2023屆江蘇省前黃中學(xué)、姜堰中學(xué)、如東中學(xué)、沭陽中學(xué)高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的表達(dá)形式即可得出答案.【詳解】由題知，的代表元素是點(diǎn)，的代表元素是實(shí)數(shù)，兩者沒有交集.故選：D2．若復(fù)數(shù)滿足,則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及模長公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>,所以,則,故選:B.3．如圖所示，某學(xué)生社團(tuán)在公園內(nèi)測量某建筑的高度，為該建筑頂部.在處測得仰角，當(dāng)沿一固定方向前進(jìn)60米到達(dá)處時(shí)測得仰角，再繼續(xù)前進(jìn)30米到達(dá)處時(shí)測得仰角，已知該建筑底部A和、、在同一水平面上，則該建筑高度為（    ）  A． B． C．45 D．90【答案】D【分析】解直角三角形求得AE分別與AD，AC，AB的關(guān)系，再余弦定理解和即可.【詳解】設(shè)，由題意知，所以，同理，即.在和中，.    由余弦定理可得：，即，解得.故選：D4．某校高中計(jì)劃舉辦足球比賽，每個(gè)年級(jí)有兩隊(duì)，把全校6個(gè)隊(duì)分為甲、乙兩組，每組3隊(duì)，則每個(gè)年級(jí)的隊(duì)都不在同一組的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概率和組合數(shù)計(jì)算即可得到答案.【詳解】首先計(jì)算出總事件數(shù)為種，而每個(gè)年級(jí)的隊(duì)都不在同一組的情況數(shù)為種，故概率，故選：B.5．已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量，，均為單位向量，且，根據(jù)向量的減法的幾何意義，可判定，與構(gòu)成等邊三角形，，向量夾角為，再化簡原式即可求解.【詳解】由平面向量，，均為單位向量，且，根據(jù)向量的減法的幾何意義，可判定，與構(gòu)成等邊三角形，所以，向量夾角為，,所以當(dāng)與同向時(shí)，原式取到最小值；當(dāng)與反向時(shí)，原式取到最大值4.故選：C.6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（    ）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】C【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求出函數(shù)的周期，并結(jié)合求出a，b的值，即可判斷A；由的周期可求出即可判斷B；為偶函數(shù)得，結(jié)合的周期即可判斷C；由即可判斷D.【詳解】為奇函數(shù)，，令，則；用替換，則，又為偶函數(shù)，，令，則；用替換，則，，用替換，則，，則的一個(gè)周期為4，由，解得，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，得，得為偶函數(shù)，故C正確；時(shí)，，，不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤，故選：C.7．設(shè)點(diǎn)、分別為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得出線段關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義與余弦定理計(jì)算即可.【詳解】  由題意可知，，設(shè)，則，則,，∴在中，由余弦定理得.故選：A8．若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為（    ）A． B．0 C．1 D．3【答案】B【分析】參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】因?yàn)?/span>對(duì)于任意恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，令，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由對(duì)勾函數(shù)可知，即，因?yàn)?/span>，即，，，所以，當(dāng)時(shí)，不等式為，因?yàn)?/span>，不合題意；所以整數(shù)的最大值為0.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位數(shù)為17B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，則方差D．若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)相同的正數(shù)，則平均數(shù)和方差都會(huì)發(fā)生變化【答案】ABC【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用方差和期望的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)共個(gè)數(shù)，且，因此，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，且，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在隨機(jī)變量的每個(gè)樣本數(shù)據(jù)上都加個(gè)正數(shù)，則得到的新數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為，由期望和方差的性質(zhì)可得，，因此，若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)相同的正數(shù)，則平均數(shù)會(huì)改變，但方差不變，D錯(cuò).故選：ABC.10．?dāng)?shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由，，得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由此求解.【詳解】由，,得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為，故，故選項(xiàng)A正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C中，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D中，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則函數(shù)的周期可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用三角函數(shù)平移問題得到，根據(jù)函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，判斷的取值范圍，進(jìn)而確定周期的范圍，得出答案.【詳解】向右平移個(gè)單位，得到的圖像，再把圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（），縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，即，因?yàn)?/span>在上沒有零點(diǎn)，所以首先滿足，即，，令，即，所以，則或，所以或，綜上，或，所以或，或，即或.故選：BD12．若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)，，其坐標(biāo)滿足條件：的最大值為0，則稱為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“柯西函數(shù)”的為（    ）A．（） B．（）C． D．【答案】CD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示將問題轉(zhuǎn)化為過原點(diǎn)的直線與函數(shù)至少有兩個(gè)不同交點(diǎn)，一一判斷即可.【詳解】結(jié)合題意可知=，即，當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)取得等號(hào)，即的最大值為0，故“柯西函數(shù)”為與過原點(diǎn)的直線至少有兩個(gè)不同交點(diǎn)的函數(shù).設(shè)，對(duì)于A，，設(shè)，即在上單調(diào)遞減，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，設(shè)，即在上單調(diào)遞增，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，令，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，故當(dāng)時(shí)，符合題意，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，即在R上單調(diào)遞減，而，故恒成立，故結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，有至少兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，故D正確；故選：CD. 三、解答題13．已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為和；(2) 【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可得單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)式子化簡，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，令，得或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為和；（2）依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即時(shí)，恒成立，取代入，則，此時(shí)，取代入，則，此時(shí)，所以.下面證明，當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，也即是證明在區(qū)間上恒成立.下面分兩種情形進(jìn)行討論：情形一：當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)：，由于，，，，，所以，即．情形二，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上遞減，所以．當(dāng)時(shí)，，，遞增，所以，所以此時(shí)，在上遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，.結(jié)合情形一和情形二得到：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.14．小徐同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系畫了一系列直線（）和以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖所示，他發(fā)現(xiàn)這些直線和對(duì)應(yīng)同一值的圓的交點(diǎn)形成的軌跡很熟悉．  (1)求上述交點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作直線交此軌跡于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且，軌跡上一點(diǎn)在直線的左側(cè)，求三角形面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知列方程組，消參即可得軌跡方程；（2）先設(shè)直線的方程，再和拋物線聯(lián)立方程組得兩根和及兩根積，最后結(jié)合向量關(guān)系及面積公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)為（2）  設(shè)直線為，，，，，，，，，，直線：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為所以15．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，求邊長．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由可換成正弦值相等，利用三角恒等變換、正余弦定理求解.（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角形.【詳解】（1），，或當(dāng)時(shí)，，，即，綜上（2），，，，，設(shè)，，，，在中：，16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用與的關(guān)系得到,即,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到對(duì)一切正整數(shù)恒成立,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列最小值問題.令,設(shè)當(dāng)時(shí),最大,列不等式組求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,得,當(dāng)時(shí),,整理得,等式兩邊同除得,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,則.（2）不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立,即對(duì)一切正整數(shù)恒成立.令,設(shè)當(dāng)時(shí),最大,則,解得,因?yàn)?/span>,所以,又,則,即的最小值為.17．在三棱柱中，側(cè)面，為棱的中點(diǎn)，三角形為等邊三角形，，．  (1)求證：面面；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理和面面垂直判定定理證明即可；（2）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.【詳解】（1）面，，三棱柱中，，，又為的中點(diǎn)，三角形為等邊三角形，，，在三角形中，在三角形中，，，又，，面，面，面，面,所以面面（2）  以點(diǎn)為原點(diǎn)，、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)?/span>側(cè)面，,側(cè)面平面，,,，面，面，面，面的法向量為，設(shè)面的法向量為，，所以設(shè)二面角的平面角為為銳角，18．博鰲亞洲論壇年會(huì)員大會(huì)于月日在海南博鰲舉辦，大會(huì)組織者對(duì)招募的名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織了一次知識(shí)競賽，將所得成績制成如下頻率分布直方圖（假定每個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績均勻分布），組織者計(jì)劃對(duì)成績前名的參賽者進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．  (1)試確定受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線；(2)從受獎(jiǎng)勵(lì)的以下和的人中采取分層抽樣的方法從中選人在主會(huì)場服務(wù)，組織者又從這人中任選人為貴賓服務(wù)，記其中成績在分以上（含分）的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖首先確定獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線所在區(qū)間，從而構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣原則確定人中，分?jǐn)?shù)在分以下和分以上（含分）的人數(shù)，從而得到所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算得到期望值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，競賽成績在分的人數(shù)為；競賽成績在的人數(shù)為，受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線在之間；設(shè)受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為，則，解得：，受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為．（2）由（1）知：受獎(jiǎng)勵(lì)的人中，分?jǐn)?shù)在分的人數(shù)為，則分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)為；從受獎(jiǎng)勵(lì)的人中分層抽樣選人在主會(huì)場服務(wù)，其中分?jǐn)?shù)在分以下的有人，分?jǐn)?shù)在的有人，人中成績在分以上（含分）的人數(shù)的可能取值為，；；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望為. 四、填空題19．在四面體中，，，，、分別為、的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線垂直且與四面體各面均相交的平面去截該四面體，則得到的多邊形截面面積的最大值為______．【答案】10【分析】根據(jù)題意，將四面體補(bǔ)形為長方體，然后即可得到截面，再結(jié)合基本不等式即可得到截面積的最大值.【詳解】  由題意，將四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，設(shè)長方體的長寬高分別為，則，解得，則，由已知條件可得，，由于，所以可得截面為平行四邊形，由，可得，由，可得，所以，所以可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，在中，由余弦定理可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).所以多邊形截面的最大面積為.故答案為：.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，，若滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)，則實(shí)數(shù)的值是______．【答案】或【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，利用，，可求點(diǎn)軌跡方程，又在直線上，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑可求的值.【詳解】由題意圓：，則圓心，，圓：，則圓心，，設(shè)，若，，，則，，，即，圓心坐標(biāo)為，半徑為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，有且只有個(gè)點(diǎn)滿足，直線與圓相切，圓心到直線的距離，或，即實(shí)數(shù)的值為或故答案為：或21．三次函數(shù)在其對(duì)稱中心處的切線的斜截式方程為______．【答案】【分析】由的對(duì)稱中心是，可得，根據(jù)，設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，得出，即可得出，再利用切線方程的求解方法求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的對(duì)稱中心是，所以，，又，設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則，，，，所以在圖像上，則，，由，解得，，，，則切線方程為，.故答案為：22．已知的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為______．【答案】10【分析】由二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，求出，用通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，令得：，解得，所以.通項(xiàng)公式為：，令，得：，所以的系數(shù)為：.故答案為：10 

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