一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)結(jié)合,進(jìn)而根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
詳解】由得或，故，
由可知：集合中的元素為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，所以，
故選：B
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示得，再由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，又，則，可得.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用余弦的二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
4. 在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)2000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①a的值為0.300
②不及格的考生數(shù)為500
③考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替）
④考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分析即可.
【詳解】由頻率分布直方圖可得：
，①錯(cuò)誤；
不足60的占比為：，②正確；
平均分為：，③正確；
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，④錯(cuò)誤,綜上正確的有2個(gè).
故選:B
5. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為
，
令，可得，
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：A.
6. a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知成立，所以，
即“”是“”的充分條件，
取，此時(shí)，但，
故“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
7. 如圖所示的程序框圖，所解決的問題是開始（ ）
A. 計(jì)算的值B. 計(jì)算的值
C. 計(jì)算的值D. 計(jì)算的值
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知程序框圖，模擬程序的運(yùn)行過程，并逐句分析各變量值的變化情況，可得答案．
【詳解】輸入的，
第一次循環(huán)，，不滿足；
第二次循環(huán)，，不滿足；
第三次循環(huán)，，不滿足；
第九次循環(huán)，，滿足，
退出循環(huán)，輸出，
故框圖所解決的問題是計(jì)算的值，
故選：B．
8. 已知棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)有一個(gè)正方體玩具，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正方體玩具的棱長(zhǎng)最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令正方體的體對(duì)角線不超過四面體內(nèi)切球直徑即可.
【詳解】
如圖所示，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體的體對(duì)角線不超過該正四面體內(nèi)切球的直徑.
如圖為正四面體的高，是正三角形的中心，，
∴，
設(shè)為正四面體內(nèi)切球的球心，則內(nèi)切球的半徑為，
由等體積法：
∴，
∵，
∴，∴正四面體內(nèi)切球的半徑，直徑，
設(shè)正方體玩具棱長(zhǎng)為，則其體對(duì)角線為，∴，∴
∴正方體玩具的棱長(zhǎng)的最大值為.
故選：A.
9. 把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向右平移個(gè)單位，若最終所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換以及平移變換得函數(shù)解析式為，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，列不等式即可求解.
【詳解】把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)，再把的圖象向右平移個(gè)單位，
得到，由于在單調(diào)遞增，
所以，因此,
即且，
則且
可得,由于，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，
故選：C
10. 已知等邊的邊長(zhǎng)為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系且，，，進(jìn)而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合所得表達(dá)式的幾何意義求范圍即可.
【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且，，，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，
而，故，
綜上，只需求出定點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的范圍即可，
而圓心與的距離，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍為，
所以.
故選：B
11. 已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.
【詳解】拋物線焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)為，則有橢圓的半焦距，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以
所以有
，或舍去，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義，結(jié)合構(gòu)造齊次方程進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵
12. 已知函數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)題干條件，得，化簡(jiǎn)整理得，
然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值，即可求出的最小值.
【詳解】由，得，
化簡(jiǎn)整理得：；
令（），，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
即，故
故選：D
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知復(fù)數(shù)滿足，寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)______．
【答案】（答案不唯一，虛部為即可）
【解析】
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.
【詳解】設(shè)，（，），
則，
，
∵，∴，
∴，化簡(jiǎn)得，解得.
∴滿足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)（答案不唯一，虛部為即可）.
故答案為：（答案不唯一，虛部為即可）.
14. 已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得、，進(jìn)而得，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，得，
即①；
由，得，
即②，
由①②，得，
所以.
故答案為：.
15. 已知中，AB=5，AC=7，，則的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)切化弦，結(jié)合正弦的和差角公式即可得，由正弦定理可得，進(jìn)而利用面積公式即可求解.
【詳解】由得，即，
則，即，
因?yàn)?，所以?br>因此，
由于,所以，
故的面積為,
故答案為：.
16. 已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為______，長(zhǎng)度的最小值為______．
【答案】 ①. 雙曲線 ②.
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平面內(nèi)過且與垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由已知，，，，，
∵點(diǎn)在平面內(nèi)，∴設(shè)，則，，
∵直線與直線所成的角為，
∴，
兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，
∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線.
，
∵點(diǎn)軌跡方程為，∴，且，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：雙曲線，
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題第二個(gè)空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長(zhǎng)度最小，使用空間向量運(yùn)算，可以有效避免這種直覺上的錯(cuò)誤.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．
（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可求解；
（2）由（1）得，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，
所以，又為正項(xiàng)數(shù)列，則；
【小問2詳解】
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
亦適合上式，所以，
所以，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
綜上可知
18. 某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，計(jì)算得，，，．作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個(gè)樣本點(diǎn)，外，其它樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個(gè)樣本點(diǎn)，重新抽樣補(bǔ)充了兩個(gè)偏離比較小的樣本點(diǎn)，．
（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；
（3）經(jīng)過進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測(cè)該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量．
參考公式：線性回歸方程，其中，．
【答案】（1）13000
（2）
（3）2000
【解析】
【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體野生動(dòng)物數(shù)量即可.
（2）根據(jù)線性回歸方程的公式求回歸方程即可.
（3）根據(jù)（2）的回歸方程計(jì)算即可.
【小問1詳解】
樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，
而地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為．
【小問2詳解】
將樣本點(diǎn)，替換為，，構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，
計(jì)算得，，
，，
所以，，
所求回歸方程為．
【小問3詳解】
由（2）回歸方程可知：每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動(dòng)物數(shù)量增加10，
故該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加數(shù)量的估計(jì)值為：．
19. 如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E為AC的中點(diǎn)，將沿折起（如圖2）．在圖2所示的幾何體D-ABC中：
（1）若AD⊥BC，求證：DE⊥平面ABC；
（2）若BD與平面ACD所成的角為60°，求二面角D-AC-B的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)又可得線線垂直，即可由線面垂直的判定定理求證,
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求解可得平面的法向量,由兩個(gè)平面法向量的夾角,結(jié)合圖形特征即可求解二面角大小.
【小問1詳解】
由已知，為等腰直角三角形，E為AC的中點(diǎn)，可得，
中，，，，所以由余弦定理得，
因?yàn)?，所以AC⊥BC，
又因?yàn)锳D⊥BC，，平面ADC,所以BC⊥平面ADC，
又平面ADC，所以，又，，
平面,所以平面．
【小問2詳解】
如圖過C點(diǎn)作平面ABC的垂線CP，以C為原點(diǎn)，
分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則，
設(shè)，其中，
則，，，
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，
則即可得，
由題意，解得或，
易知平面ABC的一個(gè)法向量為，
當(dāng)時(shí)，，，
由圖可知二面角D-AC-B為銳角，故二面角D-AC-B的余弦值為，
當(dāng)時(shí)，，，
由圖可知二面角D-AC-B為銳角，所以二面角D-AC-B的余弦值為，
綜上，二面角的余弦值為或．
20. 如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C，當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．
（1）求p的值；
（2）過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合拋物線的弦長(zhǎng)公式、幾何概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD為矩形，，，
所以，解得；
【小問2詳解】
由（1），拋物線，即，，，
設(shè)，，，，
則，，
聯(lián)立得，，，
則，點(diǎn)P到AB的距離，
所以，，
又，所以，
又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，
所以，
所以概率，
由得，所以所求概率的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程進(jìn)而求出弦長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
21. 已知函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）記（1）中的切線為l，若，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）由（1），根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率可得，即，設(shè)，，，則，所證為.利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性可得，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)()、()的性質(zhì)可證得、，即可證明.
【小問1詳解】
，，，
故在點(diǎn)P處的切線方程為：，
即．
【小問2詳解】
若，則，即，
即，即，
設(shè)，，，則，所證為，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，由的單調(diào)性及易知，
①證明：
令，，，
所以在上單調(diào)遞增，，所以，
所以，即，
又在上單調(diào)遞減，所以，即．
②證明：
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)時(shí)，令，，，
所以在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，可證，
所以，即，
又在上單調(diào)遞增，所以，即．
綜上所述，即得證．
【點(diǎn)睛】破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.
（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.
（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）已知點(diǎn)，曲線和相交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消參即可求解普通方程；
（2）結(jié)合條件寫出直線過點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，聯(lián)立方程，利用參數(shù)的幾何意義求解即可.
【小問1詳解】
由的參數(shù)方程得：，
所以曲線的普通方程為：．
【小問2詳解】
由已知得：曲線為過點(diǎn)的直線，
其標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程形式為：（t為參數(shù)），
聯(lián)立和的方程得：，即，，
設(shè)與的兩個(gè)交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以，，
因?yàn)椋蓆的幾何意義得：．
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知，且，證明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式，靈活運(yùn)用“1”證明即可.
（2）利用基本不等式配湊消元轉(zhuǎn)化即可.
小問1詳解】
由均值不等式可知：，，
∴，
∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．
得證.
【小問2詳解】
∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，∴．
得證.

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河南省開封市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共20頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省開封市五縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市五縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（Word版附解析），共24頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省開封市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理科）（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理科）（Word版附解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上，本試卷主要考試內(nèi)容， 函數(shù)的最小值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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