一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合或，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按集合的運(yùn)算法則，求集合A的補(bǔ)集，再與集合B取交集．
【詳解】集合或，，
又，則.
故選：B
2. 若，則（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算可求得答案.
【詳解】解：，，
故選：C.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由二倍角公式即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?
故選:C
4. 已知圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線C的焦距為（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意求得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)圓與雙曲線的漸近線相切，得到圓心到直線的距離等于半徑，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得，進(jìn)一步求得雙曲線的焦距.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑，可得，解得，
從而求得雙曲線的方程為，所以，即，故此雙曲線的焦距為，
故選：D
5. 在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)2000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①a的值為0.300
②不及格的考生數(shù)為500
③考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替）
④考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分析即可.
【詳解】由頻率分布直方圖可得：
，①錯(cuò)誤；
不足60的占比為：，②正確；
平均分為：，③正確；
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，④錯(cuò)誤,綜上正確的有2個(gè).
故選:B
6. a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知成立，所以，
即“”是“”的充分條件，
取，此時(shí)，但，
故“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
7. 如圖所示的程序框圖，所解決的問(wèn)題是開(kāi)始（ ）
A. 計(jì)算的值B. 計(jì)算的值
C. 計(jì)算的值D. 計(jì)算的值
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知程序框圖，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，并逐句分析各變量值的變化情況，可得答案．
【詳解】輸入的，
第一次循環(huán)，，不滿足；
第二次循環(huán)，，不滿足；
第三次循環(huán)，，不滿足；
第九次循環(huán)，，滿足，
退出循環(huán)，輸出，
故框圖所解決的問(wèn)題是計(jì)算的值，
故選：B．
8. 已知棱長(zhǎng)為6正方體內(nèi)有一個(gè)正四面體玩具，若正四面體玩具可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正四面體玩具的棱長(zhǎng)最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知，正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，轉(zhuǎn)化為求正四面體的外接球的半徑，即可列式求解.
【詳解】若正四面體玩具可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，
如圖所示，設(shè)四面體的邊長(zhǎng)為，其外接正方體為，則正方體棱長(zhǎng)為
則正方體與正四面體有同一個(gè)外接球，
設(shè)正方體的外接球的半徑為，則，即，
而棱長(zhǎng)為6的正方體的內(nèi)切球的半徑為3，
所以，解得：
故選：D
9. 把函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖像向右平移個(gè)單位，則最終所得圖像的一條對(duì)稱軸方程可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的變換規(guī)律，得到變換后的函數(shù)解析式，即可求圖像的對(duì)稱軸方程．
【詳解】將函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù) 的圖像，
再向右平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式 ，
故最后所得函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸方程為，即，
結(jié)合所給的選項(xiàng)可得只有A滿足條件，
故選：A．
10. 已知D是圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面圓的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，若該圓錐的母線和底面圓的直徑長(zhǎng)度相等，則AO與CD所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)正三角形的外接圓的半徑為，則母線，利用向量的數(shù)量積求出向量所成角的余弦值，即為所成角的余弦值，即可答案.
【詳解】解：如圖一所示：
設(shè)正三角形的外接圓的半徑為，則母線，
又因?yàn)槠矫?平面,
所以，即，
如圖二所示：
則,
則，
即，
所以，
即向量所成角的余弦值為，
所以所成角的余弦值為.
故選：D.
11. 已知等邊的邊長(zhǎng)為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系且，，，進(jìn)而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合所得表達(dá)式的幾何意義求范圍即可.
【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且，，，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，
而，故，
綜上，只需求出定點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的范圍即可，
而圓心與的距離，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍為，
所以.
故選：B
12. 已知函數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)題干條件，得，化簡(jiǎn)整理得，
然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值，即可求出的最小值.
【詳解】由，得，
化簡(jiǎn)整理得：；
令（），，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
即，故
故選：D
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得答案.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥?br>所以，解得.
故答案為：.
14. 已知是各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列出方程，即可求得.
【詳解】根據(jù)條件可得，，
兩式相除可得，解得或.
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均不相同的等差數(shù)列，
故，所以.
故答案為:.
15. 已知中，，，，則的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值，再用面積公式求的面積．
【詳解】中，，，，由余弦定理，
可得：，整理可得，解得（負(fù)值舍），
則的面積.
故答案為：
16. 已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若軸，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及點(diǎn)在拋物線上和在橢圓上，利用橢圓的離心率公式即可求解.
【詳解】由拋物線得焦點(diǎn)，
因?yàn)檩S，
所以把代入中，得，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，
所以.
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，
由橢圓得焦點(diǎn)，
所以，
所以
因?yàn)樵跈E圓上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又因?yàn)椋?br>所以.
所以橢圓C的離心率為.
故答案為：.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用等差數(shù)列的定義，求出，再利用的關(guān)系求出；
(2)，對(duì)分奇偶討論，利用分組（并項(xiàng)）求和法，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
(1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，所以，
為正項(xiàng)數(shù)列，則；
當(dāng)時(shí)，，
亦適合上式，所以．
【小問(wèn)2詳解】
由(1)可知，，
當(dāng)n偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
綜上可知
18. 如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，將沿AC折起（如圖2）．在圖2所示的幾何體中：
（1）若平面ACD⊥平面ABC，求證：AD⊥BC；
（2）設(shè)P為BD的中點(diǎn)，記P到平面ACD的距離為，P到平面ABC的距離為，求證：為定值，并求出此定值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析，2
【解析】
【分析】（1）先通過(guò)余弦定理及勾股定理證明AC⊥BC，再通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面ACD，從而可證線線垂直；
（2）利用等體積法建立高的關(guān)系式，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
記，在中，，，
在中，，由余弦定理得，
所以，所以AC⊥BC，
因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，BC平面ABC，
所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題意，，
因?yàn)镻為BD的中點(diǎn)，，
所以，即.
19. 某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，計(jì)算得，，，．作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個(gè)樣本點(diǎn)，外，其它樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個(gè)樣本點(diǎn)，重新抽樣補(bǔ)充了兩個(gè)偏離比較小的樣本點(diǎn)，．
（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；
（3）經(jīng)過(guò)進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測(cè)該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量．
參考公式：線性回歸方程，其中，．
【答案】（1）13000
（2）
（3）2000
【解析】
分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體野生動(dòng)物數(shù)量即可.
（2）根據(jù)線性回歸方程的公式求回歸方程即可.
（3）根據(jù)（2）的回歸方程計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，
而地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為．
【小問(wèn)2詳解】
將樣本點(diǎn)，替換為，，構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，
計(jì)算得，，
，，
所以，，
所求回歸方程為．
【小問(wèn)3詳解】
由（2）回歸方程可知：每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動(dòng)物數(shù)量增加10，
故該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加數(shù)量的估計(jì)值為：．
20. 如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C．當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．
（1）求p的值；
（2）過(guò)拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率為時(shí)直線l的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD為矩形，根據(jù)矩形面積公式求出p的值；（2）設(shè)，，，，將直線和拋物線聯(lián)立得韋達(dá)定理，求出，點(diǎn)P到AB的距離，求出，又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，求出，即可求出的值.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD為矩形，，，
所以，解得．
【小問(wèn)2詳解】
由（1），拋物線，即，，，
設(shè)，，，，
則，，
聯(lián)立得，，
則，點(diǎn)P到AB的距離，
所以，，
又，所以，
又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，所以，
所以概率，
解得，所以該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率為時(shí)直線l的斜率為．
21. 已知函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，，．
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，探究線段的中點(diǎn)在第幾象限？并說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）第四象限，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（2）設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明；根據(jù)的形式可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性后，進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，采用作差法可證得，從而確定位于第四象限.
【小問(wèn)1詳解】
，，在點(diǎn)處的切線方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
線段的中點(diǎn)在第四象限，證明如下：
，不妨設(shè)點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)在第一象限，即，
線段的中點(diǎn)，即．
，只需證：，即，即證即可；
，，
令，則；
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增；
，，要證，只需證，
又，只需證；
，
，，，，
，即，原問(wèn)題得證，
線段的中點(diǎn)在第四象限.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等關(guān)系；本題證明中點(diǎn)位于第四象限的關(guān)鍵是通過(guò)分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的不同函數(shù)值的大小關(guān)系的比較問(wèn)題.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）已知點(diǎn)，曲線和相交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消參即可求解普通方程；
（2）結(jié)合條件寫(xiě)出直線過(guò)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，聯(lián)立方程，利用參數(shù)的幾何意義求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由的參數(shù)方程得：，
所以曲線的普通方程為：．
【小問(wèn)2詳解】
由已知得：曲線為過(guò)點(diǎn)的直線，
其標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程形式為：（t為參數(shù)），
聯(lián)立和的方程得：，即，，
設(shè)與的兩個(gè)交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以，，
因?yàn)椋蓆的幾何意義得：．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 已知，且，證明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式，靈活運(yùn)用“1”證明即可.
（2）利用基本不等式配湊消元轉(zhuǎn)化即可.
小問(wèn)1詳解】
由均值不等式可知：，，
∴，
∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．
得證.
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，∴．
得證.

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2023屆河南省開(kāi)封市高三下學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（PDF版）

2023屆河南省開(kāi)封市高三下學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（PDF版）
2023屆河南省開(kāi)封市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆河南省開(kāi)封市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）
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