1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效．
4．本試卷主要命題范圍：高考范圍．
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)定義域化簡集合M，再利用交集的定義求解作答.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，即，而，
所以.
故選：B
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)乘方及除法求出復(fù)數(shù)，再求出對應(yīng)點的坐標作答.
【詳解】依題意，，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.
故選：A
3. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則該切線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，借助導數(shù)的幾何意義求出a值，進而求出切線方程作答.
【詳解】函數(shù)，求導得：，依題意，，解得，
即有，，
所以函數(shù)的圖象在點處的切線為：，即，符合題意.
故選：C
4. 我國傳統(tǒng)剪紙藝術(shù)歷史悠久，源遠流長，最早可追溯到西漢時期．下圖是某一窗花的造型，在長為3，寬為2的矩形中有大小相同的兩個圓，兩圓均與矩形的其中三邊相切，在此矩形內(nèi)任取一點，則該點取自兩圓公共（圖中陰影）部分的概率為（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)幾何概型的概率計算公式，只需要求出陰影部分面積及矩形面積即可得到答案．
【詳解】如圖，矩形面積為，
因為兩圓半徑相等，結(jié)合兩圓的位置及圓的對稱性可得為等邊三角形，
陰影部分面積為，
所以，在此矩形內(nèi)任取一點，則該點取自兩圓公共（圖中陰影）部分的概率為
．
故選：C．
5. 古代名著《九章算術(shù)》中記載了求“方亭”體積的問題，方亭是指正四棱臺，今有一個方亭型的水庫，該水庫的下底面的邊長為20km，上底面的邊長為40km，若水庫的最大蓄水量為，則水庫深度（棱臺的高）為（ ）
A. 10mB. 20m
C. 30mD. 40m
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知：該水庫是一個正四棱臺，已知正四棱臺的體積為，上下底面邊長分別為40km和20km，求正四棱臺的高，同一單位，代入體積計算公式即可求解.
【詳解】因為正四棱臺上下底面邊長分別為40km和20km，設(shè)高，
因為，，由棱臺的體積計算公式可得：
，解得：，
故選：.
6. 已知拋物線C：，過焦點F的直線與C在第四象限交于M點，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知：焦點坐標為，設(shè)點，利用直線的斜率可得，再利用拋物線的定義即可求解.
【詳解】因為直線過拋物線C：的焦點，則，
所以，，拋物線方程為，因為在拋物線上且在第四象限，設(shè)點，則，解得：，由拋物線的定義可知：，
故選：.
7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，運行程序，依次計算即可判斷作答.
【詳解】第1次循環(huán)，；第2次循環(huán)，；
第3次循環(huán)，；第4次循環(huán)，；
第5次循環(huán)，；第6次循環(huán)，；
第7次循環(huán)，；第8次循環(huán)，；
第9次循環(huán)，；第10次循環(huán)，；
第11次循環(huán)，；第12次循環(huán)，；
第13次循環(huán)，；第14次循環(huán)，；
第15次循環(huán)，，結(jié)束循環(huán)，輸出，
所以輸出的k的值為15.
故選：B
8. 某部門統(tǒng)計了某地區(qū)今年前7個月在線外賣的規(guī)模如下表：
其中4、6兩個月的在線外賣規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預(yù)測，且7月相應(yīng)于點的殘差為，則（ ）
A. 1.0B. 2.0C. 3.0D. 4.0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再借助回歸直線的特征及殘差列出方程組即可求解作答.
【詳解】依題意，，而，于是得，
而當時，，即，聯(lián)立解得，
所以.
故選：B
9. 已知等比數(shù)列的前4項和為30，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的首項及公比，即可計算作答.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，而，解得，
數(shù)列的前4項和為，即，解得，
所以.
故選：C
10. 記函數(shù)的最小正周期為T，若，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則當取得最小值時，（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】由及的圖象關(guān)于對稱列出關(guān)系式，求出，，再由的圖象關(guān)于對稱可求的最小值，從而可求的值．
【詳解】由已知得，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，
所以，所以，
又因為，所以，，
由的圖象關(guān)于對稱得，
所以，即有，
又因為，所以當最小時，，此時，
所以，
故選：D．
11. 已知雙曲線C：的左焦點為F，過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，與C交于P，Q兩點，若P，F(xiàn)，Q四等分線段AB，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得直線AB與雙曲線C的左支交于兩點，再結(jié)合雙曲線對稱性求出直線AB的方程，進而求出點A坐標，利用AF中點在雙曲線C上求解作答.
【詳解】雙曲線C：的漸近線，令半焦距為c，則，
因為直線AB與雙曲線C的兩個交點P，Q在線段AB上，則直線AB與雙曲線C的左支相交，
因為點P，F(xiàn)，Q四等分線段AB，則由雙曲線對稱性得，直線AB垂直于x軸，直線AB的方程為，
不妨令點A在第二象限，由得點，顯然線段的中點在雙曲線C上，
則有，即，解得，
所以雙曲線C的離心率.
故選：A
12. 已知球O的半徑為2，四棱錐的頂點均在球O的球面上，當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，確定四棱錐體積最大時為正四棱錐，設(shè)出底面外接圓半徑，求出體積函數(shù)式，再利用導數(shù)求解作答.
【詳解】令球O的內(nèi)接四棱錐為，四邊形外接圓半徑為，對角線的夾角為，
則四邊形的面積，
當且僅當，即四邊形為正方形時取等號，
由球的結(jié)構(gòu)特征知，頂點P為直線與球面O的交點，并且球心O在線段上，四棱錐的高最大，如圖，
，高，
因此四棱錐的最大體積關(guān)系式為：，令，
則，
求導得，當時，，當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，此時，
所以當該四棱錐的體積最大時，其高為.
故選：D
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，若，則實數(shù)___________．
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算和共線向量坐標表示求解作答.
【詳解】向量，，則，而，
則有，解得，
所以實數(shù).
故答案為：
14. 記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)已知列出方程組，求出首項膠公差，再求出作答.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，解得，
所以.
故答案為：
15. 寫出與圓和都相切的一條直線的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)給定圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系，再寫出一條公切線方程作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
則，因此圓相外切，它們有3條公切線，而軸，，
則兩圓的每條公切線斜率都存在，設(shè)公切線方程為，為常數(shù)，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圓的公切線方程為：或或，
所以與圓和都相切一條直線的方程可以為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)（a，且）是偶函數(shù)，則_________，________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義，列式求解作答.
【詳解】因為函數(shù)（a，且）是偶函數(shù)，
則函數(shù)對定義域內(nèi)任意實數(shù)恒有成立，
即，整理得，
，顯然不恒為0，因此恒成立，
而為常數(shù)，則必有為常數(shù)，于是得，又，解得，，
此時，其定義域為且，
，即函數(shù)是偶函數(shù)，所以，.
故答案為：；
三?解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）若，求值；
（2）證明：為定值．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用已知條件以及兩角差的正弦公式、二倍角公式，通過三角恒等變形即可求解；
（2）利用正弦定理以及余弦定理，通過三角恒等變形即可得證.
【小問1詳解】
由,
∵,∴,即，
∵，所以,
所以,
又∵,∴，
，
，
，解得；
【小問2詳解】
由已知條件得，
，
，
，
,
∵, ∴,
由余弦定理得，
由正弦定理得，
整理得 ，
即為定值．
18. 青少年近視問題備受社會各界廣泛關(guān)注，某研究機構(gòu)為了解學生對預(yù)防近視知識的掌握情況，對某校學生進行問卷調(diào)查，并隨機抽取200份問卷，發(fā)現(xiàn)其得分（滿分：100分）都在區(qū)間中，并將數(shù)據(jù)分組，制成如下頻率分布表：
（1）估計這200份問卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）用分層抽樣的方法從這200份問卷得分在，，內(nèi)的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行調(diào)查，求這3人來自不同組（3人中沒有2人在同一組）的概率.
【答案】（1）74.5；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布表求出m，再求出問卷得分的平均值作答.
（2）求出抽取的6人中各組人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率作答.
【小問1詳解】
由頻率分布表得：，
所以200份問卷得分的平均值約為：.
【小問2詳解】
由（1）知，問卷得分在，，內(nèi)的頻率分別為，
因此抽取的6人中，得分在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2人，3人，1人，
記得分在內(nèi)的2人為，得分在內(nèi)的3人為，得分在內(nèi)的1人為，
從6人中任取3人的不同結(jié)果為：，
，
，共20個，它們等可能，
抽取的3人來自不同組的事件有：，共6個，
所以3人來自不同組的概率.
19. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．
（1）證明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理和面面垂直的判定定理證明；
(2)利用兩角和的正弦公式求出，利用三角形面積公式求出，根據(jù)錐體體積公式求解.
【小問1詳解】
連接，因為，所以,
又因為，，所以，即,
又因為底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因為平面PCD，，
所以平面PCD,又因為平面PBC，
所以平面PCD⊥平面PBC.
【小問2詳解】
在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以
，
所以，
所以.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）
【解析】
【分析】(1)對函數(shù)求導，判斷導函數(shù)的正負，進而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)將不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最小值問題，進而求解.
【小問1詳解】
由函數(shù)可得，令，
則，令，得；令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以在上恒成立；
當時，則有；當時，則有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
因為當時，恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，則，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，故.
【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：
(1)恒成立；
(2)恒成立.
21. 已知橢圓E的中心為坐標原點O，對稱軸分別為x軸、y軸，且過，兩點．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)F為橢圓E的一個焦點，M，N為橢圓E上的兩動點，且滿足，當M，O，N三點不共線時，求△MON的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；
(2)根據(jù)題意可得：，進而得到直線的斜率，設(shè)直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，進而求出面積的最值.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓方程為，因為橢圓過點，，
所以，解得：，所以橢圓的方程為：.
【小問2詳解】
不妨設(shè)為橢圓的下焦點，由(1)可知：點，則，
因為，則，所以，
設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立方程組，整理可得：，則，即（*），
由韋達定理可得：，，
由弦長公式可得：，
點到直線的距離，
所以，
所以當時，面積最大，最大為.
（二）選考題：共10分．請考生在第22?23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為．
（1）求曲線的普通方程；
（2）若與有兩個不同公共點，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用基本不等式求出的取值范圍，即可得解；
（2）求出直線的普通方程，分析可知直線與雙曲線的右支有兩個交點，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：由可得，即，
因為，則，當且僅當時，等號成立，
故曲線的普通方程為.
【小問2詳解】
解：因為直線的極坐標方程為，
所以，直線的普通方程為，
聯(lián)立可得，
設(shè)直線與曲線交于點、，
由題意可得，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍為.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化函數(shù)為分段函數(shù)，再分段解不等式作答.
（2）求出函數(shù)、的值域，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)，則不等式化為：
或或，解得或或，則，
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
由（1）知，當時，，當時，，當時，，
因此函數(shù)值域為，
，，當且僅當時取等號，
因此函數(shù)的值域為，
因為對任意，都存在，使得成立，則有，
即，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.月份代號x
1
2
3
4
5
6
7
在線外賣規(guī)模y（百萬元）
11
13
18
★
28
★
35
分數(shù)
頻率
0.15
0.25
m
0.30
0.10

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