2024.10
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算可得，進而可求模長.
【詳解】因為，所以.
故選：D.
2. 設(shè)，則“”是“都不為1”的（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】因式分解，根據(jù)實數(shù)運算性質(zhì)可得.
【詳解】因為，
所以且，即且，充分性成立；
反之，若都不為1，則且，
即，即，必要性成立.
所以，“”是“都不為1”的充要條件.
故選：C
3. 函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A. 向左平移后的所得函數(shù)B. 向右平移后的所得函數(shù)
C. 向左平移后的所得函數(shù)D. 向右平移后的所得函數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】利用輔助角公式可得，結(jié)合三角函數(shù)圖象變換結(jié)合函數(shù)奇偶性分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：向左平移后的所得函數(shù)，為奇函數(shù)，故A正確；
對于選項B：向右平移后的所得函數(shù)，不為奇函數(shù)，故B錯誤；
對于選項C：向左平移后的所得函數(shù)，不為奇函數(shù)，故C錯誤；
對于選項D：向右平移后的所得函數(shù)，不為奇函數(shù)，故D錯誤；
故選：A.
4. 已知是曲線上一點，直線經(jīng)過點，且與曲線在點處的切線垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可.
【詳解】因為，則，
直線，即為，其斜率為，
設(shè)，
由題意可得：，解得.
故選：C.
5. 某廠以千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤元，要使得生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，則的值為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.
【詳解】要生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，則需要小時，
則利潤為，
可知當(dāng)，即（滿足）時，利潤取到最大值.
故選：A.
6. 已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知為奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【詳解】因為的定義域為，且，
可知函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)，則，
且的開口向上，對稱軸為，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
由奇函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則，
可得，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
7. 若偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知的一個周期為2，根據(jù)周期性結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)以及對數(shù)運算求解.
【詳解】因為，則，
又因為偶函數(shù)，則，可得，
可知的一個周期為2，
因為，且，
可得，
且，
所以
故選：B.
8. 在中，角所對的邊分別是，已知，且，當(dāng)取得最小值時，的最大內(nèi)角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件，再根據(jù)余弦定理即可得結(jié)果.
【詳解】因為，即，
可得，即，
由正弦定理可得，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
若取得最小值，則，
此時最大角為角A，，
所以的最大內(nèi)角的余弦值是.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷AB，應(yīng)用作差比較法可判斷CD.
【詳解】A項，由，得，故A錯誤；
B項，由，得，故B正確；
C項，由已知，得，，
則，且，
所以，
則，故C正確；
D項，
因為，則，
所以，
即，故D錯誤.
故選：BC.
10. 已知，則（ ）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，在上的投影向量為
D. 當(dāng)時，的夾角為鈍角
【答案】AB
【解析】
【分析】由向量模的坐標(biāo)公式可得A；由向量垂直的坐標(biāo)條件可得B；由投影向量求法可判斷C項；舉特例，當(dāng)兩向量共線且反向時可知D錯誤.
【詳解】A項，當(dāng)時，，
則，故A正確；
B項，當(dāng)時，，
則，，
所以，故B正確；
C項，當(dāng)時，，
則，，
在上的投影向量為，故C錯誤；
D項，當(dāng)時，，
則，即兩向量共線且反向，
，但兩向量的的夾角為，不是鈍角，故D錯誤.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，，則（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 當(dāng)時，函數(shù)的值域為
C. 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有個零點，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用余弦型函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性可判斷A選項；利用二次函數(shù)的值域可判斷B選項；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；在時解方程，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的最小正周期為，
函數(shù)的最小正周期為，
故函數(shù)的最小正周期為，A對；
對于B選項，當(dāng)時，，
令，則，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，，
所以，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，B對；
對于C選項，當(dāng)時，，
則，
令，則，則外層函數(shù)，
外層函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增時，則函數(shù)為增函數(shù)，
所以，；
當(dāng)時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減時，則函數(shù)為增函數(shù)，
所以，.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、
，C錯；
對于D選項，當(dāng)時，，
可得或，
由于函數(shù)的最小正周期為，且，
現(xiàn)在考慮函數(shù)在上的零點個數(shù)，
由可得，由可得或，
所以，函數(shù)在上零點個數(shù)為，
因為，故，D對.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；
③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；
④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知集合，集合，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性和集合并集的運算可求的值.
【詳解】因為，所以或.
若，則，此時，集合中的元素不滿足互異性，故舍去.
若則或.
當(dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性，故舍去；
當(dāng)時，，，，故符合題意.
故答案為：2
13. 已知為鈍角，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，切化弦結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可，即可得結(jié)果.
【詳解】因為，
則
，
即，且為鈍角，所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得，由題意可知是方程的根，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：，
令，解得：或，
當(dāng)時，恒成立，可知在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時，則，
當(dāng)，；當(dāng)，；
可知在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，則，
當(dāng)，；當(dāng)，；
可知在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
綜上所述：，且的兩個極值為，.
若有三個零點，則，
即，
若的取值范圍恰好是，
可知是關(guān)于a的方程的根，
代入可得，解得，
若，不等式即為，
整理可得，解得，符合題意，
綜上所述：.
故答案為：1.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：分析可知，結(jié)合不等式的解與方程的根之間的關(guān)系可知是方程的根，進而可得結(jié)果.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，動點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）已知點為曲線上的一點，曲線在點的切線交直線于，過作直線的垂線交于點，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)題意列式求解即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線、的方程，進而可得點的坐標(biāo)，即可求面積.
【小問1詳解】
設(shè)Mx,y，
由題意可得，化簡得，
所以動點的軌跡方程為.
【小問2詳解】
由（1）可知：，，
當(dāng)，可得，，
即切點坐標(biāo)為，切線斜率為，
所以直線方程為，即，
令，可得，即，
由題意可知：直線的斜率，
則直線的方程，即，
聯(lián)立方程，解得或，即，
所以面積為．
16. 如圖，在三棱臺中，和都為等腰直角三角形，，為線段的中點，為線段上的點，且平面．
（1）求證：點為線段的中點；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)推理得證.
（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合線面垂直的判定性質(zhì)，作出二面角的平面角，再在直角三角形中計算即可.
【小問1詳解】
連接，設(shè)，連接，
由平面平面，平面平面，得，
三棱臺中，有，又為線段的中點，則，
于是四邊形為平行四邊形．即是的中點，所以點是的中點．
【小問2詳解】
過點作交于，連接，
由，得，
由（1）知，，則，又平面，
于平面，而平面，則，
又三角形為等腰直角三角形，為斜邊的中點，即，且，
而平面，因此平面，
由平面，得，
由平面，得平面，則，
于是為二面角的平面角，
在中，，，
在中，，，
從而，
所以二面角的余弦值為.
17. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，周長為，且．
（1）求角A；
（2）設(shè)的延長線上一點滿足，又線段（不含端點）上點滿足，求線段的長度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得，結(jié)合周長可得，即可得結(jié)果；
（2）作于，設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合倍角公式列式求解即可.
【小問1詳解】
在中，，由正弦定理得，
又因為三角形周長為18，則，
可得，即，
可知為正三角形，所以.
【小問2詳解】
如圖等邊中，作于，
設(shè)，則，
因為，
可得，
即，且，解得，
所以．

18. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)存在一條對稱軸，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)恰有2個零點，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見詳解 （3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對稱性的定義運算求解即可；
（2）求導(dǎo)，分類討論的符號，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）可知，且，構(gòu)建gk=ln2k+1+kln2kk+1,k>0，利用導(dǎo)數(shù)分析求解即可.
【小問1詳解】
因為函數(shù)，
所以函數(shù)定義域為?1,1，且函數(shù)存在一條對稱軸，故對稱軸為，
所以，
即，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時上式恒成立，故.
【小問2詳解】
由題意，
當(dāng)時，有k+1?k?1=2>0且k+1??1?k?1=?2k>0，
所以f′x0，當(dāng)時，f′x0，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，
又因為，所以的解為或．
當(dāng)時，有，
因為，
所以，
故在有一個零點，又因為，
此時有2個零點，滿足題意：
當(dāng)時，有，
因為，
所以，
故在有一個零點，又因為，
此時有2個零點，滿足題意；
所以的取值范圍為或．
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：
（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；
（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．
19. 在無窮數(shù)列中，若，且，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，設(shè)為“數(shù)列”，記的前項和為．
（1），求的值；
（2）若，求的值；
（3）證明：中總有一項為1或2．
【答案】（1）
（2）18；38；
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，分類討論的值分別求解可得；
（2）按照遞推關(guān)系依次求解各項，得到第6項開始的周期規(guī)律，再由等差特點求可得；
（3）利用反證法先證明：一定存在某個，使得成立，再驗證當(dāng)時，存在某項為或.
【小問1詳解】
數(shù)列滿足，
①若，則,
所以不滿足，②若，不是完全平方數(shù)，
則，也不是完全平方數(shù)，
則，所以，滿足題意；
③若，不是完全平方數(shù)，
則是完全平方數(shù)，
則，所以，滿足題意；
④若，是完全平方數(shù)，
則，不是完全平方數(shù)，
則，所以，滿足題意；
⑤若，且，
若不是完全平方數(shù)，則，
則，則，若是完全平方數(shù)，
則，，，
所以；故都不滿足題意；
綜上，；
【小問2詳解】
當(dāng)時，由不是完全平方數(shù)，
則不是完全平方數(shù)，
則不是完全平方數(shù)，
則不是完全平方數(shù)，
則是完全平方數(shù)，
則不是完全平方數(shù)，，
由遞推關(guān)系可得中的各項依次為，
即數(shù)列從第6項開始每3項是一個周期，
所以，，
當(dāng)時，，
故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以時，，
所以,；
【小問3詳解】
首先證明：一定存在某個，使得成立，
用反證法證明，假設(shè)對每一個，都有，
若是完全平方數(shù)時，必有，
若不完全平方數(shù)時，則必存在，使得為完全平方數(shù)，
則存在不小于的最小的完全平方數(shù)，滿足．
即存在，使得，則，
即每一個完全平方項及其后一項遞減，如此進行下去，必出現(xiàn)小于或等于4的項，
這與對每一個，都有矛盾，
所以必定存在某個，使得成立，
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，中出現(xiàn)1，
當(dāng)時，中出現(xiàn)2，
當(dāng)時，，中出現(xiàn)2，
當(dāng)時，，中出現(xiàn)2，
綜上，中總有一項為1或2．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（2）關(guān)鍵在于按照遞推關(guān)系依次求解各項，得到第6項開始的周期規(guī)律，（3）關(guān)鍵在于利用反證法先證明：一定存在某個，使得成立.

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