數(shù)學(xué)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。共4頁，總分150分，考試時間120分鐘。
第I卷(選擇題共58分)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1． 已知集合A＝{x∈R|x2－2x－3＜0}，集合B＝{x∈R|lg2(x＋2)＜1}，則A∩B＝
A.(－3,2)B.(－2,3)C.(－2,0)D.(－1,0)
2． 已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝3－i，則復(fù)數(shù)||＝
A.2B.C.2D.
3． 在?ABC中，“A＝B”是“cs A＋sin A＝cs B＋sin B”的
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4． 我國周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13這8個數(shù)中任取3個數(shù)，這3個數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為
A.B.C.D.
5． 已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的體積為
A.B.C.D.
6． 若(2－x)10的展開式中二項式系數(shù)和為A，所有項系數(shù)和為B，一次項系數(shù)為C，則A＋B＋C＝
A.4095B.4097C.－4095D.－4097
7． 已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最大值為
A.B.C.D.
8． 若x1，x2是關(guān)于x的方程3sin2x－cs2x＝a在［0,］內(nèi)的兩根，則tan(x1＋x2)的值為
A.－3B.3D.－D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
9． 已知向量a＝(1，－2)，b＝(1,3)，則下列結(jié)論正確的是
A.b在a上的投影向量是(1，－2)B.|2a＋b|＝|b|
C.a與b的夾角為D.(a＋b)⊥a
10．以下四個命題表述正確的是
A.直線(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(x∈R)恒過定點(－2,3)
B.圓x2＋y2＝4上有且僅有3個點到直線l：x－y＋＝0的距離都等于1
C.曲線C1：x2＋y2＋2x＝0與曲線C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三條公切線，則m＝4
D.若雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓x2＋y2－6x＝0截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為
11．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f＇(x)，若滿足xf(x)＋x2f(x)＝1，且f(1)＝0，則下列說法正確的是
A.f(2)＞f(3)B.若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，則x1＋x2＝2e
C.f(x)的最大值為D.若xf(（x）≥eλ，則λ≤0
第II卷(非選擇題共92分)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知等比數(shù)列{an}的公比為2，前n項和為Sn，且7，a2，a6成等差數(shù)列，則S6＝ ▲ .
13．為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了100個蘋果．經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態(tài)分布N(0.4，σ2)，已知P(x＜0.1)＝0.1，P(x＞0.5)＝0.3．若從該蘋果園中隨機采摘1個蘋果，則該蘋果的重量在(0.5,0.7］內(nèi)的概率為 ▲ .
14．在正三棱錐A－BCD中，底面?BCD的邊長為4，E為AD的中點，AB⊥CE，則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線長為 ▲ .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．(13分)
在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cs A＝.
(1)求的值；
(2)若a＝2，?ABC的面積為，求b的值．
16．(15分)
籃球是一項風(fēng)靡世界的運動，是深受大眾喜歡的一項運動.
(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到如上2×2列聯(lián)表，判斷是否有99.9％ 把握認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)；
(2)?；@球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1＝1．
①求P3(直接寫出結(jié)果即可)；
②證明：數(shù)列{Pn－}為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝,n＝a＋b＋c＋d.
17．(15分)
已知函數(shù)f(x)＝xex－kx2，k∈R.
(1)當k＝0時，求函數(shù)f(x)在［－2,2］上的值域；
(2)若函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上僅有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．
18．(17分)
已知矩形ABCD中，點E在邊CD上，且AD＝DE＝2CE＝．現(xiàn)將?ADE沿AE向上翻折，使點D到點P的位置，構(gòu)成如圖所示的四棱錐P－ABCE.
(1)若點F在線段AP上，且EF//平面PBC，求的值；
(2)若PB＝，求銳二面角P－EC－A的余弦值.
19．(17分)
在平面直角坐標系xOy中，若在曲線E1的方程F(x，y)＝0中，以(λx，λy)(λ為非零的正實數(shù))代替(x，y)得到曲線E2的方程F(λx，λy)＝0，則稱曲線E1、E2關(guān)于原點“伸縮”，變換(x，y)→(λx，λy)稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線E1的方程為＝1，伸縮比λ＝，求E1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線E2的方程；
(2)射線l的方程y＝x(x≥0)，如果橢圓E1：＝1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓E2，若射線l與橢圓E1、E2分別交于兩點A、B，且|AB|＝，求橢圓E2的方程；
(3)對拋物線E1：x2＝2p1y，作變換(x，y)→(λ1x，λ1y)，得拋物線E2：x2＝2p2y；對E2作變換(x，y)→(λ2x，λ2y)，得拋物線E3：x3＝2p3y；如此進行下去，對拋物線En：x2＝2pny作變換(x，y)→(λnx，λny)， 得拋物線En＋1：x2＝2pn＋1y，…．若p1＝1，λn＝2n，求數(shù)列{pn}的通項公式pn.
喜愛籃球運動
不喜愛籃球運動
合計
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計
80
120
200
P
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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