1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是得合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出兩集合，再求兩集合的交集即可.
【詳解】∵，
，
∴.
故選：D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以.
故選：D
3. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】計(jì)算出，根據(jù)函數(shù)奇偶性求出.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
所以.
故選：A.
4. 已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用誘導(dǎo)公式和恒等變換進(jìn)行化簡，再利用任意角三角函數(shù)求解即可.
【詳解】由題意得，所以.故選：B.
5. 若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A. 5B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的圖像結(jié)合幾何意義即可得解.
【詳解】由題意畫出可行域，如圖所示，由圖可知在點(diǎn)A處取到最大值，
因?yàn)榇颂幍闹本€的截距最大，

聯(lián)立，可得，即，
所以的最大值為10.
故選:C.
6. 現(xiàn)有10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩名選手比賽一場）.規(guī)定兩人對(duì)局勝者得4分，平局各得2分，負(fù)者得0分，并按總得分由高到低進(jìn)行排序.比賽結(jié)束后，10名選手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的，則第二名選手的得分是（ ）
A. 24B. 32C. 40D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】依題意可得第二名選手至少得分，又全勝得分，假設(shè)第二名選手得分分推出矛盾，即可得解.
【詳解】每個(gè)選手需要進(jìn)行場比賽，則全勝的選手得分，
而最后五名選手之間賽場，至少共得分，所以第二名選手至少得分.
又因?yàn)槊x手的得分各不相同，若第二名選手得分（贏了8場平1場），則第一名選手得分分（贏場），
這時(shí)，第一全贏，第一贏了第二一局，第二輸了一局，所以矛盾.
所以不可得分，所以第二名選手得分是分.
故選：B.
7. 設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用角的變換，結(jié)合三角恒等變換及充分、必要條件的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，即，
則，
當(dāng)時(shí)，兩邊都除以，
得，即．
當(dāng)時(shí)，不能得出，
所以，由甲不一定推出乙．
當(dāng)時(shí)，即，
兩邊都乘以，得，
兩邊都加上，得，即．
所以，由乙可推出甲．
所以，甲是乙的必要非充分條件．
故選：B．
8. 某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為36，則圖中的值為（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的三視圖，作出原幾何體，再利用錐體的體積公式求解作答.
【詳解】依題意，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是底面為等腰直角三角形，直角長為，一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐體，如圖，

三棱錐的高為，由體積，得，
所以.
故選：C
9. ，下列說法正確的是（）
①為偶函數(shù)；
②的最小正周期為；
③在區(qū)間上先減后增；
④的圖象關(guān)于對(duì)稱．
A. ①③B. ①④C. ③④D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】由輔助角公式可得：，
對(duì)①，由題可知，為偶函數(shù)，①正確；
對(duì)②，最小正周期，故②錯(cuò)誤；
對(duì)③，令，，在區(qū)間先減后增，復(fù)合函數(shù)同增異減易知，③正確；
對(duì)④，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，④錯(cuò)誤.
故選：A．
10. 已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故選：C.
11. 已知函數(shù)， 若， ，，則大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用不等式，，放縮不等式，利用單調(diào)性，即可比較大小.
【詳解】為偶函數(shù)，則.又當(dāng)時(shí)，
，，則在上單調(diào)遞減，
，∴在上單調(diào)遞減，
設(shè)，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
設(shè)，（），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，則，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
∴，∴，
故選：B
12. 已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形（如圖所示），則該四面體中異面直線AB與CD所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得到平面，將四面體補(bǔ)成直三棱柱，再根據(jù)異面直線所成角的知識(shí)，求得異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】根據(jù)已知條件可知，平面，
所以四面體中AD⊥平面BCD，
將四面體補(bǔ)成直三棱柱（如圖），
因?yàn)椋浴螹AB為異面直線與所成角（或其補(bǔ)角）．
在中，，，，
所以.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，若，則______.
【答案】13
【解析】
【分析】先求出的坐標(biāo)，再由可得列方程可求得結(jié)果.
【詳解】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案為：13
14. 在區(qū)間上隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求解得，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】由，得，即，
∴事件“”發(fā)生的概率為.
故答案為：
15. 如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，B重合），則下列命題中：
①平面平面；
②一定是銳角；
③；
④三棱錐的體積為定值．
其中真命題的有__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根據(jù)正方體特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正確；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)是直角，即②錯(cuò)誤；易知平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可得，所以③正確；根據(jù)等體積法和線面平行判定定理可得三棱錐的體積為定值，即可知④正確.
【詳解】對(duì)于①，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，所以平面平面，即①正確；
對(duì)于②，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，
易得，
滿足，此時(shí)是直角，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，連接，如下圖所示;
由正方體可知，且平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面；
又平面，所以，即③正確；
對(duì)于④，三棱錐的體積，又因?yàn)榈拿娣e是定值，
平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，
所以三棱錐的體積為定值,即④正確.
故答案為：①③④
16. 不與x軸重合的直線l過點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為____________．
【答案】2
【解析】
【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡并利用可求得離心率.
【詳解】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即 ，
所以，
因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，
即，化簡得，故.
故答案為：2
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考試都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）證明：為等比數(shù)列；
（2）已知，為的前n項(xiàng)和，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）1048
【解析】
【分析】（1）由結(jié)合定義證明即可；
（2）由（1）得出，再討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合等比和等差求和公式得出．
【小問1詳解】
由可得．
又，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）可得，即．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．
所以
．
18. 如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求四棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，則由已知條件結(jié)合線面平行的判定可證得平面，平面，則平面平面，再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）過作交于，可證得，則，得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.
因?yàn)樵谔菪沃?，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)椋矫妫?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面；
【小問2詳解】
如圖，在梯形中，過作交于，則四邊形為平行四邊形，
所以，
在中，得，，，
則，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
∴平面平面，
連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，
所以，
又平面面，平面，
所以平面，
因?yàn)樵诘冗呏校?，為的中點(diǎn)，
所以，
所以四棱錐的體積為：
.
19. 2022年國際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國女籃團(tuán)結(jié)一心、頑強(qiáng)拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國女籃為國人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.
（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？
（2）在不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，完善列聯(lián)表，套公式求出，對(duì)照參數(shù)下結(jié)論；
（2）利用古典概型的概率公式求解.
【小問1詳解】
由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：
計(jì)算，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；
【小問2詳解】
不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，有男觀眾20人，女觀眾40人，
按照分層抽樣的方式抽取6人，有男觀眾2人，記為、，女觀眾4人，記為1、2、3、4，
從6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15個(gè)，
記“所抽2人至少有一位男性”為事件，包含：，，，，，，，，，共9個(gè).
所以
20. 已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（1）求C的方程；
（2）若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）證明過程見詳解，定點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得到直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，整理可得到關(guān)于（含參）的一元二次方程，從而得到，，再根據(jù)，代入即可求解的值，進(jìn)而得到C的方程；
（2）結(jié)合（1）中拋物線，得，設(shè)過點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，則可得到過點(diǎn)E的切線方程，設(shè)點(diǎn)，，，從而得到，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則得到，，進(jìn)而得到的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，，從而得到直線的方程，進(jìn)而得到直線恒過的定點(diǎn)．
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程為．
【小問2詳解】
由，得，所以，
設(shè)過點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，
則相應(yīng)的切線方程為，即，
設(shè)點(diǎn)，由切線經(jīng)過點(diǎn)E，得，即，
設(shè)，，則，是的兩實(shí)數(shù)根，
可得，．
設(shè)M是的中點(diǎn)，則相應(yīng)，
則，即，
又，
直線的方程為，即，
所以直線恒過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：小問（2）解答的關(guān)鍵是先根據(jù)導(dǎo)數(shù)設(shè)拋物線的切線方程，設(shè)點(diǎn)，，，從而得到，是方程的兩實(shí)數(shù)根，再結(jié)合韋達(dá)定理得到，，進(jìn)而得到直線的方程．
21. 已知函數(shù)，（，為常數(shù)）.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；
（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）1 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出端點(diǎn)值和極值進(jìn)行比較即可求解；
（2）結(jié)合（1）可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，，且，滿足可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而得到證明.
【小問1詳解】
令，解得，
則當(dāng)時(shí)，，所以在遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，
所以在上有最大值，
且，，
又，
所以函數(shù)在的最小值為1；
【小問2詳解】
不妨設(shè)，
由（1）知，，，且，滿足，
即，
由題意知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
故，而，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別，求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在內(nèi)所有使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，，求值.
【答案】（1）曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，消元即可得出曲線的普通方程；利用，即可求出直線的直角坐標(biāo)方程;
（2）寫出直線在點(diǎn)處的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，利用韋達(dá)定理即可得出，的值，再利用參數(shù)的幾何意義即求出答案.
【小問1詳解】
∵（為參數(shù)），
∴.
故曲線的普通方程為；
∵，即，
故直線的直角坐標(biāo)方程為；
【小問2詳解】
由（1）得曲線的普通方程為，
直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程并整理得，
設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，，則，，
故.
23. 已知，，函數(shù)的最小值為2.
（1）求的值；
（2）求證：.
【答案】（1）2 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得，即可得解；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，
所以；
【小問2詳解】
證明：要證，
即證，即證，
又，且，，
所以，男
女
合計(jì)
喜愛
30
不喜愛
40
合計(jì)
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
男
女
合計(jì)
喜愛
30
10
40
不喜愛
20
40
60
合計(jì)
50
50
100

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河南省開封市通許縣等3地2023屆高三信息押題卷理科數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市通許縣等3地2023屆高三信息押題卷理科數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共24頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，選考題的作答， 已知函數(shù)，則的圖象大致是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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