一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，則.
故選：C
2. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】由，可得，解得,
所以.
因?yàn)椋?br>所以.
故選:D.
3. 從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.
【詳解】任取2個(gè)不同數(shù)可能有、、、、、、、、、，共10種情況，
其中和為偶數(shù)的情況有、、、，共4種情況，
所以取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為.
故選：D
4. 某學(xué)校組建了演講，舞蹈，合唱，繪畫，英語(yǔ)協(xié)會(huì)五個(gè)社團(tuán)，全校2000名學(xué)生每人都參加且只參加其中二個(gè)社團(tuán)，校團(tuán)委從這2000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖：

則選取的學(xué)生中，參加繪畫社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】由題圖可求合唱的比例，由餅狀圖求出繪畫的比例，從而可求解.
【詳解】選取的學(xué)生中，合唱的比例為，
所以繪畫的比例為，
所以選取的學(xué)生中，參加繪畫社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為.
故選:A.
5. 如圖為某幾何體的正視圖與側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)各項(xiàng)中的俯視圖，結(jié)合已知圖確定底面形狀求體積，即可判斷是否符合要求.
【詳解】由正視圖、側(cè)視圖知：幾何體的高，
若俯視圖為A、B，即幾何體底面是等腰直角三角形，則，不滿足；
若俯視圖為C，即幾何體底面是正方形，則，滿足；
若俯視圖為D，與正視圖矛盾，沒有對(duì)應(yīng)幾何體，不滿足.
故選：C
6. 函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】寫出各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的解析式，根據(jù)奇函數(shù)定義判斷是否為奇函數(shù)即可.
【詳解】A：，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合；
B：，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，符合；
C：，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合；
D：，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合；
故選：B
7. 已知正方體，則（ ）

A. 直線與所成的角為B. 直線與所成的角為
C. 直線與平面所成的角為D. 直線與平面所成的角為
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，可得直線與所成的角為或其補(bǔ)角，根據(jù)勾股定理即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由，可得直線與所成的角為或其補(bǔ)角，根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由平面可得直線與平面所成的角為,根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，可得為直線與平面所成的角，解三角形即可判斷.
【詳解】對(duì)于A：設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，
所以，所以直線與所成的角為或其補(bǔ)角.
,,
，
所以,即，即，
所以直線與所成的角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由正方體的性質(zhì)可得，
所以直線與所成的角為或其補(bǔ)角，
易知是等邊三角形，所以,
所以直線與所成的角為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由正方體的性質(zhì)平面，
所以直線與平面所成的角為,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)槠矫?，平面，所?
在正方形中，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面,
所以為直線與平面所成的角.
因?yàn)?，所以,所以，
所以直線與平面所成的角為，故D正確.
故選:D.

8. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可比較的大小關(guān)系.構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可比較的大小關(guān)系.
【詳解】，，，
設(shè)，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
所以，即.
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即.
所以，即.
所以.
故選:C.
9. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得，求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，
再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.
時(shí)，，
在軸右方的零點(diǎn)為
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得.
故選:D.
10. 已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由直線所過定點(diǎn)及拋物線的焦點(diǎn)所在位置可求，設(shè),聯(lián)立直線與拋物線的方程，求出，根據(jù)即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在軸，且直線過拋物線的焦點(diǎn)，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
聯(lián)立，消去，可得，即.
設(shè),
因?yàn)?
所以.
所以.
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，且拋物線的準(zhǔn)線方程為,
所以，解得.
所以，即，解得.
故選:B.

11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 為的一個(gè)極值點(diǎn)
C. 點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心
D 函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)、是否成立判斷A、C；利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否為極值點(diǎn)判斷B；由，應(yīng)用零點(diǎn)存在性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷D.
【詳解】A：，錯(cuò)；
B：，在上，則
時(shí)，時(shí)，
故，即是一個(gè)極小值點(diǎn)，對(duì)；
C：，故不是對(duì)稱中心，錯(cuò)；
D：由解析式知：，，，
所以上存在零點(diǎn)，故不止一個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò).
故選：B
12. 已知若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在與上的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)的圖象，由題意可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，,
則,
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以時(shí)，.
畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知或.
所以的取值范圍為.
故選:C.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知兩點(diǎn)，，若向量與垂直，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出，根據(jù)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，所?
因?yàn)橄蛄颗c垂直，
所以，解答.
故答案為:.
14. 的三個(gè)頂點(diǎn)到直線的距離分別為1，2，3，則該三角形的重心到直線的距離為__________（答案不唯一，填一個(gè)即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用重心坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形的重心到直線的距離的范圍，由此確定正確答案.
【詳解】以平面內(nèi)一點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)直線的方程為（不同時(shí)為），
不妨設(shè)，
設(shè)三角形的重心到直線的距離為，
則
，
則當(dāng)同號(hào)時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)，
或時(shí)，
取得最小值為，也即過重心.
所以.
故答案為:1（答案不唯一）.
15. 折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上，則的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】若為中點(diǎn)，由、，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)得，根據(jù)位置關(guān)系求最小值.
【詳解】如下圖，，
若中點(diǎn)，且，則，
則，
要使其最小，只需共線，

此時(shí)，由圖知此時(shí).
故答案為：.
16. 已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為的左焦點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上及參數(shù)關(guān)系求出雙曲線參數(shù)，即可得離心率.
【詳解】由題設(shè)知：，則，

所以且，易知：，
又，故，且，
所以，則，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍），
綜上，，故，則離心率為.
故答案：
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：60分．
17 已知數(shù)列滿足且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)得，應(yīng)用累加法求通項(xiàng)公式即可；
（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.
【小問1詳解】
由題設(shè)，即，而，
所以，且，
所以，顯然也滿足上式，故.
【小問2詳解】
由（1）知：，
所以，
則，
兩式相減得：，
所以.
18. 在三棱臺(tái)中，，分別是，的中點(diǎn)，，平面，且，．

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形、棱臺(tái)、線面垂直的性質(zhì)證四邊形為矩形，并求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，再證得到，根據(jù)面面垂直的判定、性質(zhì)證平面，進(jìn)而得到，最后由線面垂直的判定和性質(zhì)證結(jié)論.
（2）由，結(jié)合棱錐體積公式求體積即可.
【小問1詳解】
由，，則，是的中點(diǎn)，即，

由為棱臺(tái)，易知，且，故，
又，且，故四邊形為平行四邊形，
又平面，平面，則，
所以四邊形為矩形，又，是的中點(diǎn)，故，
在中，且，
所以，易得，則，
由平面，平面，則平面平面，
由等腰三角形性質(zhì)知，平面，平面平面，
所以平面，平面，則，
又，面，則面，
由面，則.
【小問2詳解】
由，由（1）知：平面，
所以.
所以三棱錐的體積為.
19. 北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷．為了研究“冰墩墩”與“雪容融”在不同性別的人群中受歡迎程度是否存在差異，某機(jī)構(gòu)從關(guān)注冬奧會(huì)公眾號(hào)的微信用戶中隨機(jī)調(diào)查了200人，得到如下列聯(lián)表：
參考公式：，其中．附表：
（1）完善列聯(lián)表，并求女生中更喜歡“冰墩墩”的頻率是多少？
（2）是否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)兩個(gè)吉祥物的喜好傾向與性別有關(guān)”．
【答案】（1）；
（2）有90%的把握認(rèn)為“對(duì)兩個(gè)吉祥物的喜好傾向與性別有關(guān)”．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完善列聯(lián)表，再求頻率即可；
（2）根據(jù)公式求出，對(duì)比臨界值表即可求解.
【小問1詳解】
由列聯(lián)表可得 ，解得，
故完善列聯(lián)表如下：
故女生中更喜歡“冰墩墩”的頻率是.
【小問2詳解】
,
所以有90%的把握認(rèn)為“對(duì)兩個(gè)吉祥物的喜好傾向與性別有關(guān)”．
20. 已知點(diǎn)在橢圓上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求直線的斜率；
（2）求的面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）代入，求出，得到曲線方程，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合要求，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，由求出，得到；
（2）由求出，求出，并得到點(diǎn)到直線的距離為，表達(dá)出，從而求出的面積的最大值.
【小問1詳解】
由題意得，解得，
代入橢圓方程中，，解得或6（舍去），
故，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)有對(duì)稱性可知，直線，的斜率之和不為0，舍去；
設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
則，則，
設(shè)，則，
，
故，
即，故，
即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線，
顯然直線恒過，矛盾，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，
故直線的斜率為1；
【小問2詳解】
設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
，解得，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
故
，
故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
21. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于的方程組，解之即可;
（2）由題意可得只有一個(gè)根，易知，可轉(zhuǎn)化為與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，
因?yàn)?
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
【小問2詳解】
令，可得，
由題意可得只有一個(gè)根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
設(shè)，則與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以.
所以.
又，時(shí)，，時(shí)，，
畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知，若與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
則.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)）．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（1）求曲線和直線的普通方程；
（2）直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，，過且與直線平行的直線，與相交于，兩點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）消參求曲線的普通方程，討論或、或并消參求直線方程；
（2）由題設(shè)排除或的情況，將兩直線的參數(shù)方程代入曲線普通方程，結(jié)合韋達(dá)定理求目標(biāo)式的值.
【小問1詳解】
由，則曲線的普通方程為，
由，
若或時(shí)，則直線的普通方程為，
若或時(shí)；
綜上，曲線的普通方程為，直線的普通方程為（或），或（或）.
【小問2詳解】
若或，將代入，則，
整理得，令，則，
可設(shè)直線為代入，則，
整理得，令，則，
此時(shí)；
若或，此時(shí)直線與直線重合，均為，不滿足題設(shè)；
綜上，.
23. 已知函數(shù)，，且的解集為．
（1）求的值；
（2）設(shè)、、為正數(shù)，且，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式法解絕對(duì)值不等式，結(jié)合已知解集求參數(shù)值；
（2）由（1）得，應(yīng)用柯西不等式求目標(biāo)式的最大值，注意取值條件.
【小問1詳解】
由題設(shè)的解集為，顯然，
所以，即，可得.
【小問2詳解】
由（1）知：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為.
男生
女生
總計(jì)
更喜歡“冰墩墩”
50
更喜歡“雪容融”
70
總計(jì)
100
100
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男生
女生
總計(jì)
更喜歡“冰墩墩”
50
30
80
更喜歡“雪容融”
50
70
120
總計(jì)
100
100
200

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