2024屆江蘇省淮陰中學(xué)等四校高三上學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，其中為實數(shù)． 令，．若的所有元素和為，則的所有元素之積為（    ）A．0 B．2 C．4 D．0或4【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性討論參數(shù)的取值，然后得到并集的結(jié)果，根據(jù)并集中的元素之和求出參數(shù)，然后在求元素之積【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，且.由題意，.情況一：若時當(dāng)時，，，，的所有元素和為，符合題意，此時的所有元素之積為；當(dāng)時，，，，的所有元素和為，不符題意；情況二：若時，此時，，，但此時含有唯一的無理數(shù)，不可能元素之和為；情況三：若，，且時，則中只有唯一重復(fù)元素，則，由題意，即，此時，矛盾.綜上所述，時符合題意，此時的所有元素之積為.故選：A2．已知復(fù)數(shù)z滿足，且，則=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)令，利用復(fù)數(shù)除法化簡，再由復(fù)數(shù)相等求.【詳解】令，則，所以，則，故.故選：B3．設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點，其中  記為滿足的點的個數(shù)，則=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意且，則，分析的不同取值對應(yīng)的個數(shù)，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求點的個數(shù).【詳解】由題意且，故，整數(shù)，當(dāng)，對應(yīng)有個；當(dāng)，對應(yīng)有個；……；當(dāng)，對應(yīng)有個；所以滿足的點的個數(shù).故選：D4．若的內(nèi)角A，B，C滿足， 則A與B的關(guān)系為（    ）A． B．  C． D．【答案】A【分析】依題意由可得或，再分類討論，即可判斷.【詳解】因為，且 A，B，C為的內(nèi)角，因為所以所以或，若，則，此時不存在，故舍去；∴ .故選：A.5．年月日，烏克蘭普里皮亞季鄰近的切爾諾貝利核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物為鍶，它每年的衰減率約為.專家估計，當(dāng)鍶含量減少至初始含量的約倍時，可認(rèn)為該次核泄漏對自然環(huán)境的影響已經(jīng)消除，這一過程約持續(xù)（    ）(參考數(shù)據(jù)：)A．年 B．年 C．年 D．年【答案】C【分析】根據(jù)衰減率，列出方程，求解該次核泄漏對自然環(huán)境的影響消除時持續(xù)時間.【詳解】設(shè)初始含量為，則，即，兩邊取對數(shù)得.故選：C.6．已知線段AB是拋物線的一條弦，且AB中點M在上，則點A橫坐標(biāo)（    ）A．有最大值，無最小值 B．無最大值，有最小值C．無最大值，無最小值 D．有最大值，有最小值【答案】D【分析】由題意，可知當(dāng)點A在原點時橫坐標(biāo)有最小值0，由于AB中點M在上，從而最大值為2.【詳解】     由題意，設(shè)由拋物線范圍可知，，所以如圖1，當(dāng)點A在原點時橫坐標(biāo)有最小值，為0，由AB中點M在上，可知，即，所以，即如圖2，當(dāng)點B在原點時,點A橫坐標(biāo)有最大值，為2.故選：D.7．一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前100個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先發(fā)現(xiàn)每一行的公差的規(guī)律，然后利用數(shù)表的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)下列數(shù)表的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，第一行的公差是，第二行公差是，然后下面每一行的公差依次是，第行的公差是.設(shè)第行的第一個數(shù)是，則，即第行第個數(shù)是.故選：A  8．設(shè)，， 對于，有，則是的（    ）A．極大值點 B．極小值點 C．非極大極小值點 D．ABC選項均可能【答案】D【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由，可設(shè)，則，易知：f(x)在定義域內(nèi)連續(xù)且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則，此時為的極大值點；可設(shè)，則，易知：f(x)在定義域內(nèi)連續(xù)且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則，此時為的極小值點；當(dāng)，則，滿足，此時為的非極大極小值點.故選：D. 二、多選題9．已知，則函數(shù)的圖象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先由選項得到，再分和兩類討論，利用的正負(fù)及的兩個零點的分布情況，即可得到函數(shù)可能的圖象.【詳解】由題意知是的兩個零點，由選項可知，即當(dāng)時，，， ACD錯，B對.當(dāng)時，，，ABD錯，C對. 故選：BC.10．已知O為坐標(biāo)原點，點，其中為銳角，則（    ）A．為定值 B．的最大值為3C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】由向量數(shù)量積、模長的坐標(biāo)表示寫出各項關(guān)于對應(yīng)的表達(dá)式，應(yīng)用三角恒等變換、基本不等式“1”的代換、導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)最值判斷各項正誤.【詳解】由為銳角，故，A：為定值，對；B：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故最小值為3，錯；C：，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，對；D：，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；（法一）令，則，令，即，且，則，當(dāng)，，即遞減；當(dāng)，，即遞增；所以，此時，（法二），對.故選：ACD11．有方程，試討論有序數(shù)對解的個數(shù)．下列分析正確的是（    ）A．若，，均為正整數(shù)，則解的個數(shù)為B．若，，均為非負(fù)整數(shù)，則解的個數(shù)為C．若，，均為正整數(shù)，且，，兩兩不等，則解的個數(shù)為341044D．若，，均為正整數(shù)且滿足，則解的個數(shù)為341044【答案】ABD【分析】AB可轉(zhuǎn)化為排列組合問題用檔板法可得；C選項可先求，，相等時的解個數(shù)，再用排除法可得；D選項分為由相等和不相等并且的不同的類，利用分類加法可得.【詳解】選項A：因，，均為正整數(shù)，則解的個數(shù)相當(dāng)于把個用兩個檔板分成3份，分別對應(yīng)，，，所以解的個數(shù)為，故A正確；選項B： 由得，因，，均為非負(fù)整數(shù)，所以，，均為正整數(shù)，與一一對應(yīng)，相當(dāng)于把個用兩個檔板分成3份，分別對應(yīng)，，，所以解的個數(shù)為，故B正確；C選項：因，，均為正整數(shù)，，若，則，不滿足為正整數(shù)，故，，至多有兩個相等，若，則,故的取值為從到的整數(shù)，共個，所以，，有兩個相等時的個數(shù)為個，故，，兩兩不等時，解的個數(shù)為個，故C錯誤；選項D：若，，均為正整數(shù)且滿足，當(dāng)時，因，所以，得，即，所以的取值為從1到的整數(shù)，共674個，此時的個數(shù)為674個.當(dāng)時，因，所以，得，即，因取正整數(shù)，所以的取值為從1到的奇數(shù)，共337個，此時的個數(shù)為337個.當(dāng)時，個用兩個隔板分成3份，將其從小到大，分別對應(yīng)，，，有共有，故D正確.故選：ABD12．設(shè)函數(shù)，且都有，則下列判斷正確的是（    ）A．，的圖象關(guān)于原點對稱B．，直線和的圖象至多只有一個交點C．，命題“，滿足”成立D．，使得，都有成立【答案】AB【分析】由遞推關(guān)系得到，即可得到函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A、B、C，再利用放縮法證明，即可判斷D；【詳解】解：由題可得，同理得， ，由此推得，，所以，則為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故A對.當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，B對，C錯.，，故，當(dāng)時，，則，D錯.故選：AB. 三、填空題13．請寫出一個同時滿足以下三個條件的函數(shù)          .①的定義域是；②是偶函數(shù)；③的值域為.【答案】 (答案不唯一)【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)求解即可【詳解】令，則的定義域是；，則為偶函數(shù)；，因為，所以，即的值域為，所以符合題意.故答案為： (答案不唯一)14．現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個項目，每個項目都有人參加，每人只參加一個項目.則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為      （用數(shù)字作答）.【答案】15000【詳解】由題意知滿足條件的方案有兩種情形：1.有一個項目有3人參加，共有種方案；2.有兩個項目各有2人參加，共有種方案.故所求的方案數(shù)為.故答案為1500015．將邊長為的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是        ．【答案】【分析】設(shè)，可求得，利用導(dǎo)數(shù)法可求得的最小值.【詳解】如圖，設(shè)，則梯形的周長為，梯形的面積為，所以，，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.16．設(shè)橢圓T：的右焦點為F，過點的直線l與橢圓交于點A，B，M為AB的中點，使得是、的等比中項，則a的最小整數(shù)值為     【答案】【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、點與橢圓的位置關(guān)系、等比中項的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以點在該橢圓內(nèi)，因此過點的直線l與橢圓必有兩個交點，設(shè)，因為M為AB的中點，所以有即，因為是、的等比中項，所以，于是有，，，同理：，由，即，顯然有，所以a的最小整數(shù)值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用平面向量加法幾何意義，結(jié)合余弦定理得到中線表達(dá)式是解題的關(guān)鍵. 四、解答題17．如圖，在△ABC內(nèi)任取一點P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F．  (1)試證明：(2)若P為重心，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理及角的互補(bǔ)關(guān)系即可證結(jié)論；（2）由題意為中線，可得，再由、、，求，進(jìn)而求對應(yīng)正弦值，結(jié)合及三角形面積公式求面積.【詳解】（1）中，則，中，則，又則，所以，得證.（2）由是重心，則為中線，又，所以，而，則，所以，可得，且，所以，同理，，可得，，所以，，則.18．已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為. 【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.【詳解】（1）由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，求和得.（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，取，則，即，當(dāng)時，，取，此時，據(jù)此可得，綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，則數(shù)列的公比滿足，當(dāng)時，，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，其前項和為：.【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益. 19．如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段上的動點，，，，.  (1)當(dāng)為線段的中點時，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)記直線與平面所成角為，平面與平面的夾角為，是否存在點使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.【答案】(1)（i）證明見解析；（ii）(2)存在，  【分析】（1）（i）利用面面垂直的性質(zhì)可推導(dǎo)出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（ii）取的中點為，的中點為，連接、、，計算出點到平面的距離以及線段的長，即可得出直線與平面所成角的正弦值；（2）假設(shè)存在點，使得，延長與交于點，連接，根據(jù)已知條件得出是直線與平面所成的角，是二面角的平面角，計算出三邊邊長，利用勾股定理求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）（i）由題意，四邊形為直角梯形，且，，所以，所以，取的中點，連接，則且，且，故四邊形為矩形，則，且，所以，又由，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，則，所以，又，、平面，所以平面.  （ii）取的中點為，的中點為，連接、、，過在平面內(nèi)作垂直于，垂足為，又平面平面，平面平面，， 所以平面，為的中點，所以，所以平面，平面，所以，又因為，，、平面，所以平面，平面，所以，，平面，得平面，因為，，，所以，由等面積法可得，延長與交于點，則為的中點，為直線與平面的交點，  設(shè)點到平面的距離為，直線與平面所成的角為，則，所以，由，所以，；（2）假設(shè)存在點，使得，延長與交于點，連接，則平面平面，設(shè)平面，垂足為，連接，是直線與平面所成的角，因為且，所以，點為的中點，則，過點作垂直于，垂足為，因為平面，平面，所以，又因為，，、平面，所以平面，因為平面，所以，是二面角的平面角，所以，，由，得，所以、重合，由，得，設(shè)，則，，由勾股定理可得，即，整理可得，解得或（舍），所以存在點，當(dāng)，有成立.  【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵點是假設(shè)存在點，使得，延長與交于點，根據(jù)已知條件得出是直線與平面所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力、運算能力.20．已知雙曲線．(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)．(2)記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意開始求整點通項,再應(yīng)用等差數(shù)列求和個數(shù)計算即可得；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得，即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【詳解】（1）因為雙曲線方程為，令時,整點時為,整點個數(shù)為,區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點為個.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，    直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.21．某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2)求使取得最大值的整數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由于A和B是相互獨立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結(jié)果就能求出；（2）要從和兩個角度考慮.【詳解】（1）設(shè)事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”，事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”，由題意A和B是相互獨立的事件，則與 相互獨立，而所以，因此，學(xué)生甲收到活動通知信息的概率為.（2）當(dāng)時，只能取，有當(dāng)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者.“李老師和張老師各自獨立、隨機(jī)地發(fā)活動通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為.當(dāng)時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，則由乘法計數(shù)原理知：事件所含基本事件數(shù)為此時當(dāng)，化簡解得假如成立，則當(dāng)能被整除時，，故在和處達(dá)到最大值；則當(dāng)不能被整除時，在處達(dá)最大值.（注：表示不超過的最大整數(shù)）.下證：因為，所以，，故，顯然.因此.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是用高斯取整函數(shù)證明. 22．設(shè)（為常數(shù)），曲線與直線在點相切．(1)求的值．(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)，(2)見解析. 【分析】（1）直接求導(dǎo)得，再根據(jù)即可得到答案；（2）法一：利用均值不等式得，設(shè)，通過多次求導(dǎo)即可證明不等式；法二：同法一得到，證明出，從而得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明不等式.【詳解】（1）由過點，得.由在點的切線斜率為，，則，得.（2）（證法一）由均值不等式，當(dāng)時，，故，記，則令，則當(dāng)時，因此在內(nèi)是遞減函數(shù)，又由，得，所以因此在內(nèi)是遞減函數(shù)，又由，得，當(dāng)時.（證法二）由（1）知由均值不等式，當(dāng)時，故 ①令，則，，故，即②由①②得，當(dāng)時，記，則當(dāng)時，因此在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用均值不等式得，再設(shè)，多次求導(dǎo)即可證明原不等式. 

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