一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用交集的運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故選：A
2．復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意知，．
故選：D
3．已知為拋物線：（）上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為6，則（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合題意可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為6，
所以，則．
故選：C
4．若直線：與直線：平行，則（ ）
A．B．2C．或2D．1或
【答案】B
【分析】利用兩直線平行的必要條件（系數(shù)交叉相乘積相等）求得的值，再檢驗(yàn)，排除重合的情況即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，，符合題意．
故選：B.
5．有編號互不相同的五個(gè)砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個(gè)，2克的砝碼一個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，則這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，
樣本空間，
共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件“這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，故所求的概率為．
故選：A.
6．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圖象得出，，進(jìn)而求得，再代入點(diǎn)坐標(biāo)，可得，進(jìn)而求出.
【詳解】由函數(shù)的圖像可知，
，則，．
由，解得，
則，
故，.
故選：B
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A．37B．36C．18D．19
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式推得，，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，，從而當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故選：C.
8．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，，，則的離心率為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)為，連接，,根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合，得到，結(jié)合雙曲線的定義，得到，即可求解.
【詳解】如圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，,
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，則，可得，
又因?yàn)?，所以?br>則，，可得，
所以的離心率為．
故選：B.
二、多選題
9．甲同學(xué)通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項(xiàng)，得到該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，根據(jù)甲同學(xué)得到的通項(xiàng)公式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．該數(shù)列為遞增數(shù)列D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)首項(xiàng)可得，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對AB，由，得，故，故A正確，B錯(cuò)誤；
對C，得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；
對D，，則，故D正確.
故選：ACD
10．某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（單位：厘米）的平均值為170，身高的方差為24，女生身高的平均值為160，身高的方差為19，則（ ）
A．該班全體學(xué)生身高的平均值為165B．該班全體學(xué)生身高的平均值為166
C．該班全體學(xué)生身高的方差為46D．該班全體學(xué)生身高的方差為44
【答案】BC
【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差公式求解即可.
【詳解】由題可知，該班全體學(xué)生身高的平均值為，
該班全體學(xué)生身高的方差為．
故選：BC
11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，且它們的離心率互為倒數(shù)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．為直角三角形D．上存在一點(diǎn)，使得
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可推出橢圓的值，根據(jù)橢圓與雙曲線定義即可判斷AB；聯(lián)立關(guān)系式求出的值，根據(jù)三邊關(guān)系即可判斷C；若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，聯(lián)立方程求解即可判斷D.
【詳解】設(shè)，，雙曲線的半實(shí)軸為，半虛軸為，
橢圓的離心率為與雙曲線的離心率為，
由雙曲線的方程可知：，，則，，
則，橢圓的離心率為，
則，解得.
對于選項(xiàng)A：由雙曲線定義可知：，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：由橢圓定義可知：，故B正確；
對于選項(xiàng)C：根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在第一象限，
則，解得.
即，可知，
所以為直角三角形，故C正確；
對于選項(xiàng)D：若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，
聯(lián)立方程，方程組無解，
所以上不存在一點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
12．?dāng)?shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時(shí)光》.已知《垂直時(shí)光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點(diǎn)為，若長度為2的時(shí)針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時(shí)針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)），則下列說法正確的是（ ）
A．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則
B．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面
C．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為
D．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為
【答案】ACD
【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，
則，，所以，A正確.
，故是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)?，所以?br>所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.
若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，
，
，C正確.
由，得.
因?yàn)?，所以外接圓的半徑，
則四面體的外接球的半徑，則，
故四面體的外接球的表面積為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．已知向量，，若，則 ．
【答案】2或
【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，解得或?br>故答案為：2或.
14．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)R上的奇函數(shù)特征易得和，代入即得.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，則．
故答案為：.
15．某公司2015年全年生產(chǎn)某種商品10000件，在后續(xù)的幾年中，后一年該商品的產(chǎn)量都是前一年的120%，則該商品年產(chǎn)量超過20000件時(shí)，至少需要經(jīng)過 年．
【答案】4
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即得.
【詳解】設(shè)經(jīng)過年后，該商品年產(chǎn)量超過20000件，則，即．
因?yàn)?，，所以至少需要?jīng)過4年．
故答案為：4
16．若，是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且），則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即為所求最大值.
【詳解】設(shè)，則，整理得，
則是圓：上一點(diǎn)，
由，得,如圖所示
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得最大值．
又因?yàn)?
所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題
17．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，證明是等差數(shù)列，并求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）設(shè)的公比為（），然后根據(jù)題意列方程可求出，從而可求出；
（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出.
【詳解】（1）設(shè)的公比為（），由，得，
解得或（舍去），
因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）可知，，則．
因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
故．
18．已知圓與圓關(guān)于直線對稱．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記與的公共點(diǎn)為，求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）找到圓的圓心，半徑，利用圓與圓關(guān)于對稱，求出圓心和半徑即可;
（2）求出圓心距與到直線的距離，結(jié)合對稱性即可求解.
【詳解】（1）將的方程轉(zhuǎn)化為，可得的圓心為，半徑為3．
設(shè)的圓心為，半徑為，因?yàn)榕c關(guān)于直線：對稱，
所以解得
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2），
根據(jù)對稱性可知到直線的距離，
則，
則四邊形的面積．
19．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，，成等差數(shù)列．
(1)若，求；
(2)若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合正弦的差角公式，結(jié)合等差中項(xiàng)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式先求取最小值時(shí)的邊長，再利用三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
即，
于是有
所以或，解得或（舍去）．
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，
所以．
由，得，
所以，即，
所以．
（2）由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
此時(shí)，
所以的面積．
20．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，由，得，
則，則．
因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
則．
（2）由（1）可知，
則
．
21．如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.
(1)證明：平面.
(2)證明：平面.
(3)設(shè)平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由已知得出，即可根據(jù)線面平行的判定證明；
（2）取的中點(diǎn)，連接，過作平面，垂足為，連接，，，，通過已知得，通過線面垂直的判定與性質(zhì)得出，通過中位線得出，即可得出，再通過勾股定理得出，即可證明；
（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，通過點(diǎn)到平面距離的向量求法即可求出.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.
（2）取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形.
過作平面，垂足為.
連接，，，.
由和均為正三角形，得，
所以，即點(diǎn)為正方形對角線的交點(diǎn)，
則.
因?yàn)槠矫?，且平面?br>所以，
又，且平面,平面,
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，
所以，
因此.
因?yàn)椋?br>所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）設(shè)，連接，則直線為直線，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，且平面平面?br>所以.
由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
所以，
取，得.
又，
所以點(diǎn)到平面的距離.
22．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)，分別為的左、右焦點(diǎn)，過外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若直線、互相垂直，求周長的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可求出、，從而得解；
（2）依題意、的斜率均存在，設(shè)，過點(diǎn)且與相切的直線為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由得到，再由，得到，又直線、互相垂直，即可得到，再表示出，求出的最大值，即可得解.
【詳解】（1）依題意可得，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意、的斜率均存在，設(shè)，過點(diǎn)且與相切的直線為，
由，整理得，
則，整理得，
將代入得，則，
所以，
因?yàn)橹本€、互相垂直，
所以，即，
則，，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
因?yàn)椋灾荛L的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.

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