為首頂，為公比的等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列
C．若，為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是
D．若恒成立.，則的最小值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意得到，，，，得到A正確B錯(cuò)誤，計(jì)算得到，再利用均值不等式計(jì)算得到C正確，確定，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，，D正確，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，，數(shù)列是1為首頂，為公比的等比數(shù)列，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，即，整理得到，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，數(shù)列單調(diào)遞增，且，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故，，
故的最小值為，正確；
故選：ACD
11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．以線段為直徑的圓與直線相交
B．以線段為直徑的圓與軸相切
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)直線的?斜角為60°時(shí)，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)
【答案】AC
【分析】對(duì)于A：取線段的中點(diǎn)，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，計(jì)算出與的關(guān)系可得結(jié)論；對(duì)于B：不妨設(shè)，取線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，線段分別交軸于點(diǎn)，計(jì)算出與的關(guān)系可得結(jié)論；對(duì)于C：設(shè)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合計(jì)算可得答案；對(duì)于D：將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)可得答案.
【詳解】對(duì)于A：取線段的中點(diǎn)，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為， 則，
則
所以以線段為直徑的圓與直線相交，即必與直線相交，A正確；
對(duì)于B：不妨設(shè)，取線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，線段分別交軸于點(diǎn)，
，
此時(shí)以線段為直徑的圓與軸相離；B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
所以，結(jié)合，解得，
所以，C正確；
對(duì)于D：當(dāng)直線的?斜角為60°時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
解得，所以，
即或
所以為線段的一個(gè)四等分點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使待對(duì)任意，均有，則稱是“間隔遞增數(shù)列”，是數(shù)列的“間隔數(shù)”，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列
B．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列
C．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2
D．已知，若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義，通過(guò)計(jì)算，根據(jù)其正負(fù)取值情況來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，
對(duì)于函數(shù)，明顯其在上單調(diào)遞增，
則，
當(dāng)，即時(shí)，，B正確；
對(duì)于C：，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，存在，使成立，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，存在，使成立，
綜上，數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故C正確；
對(duì)于D：若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，
則對(duì)恒成立，
即，
解得，又該不等式的解為
所以，解得，可以得到，D正確；
故選：BCD.
三、填空題
13．已知等比數(shù)列滿足，且其前項(xiàng)和滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)條件確定數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)即可得答案.
【詳解】等比數(shù)列滿足，說(shuō)明數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，
又，可得，
則符合上述條件的數(shù)列只要滿足即可
故.
故答案為：（答案不唯一）
14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為.若，與相交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的重心，則點(diǎn)到軸的距離為 .
【答案】/
【分析】確定，，根據(jù)相似得到，得到，計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：，是的重心，故，，
，故，故，不妨取，
，
故答案為：
15．過(guò)雙曲線（）右焦點(diǎn)的直線交兩漸近線于，兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得到四邊形為正方形，再根據(jù)，可求出，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】，
雙曲線的漸近線如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，又由雙曲線的對(duì)稱性知的平分線在軸上，即點(diǎn)在軸上，
過(guò)點(diǎn)分別作于，于，
則，
又由得四邊形為正方形，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，又，
所以，又，
則，
所以，
所以.
故答案為：.
16．在如圖所示的三角新形陣中，用（）表示第行第個(gè)數(shù)（，），已知（），且當(dāng)時(shí)，除第行的第1個(gè)數(shù)和第個(gè)數(shù)外，每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和.即（）.若，則正整數(shù)的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)規(guī)律得到，利用分組求和及等比數(shù)列求和公式得到，從而得到不等式，求出整數(shù)m的最小值.
【詳解】∵，
，
∴
，
因?yàn)槿?，則，即，
因?yàn)?，故，所以，?br>即，
所以正整數(shù)m的最小值為.
故答案為：
四、解答題
17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，；數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前頂和
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件可直接求；求出公比和，進(jìn)而可得；
（2）根據(jù)等差等比的前和公式直接求.
【詳解】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，，
，
又?jǐn)?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為，
，
，
又，得，
；
（2）由（1）得，
則，
整理得
18．已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)為、，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線交于、兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線的傾斜角為，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)確定，，得到，得到雙曲線方程.
（2）確定直線方程，聯(lián)立計(jì)算得到交點(diǎn)，計(jì)算面積得到答案.
【詳解】（1）實(shí)軸長(zhǎng)為，故，
當(dāng)時(shí)，，即，，，
雙曲線方程為；
（2），直線的傾斜角為，故直線的方程為，
，整理得到，解得，，
.
19．在下列條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問(wèn)題.
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，證明：.
【答案】(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）選①：由題意，，所以或，又因?yàn)閿?shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且，所以數(shù)列為，即，
構(gòu)造等比數(shù)列即可求解；選②：由，，兩式相減可得，以下過(guò)程與①相同；選③：由，可得，
又，時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以也滿足上式，所以，即，以下過(guò)程與①相同.
然后由分組求和法可得前n項(xiàng)和；
（2）由（1）求出，，則，利用裂項(xiàng)相消求和法求出前n項(xiàng)和記為即可證明.
【詳解】（1）解：選①：因?yàn)?，?shù)列為常數(shù)列，
所以，解得或，
又因?yàn)閿?shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且，
所以數(shù)列為，
所以，即，
所以，又，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
選②：因?yàn)?，?br>所以兩式相減可得，即，以下過(guò)程與①相同；
選③：由，可得，
又，時(shí)，，所以，
因?yàn)?，所以也滿足上式，
所以，即，以下過(guò)程與①相同；
所以；
（2）解：由（1）知，，
所以，
所以
.
20．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)直線交拋物線于、兩點(diǎn).若，直線、直線分別交拋物線于、兩點(diǎn).
(1)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
(2)若直線、的斜率存在且分別為，，求的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）確定，設(shè)出點(diǎn)和直線方程，聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算交點(diǎn)得到交點(diǎn)坐標(biāo)，確定的直線方程為，得到答案.
（2）確定，，，，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）是拋物線的焦點(diǎn)，則，設(shè)，，
設(shè)方程為，
則，則，，故，，
直線：，，或，故，同理可得：，故，
方程為，
整理得到：，故直線過(guò)定點(diǎn).
（2），，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了拋物線中的定點(diǎn)問(wèn)題和最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用設(shè)而不求的系數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，需要熟練掌握.
21．已知等差數(shù)列的各項(xiàng)都是正整數(shù)，且，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理山.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再由是等差數(shù)列，列式，運(yùn)算得公差，并檢驗(yàn)符合題意得解；
（2）由題意，，成等比數(shù)列即，，成等差數(shù)列，可得，當(dāng)，時(shí)合題意，分析數(shù)列的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，，上式不成立.
【詳解】（1）由題意，可得，設(shè)其公差為，則，
又，，
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，則，
即，又為數(shù)列的前項(xiàng)和，
可得，即，
又，，
則上式可化簡(jiǎn)為，解得或，又，
，則，，即，
滿足數(shù)列是等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由題意，，成等比數(shù)列即得，且，
所以，，則，
所以，，成等差數(shù)列，可得，（*）
當(dāng)，時(shí)，左邊=，右=，上式成立，
所以正整數(shù)數(shù)組滿足題意；
由，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則，而，故當(dāng)時(shí)，（*）方程無(wú)正整數(shù)解；
綜上，存在唯一的正整數(shù)數(shù)組滿足題意.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，、、三點(diǎn)共線，且，.當(dāng)、分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率分別為，的兩條直線與曲線分別交于點(diǎn)、、、，并滿足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考慮在線段內(nèi)和線段外兩種情況，設(shè)出坐標(biāo)，確定坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)或計(jì)算得到軌跡.
（2）設(shè)出坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算，，計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）設(shè)，，，，，
當(dāng)在線段內(nèi)，則，，故，即，
即；
當(dāng)在線段外，則，，故，即，
即；
綜上所述：曲線的方程的軌跡方程為.
（2）設(shè)，，設(shè)的直線方程為，
則，化簡(jiǎn)得到，
點(diǎn)在橢圓內(nèi)，直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，
，，
；
同理可得：，故，
化簡(jiǎn)得到，，故，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的軌跡方程，橢圓中的定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，此方式是常用的方法，需要靈活掌握.

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