注意事項：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
5.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義得出對應(yīng)點的坐標，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】將整理化簡可得，
所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標為，
由點位于第四象限可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
2. 已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A. 30B. 28C. 26D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，再結(jié)合求解即可.
【詳解】，，
因為，
當時，為偶數(shù)，共有個元素.
當時，為奇數(shù)，
此時，共有個元素.
當時，為奇數(shù)，
此時，有重復數(shù)字，去掉，共有個元素.
綜上中元素的個數(shù)為個.
故選：B
3. 為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為，若每種樹苗均按各年齡段報名人數(shù)的比例進行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為（ ）

A. 30棵B. 50棵C. 72棵D. 80棵
【答案】C
【解析】
【分析】由已知比例求出中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量，再由餅圖中梧桐占比求中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量即可.
【詳解】由題意，中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為棵.
所以中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為棵.
故選：C
4. 《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.意思是一個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列等式錯誤的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)得，，再分析陽馬與鱉臑的體積數(shù)量關(guān)系，即可判斷各項正誤.
【詳解】由題設(shè)，，，則，A對；
如下圖，連接，將陽馬一分為二，又，

所以，，則，故，
所以B錯，C、D對.
故選：B
5. 黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等，兩段，使得長線段與原線段的比等于短線段與長線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（ ）
A. 180B. 210C. 240D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】用插入法求解.
【詳解】先把排列，然后選兩個空檔插入3，總方法為．
故選：C．
6. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向上平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A.
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于點中心對稱
D. 在上的值域為
【答案】D
【解析】
【分析】通過三角函數(shù)變換即可得出函數(shù)的表達式，利用表達式即可得出函數(shù)的單調(diào)性，對稱性和值域.
【詳解】由題意，平移后函數(shù)為：，故A不正確;
B中，，可知，
∴先增后減，即在上單調(diào)遞增不正確，故B不正確；
C中，∵，
∴函數(shù)不關(guān)于對稱，故C不正確；
D中，，則，
∴，∴，故D正確.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，則的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，利用導數(shù)研究在上函數(shù)符號，排除法即可得答案.
【詳解】由，而恒成立，
對于，則，即在定義域上遞增，
所以時，恒成立，
綜上，上，排除A、B、D.
故選：C
8. 在平面直角坐標系中，不等式組 (r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為
A. －1B. －
C. D. －
【答案】D
【解析】
【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知，解得．因為目標函數(shù)表示區(qū)域內(nèi)上的點與點連線的斜率加上1，由圖知當區(qū)域內(nèi)的點與點的連線與圓相切時斜率最?。O(shè)切線方程為，即，則有，解得或（舍），所以，故選D．

9. 已知中，，，，，，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知可得到的距離為2，為等腰直角三角形，若為的兩個四等分點，為中點，在線段上運動，且，數(shù)形結(jié)合求的取值范圍.
【詳解】由，結(jié)合向量加法法則知：到的距離為2，
又，則，所以，故為等腰直角三角形，
由，則，所以共線，
又，則，若為的兩個四等分點，為中點，如下圖示，

所以線段上運動，且，，，
由圖：若，則，又，此時，
故上述情況，易知，
由圖知：與重合時，，
綜上，的取值范圍為.
故選：D
10. 已知拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點為， 為坐標原點, 點在上且滿足（均不與重合），則面積的最小值為（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】求出拋物線方程，設(shè)出點坐標，將直線和拋物線聯(lián)立，求出直線的方程，進而寫出面積的表達式，即可求出最小值.
【詳解】在中，焦點為，
焦點關(guān)于直線即的對稱點為，
，解得，
∴拋物線的方程為,
顯然直線的斜率不為 0 , 設(shè)直線的方程為, 且,

設(shè),
聯(lián)立 整理可得,
, 即, 且,,
又因為, 即,
∴,
∴即直線的方程為，
∴直線恒過 點，
∴，
當且僅當時, 等號成立.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線與直線的綜合問題，韋達定理和三角形面積求法，考查學生的計算和作圖能力，具有很強的綜合性.
11. 若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為，再構(gòu)造新函數(shù)求得最小值，從而可得參數(shù)的范圍．
【詳解】，，則，
原不等式化為，即，，
設(shè)，原不等式即為，
易知是上的增函數(shù)，所以，
，
設(shè)，則，
時，，遞減，時，，遞增，
所以，
所以，，綜上，．
故選：A．
【點睛】思路點睛：較為復雜的不等式恒成立問題，解題時可把不等式進行同構(gòu)化，即不等式轉(zhuǎn)化后可以通過構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后利用函數(shù)單調(diào)性化簡不等式為（或），此不等式中可以再由參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，最終得出參數(shù)范圍．．
12. 已知在中，，若（表示的面積）恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合換元法，導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】記角所對的邊分別為.因為，
所以由正弦定理可得..
，
令，則，
令，則，
故當時，，當時，，
故，故，
則實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，求出最值是關(guān)鍵.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),先由特殊值計算求出,再代入檢驗即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
又為偶函數(shù)，
則，
解得，
經(jīng)檢驗，,,符合題意．
故答案為：2．
14. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用和角余弦公式得，利用誘導公式、倍角余弦公式得，即可得答案.
【詳解】，所以，
則.
故答案為：
15. 設(shè)雙曲線的離心率為，實軸長為2，設(shè)直線與雙曲線在軸左、右兩側(cè)的交點分別是，若以線段為直徑的圓恰過坐標原點，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可求得雙曲線方程為，又可知，設(shè)出直線，的方程可分別求得的表達式，可得，利用基本不等式即可求出的最小值為.
【詳解】由雙曲線離心率為，實軸長為2可得，所以；
即可得雙曲線方程為；
依題意如下圖所示：

由在軸左、右兩側(cè)，所以的斜率均存在，
可設(shè)的斜率為，易知，所以可得的斜率為；
直線的方程為，
聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去整理可得，易知；
所以，因此；
同理可得；
易知，
所以，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即時，等號成立；
所以的最小值為.
故答案為：
16. 在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為______.
【答案】或
【解析】
【分析】將四面體放到長方體中，則在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，由異面直線，所成的角為，即可大致確定的位置，利用對稱性以點在軸正方向時為例找出外接球球心位置并利用半徑得出等量關(guān)系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表面積.
【詳解】依題意，將四面體放到長方體中，則在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，
因為異面直線，所成的角為，，
所以可得或，所以應(yīng)為圖中或，如下圖所示：

由對稱性可知，當點在軸負方向時，解法與或位置相同；
可設(shè)的中點為，四面體外接球的球心為，球的半徑為，
由題意可知，球心在過點且垂直于平面的垂線上，且滿足，
建立如上圖所示的空間直角坐標系，因為，，，
設(shè)，又，
由，所以，或，
解得或,
所以或，
即可知四面體外接球的表面積為或.
故答案為：或
【點睛】方法點睛：在考查幾何體外接球問題時，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可采取分割補形法或坐標法來確定其位置，進而求得半徑.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環(huán)節(jié)，簡記為工序A，工序，工序.經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務(wù)，可以在著手前付費聘請技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請一位技術(shù)員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補救服務(wù)的退還一半的聘請費用.
（1）若小李聘請一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘請兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）記事件M為“小李聘請一位技術(shù)員成功完成三道工序”，分別討論小李完成工序的情況并計算各類情況的概率最后求和即可；
（2）設(shè)小李最終收益為X，列出其所有取值，并計算概率求期望值即可.
【小問1詳解】
記事件M為“小李聘請一位技術(shù)員成功完成三道工序”，
當技術(shù)員完成工序A時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術(shù)員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術(shù)員完成工序C時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術(shù)員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：，
故小李成功完成三道工序的概率為；
【小問2詳解】
設(shè)小李最終收益為X，小李聘請兩位技術(shù)員參與比賽，
有如下幾種情況：
兩位技術(shù)員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，；
兩位技術(shù)員都參與補救并成功完成三道工序，此時，；
只有一位技術(shù)員參與補救后成功完成三道工序，此時，;
技術(shù)員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，；
故.
18. 已知數(shù)列與的前項和分別為和，且對任意，恒成立.
（1）若，，求；
（2）若對任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.
【答案】（1）；
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用求通項公式，再求證是首項、公差均為2的等差數(shù)列，進而求；
（2）由題設(shè)易得，等比數(shù)列前n項和公式求，進而可得，裂項相消法化簡已知不等式左側(cè)，得恒成立，進而求最小值.
【小問1詳解】
由題設(shè)，且，而，
顯然也滿足上式，故，
由，又，
所以是首項、公差均為2的等差數(shù)列.
綜上，.
【小問2詳解】
由，，則，
所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.
所以，則，
，而，
所以，
所以對都成立，
所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.
19. 已知正四棱臺的體積為，其中.

（1）求側(cè)棱與底面所成的角；
（2）在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先求得正四棱臺的高，然后求得側(cè)棱與底面所成的角.
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法確定是否存在符合題意的點.
【小問1詳解】
依題意，在正四棱臺中，，
所以上底面積，下底面積，
設(shè)正四棱臺的高為，則.
連接，則，
所以，
設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，
由于線面角的取值范圍是，所以.
【小問2詳解】
連接，設(shè)正四棱臺上下底面的中心分別為，
以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，
，
設(shè)線段上存在一點，滿足，
，
，
則，
，
若，則，
即，
解得，舍去，
所以在線段上不存在一點，使得.

20. 已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，長軸的長度為4，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點作兩條直線，，直線與橢圓交于、兩點，直線與橢圓交于、兩點，的中點為，的中點為；若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點．若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，請說明理由．
【答案】（1）；（2）過定點，且定點坐標為．
【解析】
【分析】（1）依題意求出，，再根據(jù)，求出即可求出橢圓方程；
（2）由題意知的，斜率必存在，設(shè)的斜率為，的斜率為，，，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到的坐標，從而表示出直線的方程，即可判斷；
【詳解】解：（1）由題意知，，
所以，所以，由可得，
所以橢圓的方程為．
（2）由題意知的，斜率必存在，
設(shè)的斜率為，的斜率為，，
設(shè)的方程為，聯(lián)立消元可得，
恒成立，由韋達定理；，
所以，
同理可得，，
∴：，即
∴過定點，且定點坐標為
【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求a的取值范圍．
【答案】（1）當時，在上為減函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，
（2）
【解析】
【分析】（1）對函數(shù)求導后，分和兩種情況判斷導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由（1）可知當時，有可能有兩個零點，求出，然后分，和三種情況討論函數(shù)最小值的正負，從而可求得結(jié)果
小問1詳解】
定義域為，
由，
得，
當時，，所以在上為減函數(shù)，
當時，令，則，得，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
綜上，當時，在上為減函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，
小問2詳解】
由（1）可知，當時，在上為減函數(shù)，則至多有一個零點，
所以，由（1）得在上遞減，在上遞增，
所以當時，取得最小值，
即
，
當時，，所以只有一個零點，不合題意，
當時，則，所以沒有零點，不合題意，
當時， ，即，
因為，
所以在上有一個零點，
取正整數(shù)，滿足，則
，
因為，
所以在上有一個零點，
所以當時，有兩個零點，
所以a的取值范圍為
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的最小值后，結(jié)合函數(shù)圖象的變化情況，要使其最小值小于零即可，然后分情況討論，考查數(shù)學分類思想，屬于較難題
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
22. 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線，相交于，兩點，曲線經(jīng)過變換后得到曲線.
（1）求曲線的普通方程和線段的長度；
（2）設(shè)點是曲線上的一個動點，求的面積的最大值.
【答案】（1）：，；
（2）
【解析】
【分析】（1）公式法求的普通方程，消參法求普通方程，應(yīng)用幾何法求直線與圓相交弦長即可；
（2）由已知變換關(guān)系得的一般方程為，設(shè)，應(yīng)用點線距離公式、輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求到距離最大值，再由三角形面積公式求最大面積.
【小問1詳解】
由題設(shè)，為，
消去參數(shù)t得：為，
由圓心為，半徑為2，則圓心到距離，
所以.
綜上，的普通方程為，線段的長度為.
【小問2詳解】
由經(jīng)過變換后得到曲線，
則，
所以的一般方程為，設(shè)，
所以到距離，
所以，
的面積的最大值為.
選修4-5：不等式選講
23. 已知函數(shù)．
（1）求不等式的解；
（2）若對任意恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）討論，，，寫出的解析式，分段討論解不等式即可.
（2）當時，恒成立，所以，當時，恒成立，由絕對值三角不等式求出的最小值即可求出答案.
【小問1詳解】
當時，等價于，
該不等式恒成立，所以；
當時，等價于，
解得，此時不等式無解；
當時，等價于，解得，所以．
綜上所述，不等式的解為．
【小問2詳解】
由，得，
當時，恒成立，所以；
當時，恒成立，
因為，
當且僅當時取等號，所以．綜上所述，的取值范圍是．

相關(guān)試卷

河南省開封市通許縣2023屆高三三模文科數(shù)學試題A卷（Word版附解析）：

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