一、單選題
1．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】首先分析題意，利用復(fù)數(shù)相關(guān)知識進行分析即可.
【詳解】由于，對應(yīng)的點為，在第一象限.
故選：A.
2．直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（ ）
A．B．
C．或D．與的位置關(guān)系不能判斷
【答案】C
【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可.
【詳解】易知，即的方向向量與平面的法向量垂直，
所以有或.
故選：C
3．已知拋物線（）上的點到焦點的距離為3，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】首先分析題意，根據(jù)拋物線定義解出方程即可.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程的為，由拋物線的定義可得，解得，
故選：B.
4．已知，，，的夾角為，則（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】首先由數(shù)量積公式求得，又，代入求解即可.
【詳解】因為，，，的夾角為，
所以，
解得，
，
故選：C.
5．是圓上的動點，若到兩條直線：和：的距離之和與動點的位置無關(guān)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出圖形，結(jié)合圖形可知當(dāng)圓位于直線與之間時即為所求，根據(jù)直線與圓相切時是臨界值即可求解.
【詳解】圓心坐標(biāo)，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，因為直線與直線平行，如圖，
由圖可知，當(dāng)圓位于兩直線與之間時，
點到直線和的距離之和與點的位置無關(guān)，
此時點到兩直線和的距離之和即為與兩平行直線間的距離，
當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍去），
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
6．已知，分別為雙曲線：（，）的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圓的性質(zhì)可得，再結(jié)合求出，，利用雙曲線定義可得離心率的值.
【詳解】如圖：
由圓的性質(zhì)可得，
由于，所以，
，
所以，
結(jié)合雙曲線的定義可知：，
所以.
故選：C.
7．已知點為橢圓（）的左焦點，點為橢圓的下頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點，且的中點為，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直線的斜率為，設(shè)，，再利用點差法求出直線的斜率為，利用斜率相等可得的值，從而得到橢圓方程.
【詳解】
因為，，
所以直線的斜率為，
設(shè)，，則①，②，
①-②得：，
即，
因為是的中點，所以，，
所以，所以，
因為，所以，即，所以，
所以，所以，所以橢圓的方程為，
故選：D.
8．如圖是四棱錐的平面展開圖，四邊形是矩形，，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出直觀圖，證明出線面垂直，得到即為與平面所成角，求出各邊長，求出正切值.
【詳解】如圖，四棱錐中，
由題意得，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又四邊形是矩形，所以⊥，
因為，平面，
所以⊥平面，
故即為與平面所成角，
其中，
，，
所以，
又，，由勾股定理得，
所以.
故選：D
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．若事件和事件互斥，則
B．若事件和事件對立，則
C．若，則事件和事件獨立
D．若三個事件、、兩兩獨立，則
【答案】ABC
【分析】利用獨立事件的概率公式相關(guān)知識，由于互斥事件的性質(zhì)得A正確，相互獨立事件基本知識可得B正確，對于D首先分析題意再進行公式運算即可得出答案.
【詳解】對于A:由于互斥事件的性質(zhì)得，若事件A,B互斥，則.故A正確.
對于B:由于相互獨立事件基本知識可得：.故B正確.
對于C:由于，可得事件和事件獨立.故C正確.
對于D:滿足
所以事件A，B，C 兩兩獨立，但是
故D 錯誤.故選D.
故選：ABC.
10．設(shè)、分別是雙曲線：（）的左、右焦點，過作軸的垂線與交于、兩點，若為正三角形，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．雙曲線的焦距為D．的內(nèi)切圓與軸相切于點
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再逐項分析判斷即得.
【詳解】令雙曲線：的半焦距為c，則，直線，
而雙曲線實半軸長，由，得，即，
由為正三角形，得，又，解得，A錯誤，
，B正確；
顯然，因此雙曲線的焦距為，C錯誤；
令的內(nèi)切圓與邊相切的切點分別為，設(shè)點，
則，即有，解得，
因此的內(nèi)切圓與軸相切于點，D正確.
故選：BD
11．在邊長為2的正方體中，動點滿足（），則下列說法正確的是（ ）
A．若，則直線與所成的角為
B．三棱錐的體積為定值
C．若，則直線與平面所成的角為
D．若，則三棱錐的外接球的表面積為
【答案】BD
【分析】當(dāng)時，確定與點重合，通過平移，找到兩直線所成的角，放在三角形中求出，確定A的真假；確定三棱錐的底面積和高，求三棱錐的體積，確定B的真假；當(dāng)時，為中點，根據(jù)已知求直線與平面所成的角，判斷C的真假，求三棱錐外接球的半徑，確定D的真假.
【詳解】對A：當(dāng)時，點與點重合，如圖：
因為，所以（）就是直線與直線所成的角，連接，則為等邊三角形，故，所以A錯誤；
對B：如圖：
因為，平面，平面，所以：平面，所以：點到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；
對C：當(dāng)時，為中點，如圖：
易證就是直線與平面的所成角.在直角中，，所以所求角不是，故C錯誤.
對D：因為為中點，如圖：
易證，又，所以的中點即為三棱錐外接球的球心，所以外接球半徑為，所以其外接球的表面積為：，故D正確.
故選：BD
12．已知拋物線的焦點為，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點，，是拋物線上異于坐標(biāo)原點的兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線過點，則
B．若直線過點，則的最小值為4
C．若直線過點，則直線，的斜率之和
D．若直線過點，則
【答案】BCD
【分析】A、C由直曲聯(lián)立，由韋達定理得到；B由基本不等式得到；D討論斜率存在與否，再由直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和向量垂直的充分必要條件得到.
【詳解】
A:設(shè)直線，聯(lián)立方程組，
可得，且，則，故A不正確；
B: ,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故B正確；
C：，
將代入可得，
原式，故C正確；
D：當(dāng)斜率不存在的時候，直線方程為，交點坐標(biāo)，
此時，，故；
當(dāng)斜率存在的時候設(shè)為
，
則，
聯(lián)立，得到，，
，
把代入得到


，
故，故D正確.
故選：BCD
【點睛】本題考查與拋物線的焦點弦相關(guān)問題，利用數(shù)形結(jié)合和韋達定理，還有基本不等式可求得.
A、C由直曲聯(lián)立，由韋達定理得到；B由基本不等式得到；D討論斜率存在與否，再由直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和向量垂直的充分必要條件得到.
三、填空題
13．已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】利用向量在向量上的投影向量的定義求解.
【詳解】解：因為平面向量，，
所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為：
，
故答案為：
14．已知樣本，，，，的平均數(shù)為5，若，，，，的平均數(shù)為34．則樣本，，，，的方差為 ．
【答案】9
【分析】由方差公式，結(jié)合題干的條件即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)的方差為 ，則
故答案為：9.
15．已知圓臺上、下底而的圓的半徑分別為3和6，該圓臺的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為 ．
【答案】
【分析】設(shè)圓臺的高為，母線為，根據(jù)圓臺的體積公式求出，從而求出母線，最后由側(cè)面積公式計算可得.
【詳解】設(shè)圓臺的高為，母線為，則，解得，
所以，
則圓臺的側(cè)面積.
故答案為：
16．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，如與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．依上思想，已知，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)幾何意義將轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到圓上點距離的最小值問題，借助導(dǎo)數(shù)求解即可.
【詳解】化為，
可以轉(zhuǎn)化為到的距離，
其中可以看成上一點，可以看成上一點，
最短距離可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的最短距離減半徑.
則到圓心距離為，
令，，
令，則，則，
則單調(diào)遞增，顯然當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為拋物線點到圓上點距離最小值問題，借助圓心到拋物線上點距離最小值求解.
四、解答題
17．（1）已知拋物線（）的焦點坐標(biāo)為，過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于，兩點，求弦長；
（2）已知雙曲線：（，）的實軸長為2，且它的漸近線與圓相切，求雙曲線的焦點到漸近線的距離．
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）首先分析題意，利用拋物線基本定理，聯(lián)立拋物線方程與直線進行分析.
（2）首先分析題意，先求出實軸長，再解出漸近線方程，進而求出雙曲線的焦點到漸近線的距離為2.
【詳解】（1）由拋物線（）的焦點為，得拋物線的方程為
直線過點且傾斜角為，則直線的方程為，
聯(lián)立得：，
則
（2）雙曲線的實軸長為
則雙曲線：，則漸近線方程為：，
故，
故雙曲線的漸近線方程為：，取右焦點為，
則雙曲線的焦點到漸近線的距離為.
18．隨機抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：），按照區(qū)間，，，，分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)：
(2)將身高在，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個組，用分層隨機抽樣的方法從這三個組中抽取6人，再從這6人中任選2人出來，求這2人來自不同小組的概率．
【答案】(1)，177.5
(2)
【分析】（1）利用頻率分布直方圖小長方形面積和的定義結(jié)合80%分位數(shù)的定義即可.
（2）先求出分層比，后依據(jù)古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得．
身高在的人數(shù)占比為，身高在的人數(shù)占比為，
所以該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)落在內(nèi)，可知恰好為區(qū)間的中點，
故該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)為177.5．
（2）組人數(shù)為，組人數(shù)為，組人數(shù)為，
由題意可知組抽取人數(shù)為，組抽取人數(shù)為，
組抽取人數(shù)為．
設(shè)抽取的人組為1，2，3，組為4，5，組為6，
共有15個基本事件，分別為，，，，，，，，，
，，，，，，故6人中任選2人的基本事件數(shù)為15，
則2人來自不同小組方法數(shù)為，，，，，，，，，，，共11種，
故這2人來自不同小組的概率．
19．如圖：平行六面體中，，且，，記，，．
(1)將用，，表示出來，并求；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量線性運算可得，由向量數(shù)量積的定義和運算律得，由此可得結(jié)果；
（2）可知，，由數(shù)量積的運算律結(jié)合向量的夾角公式求異面直線夾角.
【詳解】（1），
，，，，．
．
（2），
，
，，
．
異面直線與所成角的余弦值為.
20．圓過、兩點，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)若直線在軸上的截距是軸上的截距的2倍，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）先求得兩點，的中垂線方程，再與聯(lián)立，求得圓心即可；
（2）先由直線且被圓截得的弦長為6，求得圓到直線的距離，再分截距為零和不為零求解.
【詳解】（1）解：兩點，的中垂線方程為：，
聯(lián)立，解得圓心，
則，
故圓的方程為：；
（2）由直線且被圓截得的弦長為6，
故圓心到直線的距離為，
A．若直線過原點，可知直線的斜率存在，設(shè)直線為：，
，此時直線的方程為：
A．若直線不過原點，設(shè)直線為：，
，
此時直線的方程為：，
綜上：直線的方程為：，，.
21．如圖，為圓柱底面的直徑，是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，和為圓柱的兩條母線，且．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直和面面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）因為為圓柱底面的直徑，所以．
因為為圓柱的母線，底面
故，又，平面,
故平面．
由和為圓柱的兩條母線知四邊形為矩形，
因此，故平面．
又因為平面，所以平面平面．
（2）由題意知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，
所以,且,
所以≌,
故，
所以，，
，，
過作，垂足為，
，，
故點的坐標(biāo)為，
，
由平面，可設(shè)平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
由，，即，
令，解得
則，
設(shè)二面角的平面角為，
故二面角的正弦值為．
22．已知橢圓：（）的離心率，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作橢圓的兩條互相垂直的弦、，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．
【答案】(1)
(2)過定點
【分析】（1）根據(jù)橢圓和離心率的定義求出橢圓方程；
（2）方法一：斜率不存在時，求出；存在時設(shè)：，直曲聯(lián)立，利用韋達定理和直線過定點找到之間的關(guān)系，找到定點.
方法二：齊次化法.
【詳解】（1），，
又，，
故橢圓的方程為
（2）
法一：當(dāng)直線的斜率不存在時，
設(shè)，，
代入，得：（舍），
此時：
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，聯(lián)立得：
，，
，，
，
，
代入整理得：，
，
當(dāng)，此時：，過定點，舍去．
當(dāng)，此時：，過定點
綜上有，直線始終過定點
法二：利用齊次式：依題意可知：設(shè)：，
橢圓的方程為，，
則：，
即：
A：當(dāng)，的斜率存在時，，
即：
，，
此時：，
即：，故，
此時直線是否過定點．
B：當(dāng)，的斜率一個為0，另一個不存在時，不妨取，，
此時直線：，也過點，
綜上有，直線始終過定點．
【點睛】本題考查橢圓性質(zhì)的理解和定點問題.第一問直接利用橢圓的定義和性質(zhì)解出即可；第二問可采用一般方法，注意斜率是否存在，設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，由韋達定理找到定點.也可采用齊次化法.

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