注意事項：
1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，所以的虛部為.
故選：B.
2. 在中，，設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量加法和減法法則，計算可得答案.
【詳解】由，可得，
，整理可得，
故選：A
3. 分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“2枚硬幣都是正面朝上”，事件“2枚硬幣朝上的面相同”，則下列與的關(guān)系中正確的個數(shù)為（ ）
①
②互斥
③互為對立
④相互獨立
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的計算公式、互斥事件、對立事件、獨立事件的概念對選項一一分析判斷即可得出答案.
【詳解】由題意可知：一枚硬幣有兩個等可能結(jié)果：正面朝上、反面朝上，
兩枚硬幣有兩個等可能結(jié)果：正正、正反、反正、反反，
事件“2枚硬幣都是正面朝上”包含的情況為：正正，
事件“2枚硬幣朝上的面相同”包含的情況為：正正，反反，
故，故①正確；②錯誤；
事件的對立事件為：正反、反正、反反，故③錯誤；
則，，
所以，故④錯誤.
故選：A.
4. 已知為空間中兩條直線，為空間中兩個平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】由選項A的條件可得出線在面內(nèi)或線面平行可以判斷A選項；由選項B的條件可得出兩個平面平行或相交可以判斷B選項；由選項C的條件可得出兩條直線可以平行、相交或異面可判斷C選項；根據(jù)面面垂直的判定可以判斷D選項.
【詳解】對于A，若，則或，A錯；
對于B，若，則或相交，B錯；
對于C，若，則相交或或異面，C錯；
對于D，若，，則或，當(dāng)，又，可得；
當(dāng)時，如圖，平面內(nèi)必然有一條直線設(shè)為與平行，由，則，
由面面垂直的判定可得，所以D正確．
故選：D．

5. 從長度為的5條線段中任取3條，這三條線段不能構(gòu)成一個三角形的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列舉法及古典概型概率公式求解即可.
【詳解】取出3條線段的情況有，
，共10種，
不能構(gòu)成三角形的有，
共8種，
故概率.
故選：D.
6. 已知分別是圓柱上?下底面圓的圓心，分別是上?下底面圓周上一點，若，且直線與垂直，則直線與所成的角的正切值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，過點作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點，連接，說明即為直線與所成的角的平面角，進而可得出答案.
【詳解】如圖，過點作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點，連接，
則平面，
則，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，所以，
設(shè)，則，
因為平面，平面，所以，
則，
即直線與所成的角的正切值為.
故選：B.

7. 如圖所示，為測量河對岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，則塔高為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函數(shù)的定義，求得的長，即可求解．
【詳解】在中，，
所以
所以，
由正弦定理，
可得，
在直角中，因為
所以，
即塔高為．
故選：C．
8. 如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點在對角線上運動時，的最小值為（ ）

A. -2B. C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用幾何知識易得，利用向量加法運算及數(shù)量積定義得，然后利用二次函數(shù)求解最值即可，
【詳解】由題意，，，
，所以，
所以，即平分，
由可得
，
所以當(dāng)時，有最小值為.
故選：B
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A.
B. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算即可判斷D.
【詳解】由，得，
則，故A正確；
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故B正確；
，故C錯誤；
，故D正確.
故選：ABD.
10. 某學(xué)校為普及安全知識，對本校1000名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識競賽答題活動（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機抽取100名學(xué)生的得分進行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 圖中的值為
B. 該校高一學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為130人
C. 該校高一學(xué)生競賽得分上四分位數(shù)估計大于80
D. 該校高一學(xué)生競賽得分的平均數(shù)估計為74.6
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得，判斷A；計算出得分不小于90的頻率，即可判斷B；計算得分介于50至80之間的頻率與0.75比較，從而判斷C；由頻率分布直方圖平均數(shù)計算公式計算判斷D.
【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：
，解得，故A正確；
得分不小于90的頻率為，故得分不小于90的人數(shù)估計為人，故B錯誤；
得分介于50至80之間的頻率為，
所以該校高一學(xué)生競賽得分的上四分位數(shù)估計大于80，故C正確；
該校高一學(xué)生競賽得分的平均數(shù)估計為，
故D正確.
故選：ACD
11. 若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).已知，與的夾角為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 與的夾角為
C. 與的夾角為D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的圖形運算法則，結(jié)合余弦定理和向量數(shù)量積的定義等知識進行求解即可.
【詳解】如圖所示，設(shè)分別為，
將向量進行平移，平移至，將反向延長至點D，
則，，
在中，由余弦定理得，,
所以，即，故A正確；
顯然，在中，，即，
所以，
所以與的夾角，故B錯誤；
與的夾角，故C正確；
，故D錯誤
故選：AC
12. 如圖，在棱長為1的正方體中，為面對角線上的一個動點（包含端點），則下列選項中正確的有（ ）

A. 三棱錐體積為定值
B. 線段上存在點，使平面
C. 當(dāng)點與點重合時，二面角的余弦值為
D. 設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.
【詳解】對于A，因為三棱錐的體積，
易得平面平面，平面，
所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐體積為定值，故A正確．
對于B，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，為軸， 為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，,，，，，
設(shè)，所以，，
設(shè)平面，，，
則，取，則，則，
要使平面，即，，此時，故B正確.

對于C，當(dāng)點與點重合時，此時，
設(shè)平面，，，
則，取，則，則，
設(shè)平面，設(shè)二面角所成角為，
所以，
因為為銳二面角，，所以，故C不正確；

對于D，，，
設(shè)平面，
設(shè)直線與平面所成角為，，
所以，
，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)取得最大值時，取得最大值，
當(dāng)時，，此時，
所以，所以D正確
故選：ABD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，若，則______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】解：因為，，，
所以，解得.
故答案為：.
14. 中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預(yù)報6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計算機進行模擬試驗，產(chǎn)生之間的整數(shù)隨機數(shù)，假定表示當(dāng)天下雨，表示當(dāng)天不下雨，每4個隨機數(shù)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：
據(jù)此用頻率估計四天中恰有三天下雨的概率的近似值為__________.
【答案】0.4##
【解析】
【分析】求出表中數(shù)據(jù)四天中恰有三天下雨的情況即可得出概率.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8組，
所以估計四天中恰有三天下雨的概率為.
故答案為：0.4
15. 已知三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
分析】由數(shù)量積定義、余弦定理結(jié)合已知式可得，由基本不等式求解即可.
【詳解】，
由余弦定理可得：，所以，
所以，所以，
所以，
所以，又因為，所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：
16. 勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙），若勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為，則正四面體的棱長為______.

【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)出棱長，先根據(jù)正四面體的性質(zhì)求出外接球半徑，再由四面體能夠容納的最大球的半徑建立方程求解即可.
【詳解】設(shè)正四面體的棱長為a，根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，

由正四面體的性質(zhì)可知該球球心為正四面體的中心，
即為正四面體外接球的球心（內(nèi)切球的球心），
則為正四面體的外接球的半徑，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，
連接，則三點共線，此時，由題意，所以，
所以，
如圖：

記為的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知在上.
因為，所以，則，
因為，即，
解得，所以，解得，即正四面體的棱長為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解幾何體外接球的半徑的解題思路：一是根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑、截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵；二是將幾何體補形成長方體，利用該幾何體與長方體共有的外接球的特征，由外接球的直徑等于長方體的體對角線長求解.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 某校高一年級有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高一學(xué)生的身高信息，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本.
（1）求抽取男生?女生的人數(shù)；
（2）觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計算得到男生樣本的均值為170，方差為14，女生樣本的均值為160，方差為34，求總樣本的方差，并估計高一年級全體學(xué)生的身高方差.
【答案】（1）30；20
（2）方差為46，身高方差為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的概念及計算方法，即可求解；
（2）記男生身高的均值記為，方差記為；女生身高的均值記為，方差記為，得到總樣本的均值為，結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意，高一年級有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，
采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本，
所以抽取男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.
【小問2詳解】
解：記男生身高為，其均值記為，方差記為；女生身高為，其均值記為，方差記為，把總樣本數(shù)據(jù)的均值記為，方差記為，
所以總樣本的均值為，
總樣本的方差為
，
所以總樣本的方差為46，據(jù)此估計高一年級學(xué)生身高的總體方差為.
18. 如圖，在直四棱柱中，，，點為的中點.

（1）求證：平面；
（2）設(shè)是直線上的動點，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；
（2）利用等體積法求解即可.
【小問1詳解】
如圖所示，分別取的中點，連接，

由題意得，且，且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又因為，所以，
又因為平面平面，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）平面，
所以上任意一點到平面的距離都相等，所以，
由題意，又，平面，
所以平面，又，所以平面，即平面，
因為，
所以，
所以三棱錐的體積為.
19. 如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為.

（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）由題可知：，再利用數(shù)量積的運算律求解即可；
（2）利用向量在向量上的投影向量為求解即可.
【小問1詳解】
由題可知：，
則.
【小問2詳解】
記與的夾角為，
則向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.
20. 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲?乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立.已知在某局雙方平后，甲先發(fā)球.
（1）若兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束的概率為，求的值；
（2）在（1）的條件下，求兩人又打了4個球且甲獲勝的概率.
【答案】（1）的值為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到事件的可能情況進而列出方程求解；
（2）根據(jù)題意分析知所對應(yīng)的事件為前兩球甲乙各得1分、后兩球均為甲得分，根據(jù)題意的先后手情況，列出式子求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知，甲先發(fā)球，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，
所對應(yīng)的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，
所以，
解得，即的值為
【小問2詳解】
由題意可知，若兩人又打了4個球且甲獲勝，
所對應(yīng)的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”，
因為甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙得分的概率為，
乙發(fā)球時甲得分的概率為，乙得分的概率為，
所以
21. 在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知.
（1）求；
（2）若的面積為，且為的中點，求線段的長.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，得出的關(guān)系，再根據(jù)得出的關(guān)系，再利用余弦定理即可得解；
（2）先根據(jù)三角形的面積公式求出，再向量化即可得解.
【小問1詳解】
由正弦定理，可得，
即，
又因為，得，
所以；
【小問2詳解】
由（1）可知，
由，得，
所以，
得，
又因為，
所以，
即線段的長為3.

22. 三棱錐中，底面為正三角形，平面，為棱的中點，且（為正常數(shù)）.
（1）若，求二面角的大??；
（2）記直線和平面所成角為，試用常數(shù)表示的值，并求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）先證明平面，從而可得二面角的平面角是，求解即可；
（2）在平面內(nèi)作，連接，先證明平面，從而可得直線和平面所成的角，進而可得，求得，從而可求解.
【小問1詳解】
底面為正三角形，為棱的中點，所以，
因為平面平面，所以，
又因為平面，所以平面
又平面，所以，
所以二面角的平面角是，
而，又，所以.
故二面角的大小為.
【小問2詳解】
在平面內(nèi)作，連接，
由平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，
所以直線和平面所成的角，
在中，根據(jù)等面積法可得，
所以，
因為，所以，即，
所以即，
因為，所以，
所以直線和平面所成角的取值范圍為.

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