1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合中元素范圍，再求即可.
【詳解】，，
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計(jì)算.
【詳解】,
因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，
則，解得
故選：B.
3. 古代名著《九章算術(shù)》中記載了求“方亭”體積的問(wèn)題，方亭是指正四棱臺(tái)，今有一個(gè)方亭型的水庫(kù)，該水庫(kù)的下底面的邊長(zhǎng)為20km，上底面的邊長(zhǎng)為40km，若水庫(kù)的最大蓄水量為，則水庫(kù)深度（棱臺(tái)的高）為（ ）
A. 10mB. 20m
C. 30mD. 40m
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知：該水庫(kù)是一個(gè)正四棱臺(tái)，已知正四棱臺(tái)的體積為，上下底面邊長(zhǎng)分別為40km和20km，求正四棱臺(tái)的高，同一單位，代入體積計(jì)算公式即可求解.
【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為40km和20km，設(shè)高，
因?yàn)?，，由棱臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：
，解得：，
故選：.
4. 已知拋物線(xiàn)C：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C在第四象限交于M點(diǎn)，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知：焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，利用直線(xiàn)的斜率可得，再利用拋物線(xiàn)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，則，
所以，，拋物線(xiàn)方程為，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上且在第四象限，設(shè)點(diǎn)，則，解得：，由拋物線(xiàn)的定義可知：，
故選：
5. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用已知求出即得解.
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以
所以.
故選：D
6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，運(yùn)行程序，依次計(jì)算即可判斷作答.
【詳解】第1次循環(huán)，；第2次循環(huán)，；
第3次循環(huán)，；第4次循環(huán)，；
第5次循環(huán)，；第6次循環(huán)，；
第7次循環(huán)，；第8次循環(huán)，；
第9次循環(huán)，；第10次循環(huán)，；
第11次循環(huán)，；第12次循環(huán)，；
第13次循環(huán)，；第14次循環(huán)，；
第15次循環(huán)，，結(jié)束循環(huán)，輸出，
所以輸出的k的值為15.
故選：B
7. 某部門(mén)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)今年前7個(gè)月在線(xiàn)外賣(mài)的規(guī)模如下表：
其中4、6兩個(gè)月的在線(xiàn)外賣(mài)規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個(gè)月的平均值為23．若利用回歸直線(xiàn)方程來(lái)擬合預(yù)測(cè)，且7月相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，則（ ）
A. 1.0B. 2.0C. 3.0D. 4.0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再借助回歸直線(xiàn)的特征及殘差列出方程組即可求解作答.
【詳解】依題意，，而，于是得，
而當(dāng)時(shí)，，即，聯(lián)立解得，
所以.
故選：B
8. 已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理可分別得到和展開(kāi)式的通項(xiàng)，令即可討論得到的取值，結(jié)合展開(kāi)式通項(xiàng)，利用的系數(shù)構(gòu)造方程即可求得的值.
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，且；
展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，且；
令，則或，
的系數(shù)為，
解得：.
故選：A.
9. 記函數(shù)的最小正周期為T(mén)，若，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】由及的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)列出關(guān)系式，求出，，再由的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)可求的最小值，從而可求的值．
【詳解】由已知得，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，
所以，所以，
又因?yàn)椋?，?br>由的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)得，
所以，即有，
又因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，，此時(shí)，
所以，
故選：D．
10. 已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，若，則的取小值為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，，求導(dǎo)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合，得，求出切線(xiàn)方程，得到的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式和基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，
，，
因?yàn)椋?，得?br>，令，得，則，
，令，得，則，
則+
，兩次不等式取等的條件都是.
所以的取小值為.
故選：C
11. 已知是雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是的右支上一點(diǎn)，若，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用雙曲線(xiàn)性質(zhì)可得，根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義求出，在中運(yùn)用余弦定理即可求解.
【詳解】如圖所示：
其中為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，則有，，
，，且，
即，所以，
在中，，
由雙曲線(xiàn)定義知，，解得，
在中，，
則有，化簡(jiǎn)得，所以.
故選：A.
12. 已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋?，，若為偶函?shù)．，則（ ）
A. 24B. 26C. 28D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出函數(shù)的周期，利用周期進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，而，
所以可得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，顯然有，
所以函數(shù)的周期為8，
在中，令，得，
因?yàn)椋?br>所以，
由，
由，所以
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)、結(jié)合已知等式賦值求出函數(shù)的周期是解題的關(guān)鍵.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)a＝___.
【答案】
【解析】
【詳解】，由，得，解得.
14. 寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線(xiàn)的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)給定圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系，再寫(xiě)出一條公切線(xiàn)方程作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
則，因此圓相外切，它們有3條公切線(xiàn)，而軸，，
則兩圓的每條公切線(xiàn)斜率都存在，設(shè)公切線(xiàn)方程為，為常數(shù)，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圓的公切線(xiàn)方程為：或或，
所以與圓和都相切的一條直線(xiàn)的方程可以為.
故答案為：
15. 已知球的半徑為2，四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為_(kāi)_____
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、球的幾何性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】圓內(nèi)接四邊形是正方形時(shí)，這個(gè)四邊形的面積最大，當(dāng)四棱錐的高經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)體積最大，如圖所示：
設(shè)此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為，所以，
設(shè)該四棱錐的高為，所以有，
由勾股定理可得：，
該四棱錐的體積為，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16. 現(xiàn)取長(zhǎng)度為2的線(xiàn)段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線(xiàn)段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線(xiàn)段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類(lèi)推，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
，
以此類(lèi)推可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，
所以.
令，
則，
，
兩式相減得

所以.
所以.
故答案為：
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
（1）證明：為定值；
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化邊以及余弦定理可整理變形得到為定值；
（2）先利用（1）以及余弦定理求出，然后再次用余弦定理并利用變形可得，則周長(zhǎng)可求.
【小問(wèn)1詳解】
即，
由正弦定理角化邊以及余弦定理得
，
整理得，即，
所以為定值；
【小問(wèn)2詳解】
由（1），
，
，
得，
的周長(zhǎng)為
18. 青少年近視問(wèn)題備受社會(huì)各界廣泛關(guān)注，某研究機(jī)構(gòu)為了解學(xué)生對(duì)預(yù)防近視知識(shí)的掌握程度，對(duì)某校學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取200份問(wèn)卷，發(fā)現(xiàn)其得分（滿(mǎn)分：100分）都在區(qū)間中，并將數(shù)據(jù)分組，制成如下頻率分布表：
（1）試估計(jì)這200份問(wèn)卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取4人深入調(diào)查，設(shè)X為抽取的4人中得分在的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先利用頻率和為1求出，在利用平均值的公式求解即可；
（2）由題可得服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的公式以及期望公式計(jì)算可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布表可得，解得，
所以這200份問(wèn)卷得分的平均值為
；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得的可能取值為，則，
又，
則的分布列為：
19. 在四棱錐中，底面，，，，，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得，由底面，得，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理得平面平面；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)垂直于平面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量公式可求出結(jié)果.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，，所以?br>又因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)榈酌妫酌?，所以?br>由，，平面，平面，，得平面，
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)垂直于平面的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，
在平面中，如圖：
，，，所以，
，，，所以，
所以，
過(guò)作，垂足為，則，即，
又，所以，即，，
所以，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，則，令，得，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，，得，
.
根據(jù)圖形可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
20. 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸分別為x軸、y軸，且過(guò)，兩點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)F為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，M，N為橢圓E上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，當(dāng)M，O，N三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，求△MON的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
(2)根據(jù)題意可得：，進(jìn)而得到直線(xiàn)斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程，與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而求出面積的最值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，，
所以，解得：，所以橢圓的方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
不妨設(shè)為橢圓的下焦點(diǎn)，由(1)可知：點(diǎn)，則，
因?yàn)?，則，所以，
設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，
聯(lián)立方程組，整理可得：，則，即（*），
由韋達(dá)定理可得：，，
由弦長(zhǎng)公式可得：，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大為.
21. 已知函數(shù)（）．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)的取值范圍，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論，即可得出的單調(diào)性；
（2）由第一問(wèn)中有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，和化簡(jiǎn)不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行證明.
【小問(wèn)1詳解】
∵，（）∴定義域?yàn)椋?br>∴，（），
令，（），
①當(dāng)時(shí)，，，，，
此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，
令，解得，，
∴當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
∴此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，，
（i）當(dāng)時(shí)，，，，，
∴此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
令，解得，，且，
∴當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
∴此時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
由第（1）問(wèn)知，若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，
則，且的兩根即為，，
且，，∴，
，
∴，
又∵，
∴不等式等價(jià)于，
∵，∴，，又∵，∴，
∴不等式又等價(jià)于，即，
∴只需證，
令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又∵，∴，，
∴，
∴若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，.
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，
（1）構(gòu)造函數(shù)法
①直接構(gòu)造函數(shù)：若需要證明（或），可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明（或）；
②化簡(jiǎn)構(gòu)造函數(shù)：若原不等式較為復(fù)雜，或者構(gòu)造函數(shù)后，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性較為困難，可以將原不等式適當(dāng)化簡(jiǎn)變形后再構(gòu)造函數(shù).
本題第（2）問(wèn)的證明，就是綜合了以上兩種方法.
（2）放縮法：通常會(huì)利用常見(jiàn)結(jié)論放縮或結(jié)合已知條件進(jìn)行放縮.
（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線(xiàn)的普通方程；
（2）若與有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在曲線(xiàn)的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線(xiàn)的普通方程，利用基本不等式求出的取值范圍，即可得解；
（2）求出直線(xiàn)的普通方程，分析可知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，將直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：由可得，即，
因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故曲線(xiàn)的普通方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)橹本€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，
所以，直線(xiàn)的普通方程為，
聯(lián)立可得，
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)、，
由題意可得，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
[選修4－5：不等式選講]
23. 已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化函數(shù)為分段函數(shù)，再分段解不等式作答.
（2）求出函數(shù)、的值域，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，函數(shù)，則不等式化為：
或或，解得或或，則，
所以不等式的解集為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)的值域?yàn)椋?br>，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此函數(shù)的值域?yàn)椋?br>因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得成立，則有，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.月份代號(hào)x
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