注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設集合或，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按集合的運算法則，求集合A的補集，再與集合B取交集．
【詳解】集合或，，
又，則.
故選：B
2. 若復數滿足,則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結合復數的除法運算以及模長公式即可求出結果.
【詳解】因為,
所以,
則,
故選:B.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意，由二倍角公式即可得到結果.
【詳解】因為.
故選:C
4. 已知圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線C的焦距為（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意求得雙曲線的漸近線方程，根據圓與雙曲線的漸近線相切，得到圓心到直線的距離等于半徑，列出相應的等量關系式，從而求得，進一步求得雙曲線的焦距.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
根據圓的圓心到切線的距離等于半徑，可得，解得，
從而求得雙曲線的方程為，所以，即，故此雙曲線的焦距為，
故選：D
5. 在某次高中學科知識競賽中，對2000名考生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，則下列說法中正確的個數有（ ）
①a的值為0.300
②不及格的考生數為500
③考生競賽成績的平均分約為70.5分（同一組中數據用該組區(qū)間中點值近似代替）
④考生競賽成績的中位數約為75分
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】根據頻率分布直方圖分析即可.
【詳解】由頻率分布直方圖可得：
，①錯誤；
不足60的占比為：，②正確；
平均分為：，③正確；
設中位數為，則，解得，④錯誤,綜上正確的有2個.
故選:B
6. a，b為實數，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據充分不必要的定義進行判斷即可.
【詳解】因為，根據對數函數單調性可知成立，所以，
即“”是“”的充分條件，
取，此時，但，
故“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
7. 如圖所示程序框圖，所解決的問題是開始（ ）
A. 計算的值B. 計算的值
C. 計算的值D. 計算的值
【答案】B
【解析】
【分析】根據已知程序框圖，模擬程序的運行過程，并逐句分析各變量值的變化情況，可得答案．
【詳解】輸入的，
第一次循環(huán)，，不滿足；
第二次循環(huán)，，不滿足；
第三次循環(huán)，，不滿足；
第九次循環(huán)，，滿足，
退出循環(huán)，輸出，
故框圖所解決的問題是計算的值，
故選：B．
8. 已知棱長為6的正方體內有一個正四面體玩具，若正四面體玩具可以在該正方體內任意轉動，則這個正四面體玩具的棱長最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知，正四面體的棱長最大時，其外接球為正方體的內切球，轉化為求正四面體的外接球的半徑，即可列式求解.
【詳解】若正四面體玩具可以在該正方體內任意轉動，則這個正四面體的棱長最大時，其外接球為正方體的內切球，
如圖所示，設四面體的邊長為，其外接正方體為，則正方體棱長為
則正方體與正四面體有同一個外接球，
設正方體的外接球的半徑為，則，即，
而棱長為6的正方體的內切球的半徑為3，
所以，解得：
故選：D
9. 把函數圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖像向右平移個單位，則最終所得圖像的一條對稱軸方程可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據函數圖像的變換規(guī)律，得到變換后的函數解析式，即可求圖像的對稱軸方程．
【詳解】將函數圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），可得函數 的圖像，
再向右平移個單位，所得圖像對應的函數解析式 ，
故最后所得函數的圖像的一條對稱軸方程為，即，
結合所給的選項可得只有A滿足條件，
故選：A．
10. 已知D是圓錐的頂點，O是圓錐底面圓的圓心，是底面圓的內接正三角形，若該圓錐的母線和底面圓的直徑長度相等，則AO與CD所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設正三角形的外接圓的半徑為，則母線，利用向量的數量積求出向量所成角的余弦值，即為所成角的余弦值，即可答案.
【詳解】解：如圖一所示：
設正三角形的外接圓的半徑為，則母線，
又因為平面,平面,
所以，即，
如圖二所示：
則,
則，
即，
所以，
即向量所成角的余弦值為，
所以所成角的余弦值為.
故選：D
11. 已知等邊的邊長為，P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐標系且，，，進而確定的軌跡圓，再利用向量數量積的坐標表示并結合所得表達式的幾何意義求范圍即可.
【詳解】如下圖構建平面直角坐標系，且，，，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，
而，故，
綜上，只需求出定點與圓上點距離平方的范圍即可，
而圓心與的距離，故定點與圓上點的距離范圍為，
所以.
故選：B
12. 已知函數，且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據題干條件，得，化簡整理得，
然后構造函數，借助導數求解的最小值，即可求出的最小值.
【詳解】由，得，
化簡整理得：；
令（），，令，解得.
當時，，即在上單調遞減；
當時，，即在上單調遞增；
即，故
故選：D
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據向量平行的坐標運算公式可得答案.
【詳解】因為向量，，且，
所以，解得.
故答案為：.
14. 已知是各項均不相同的等差數列，是公比為q的等比數列，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據題意，列出方程，即可求得.
【詳解】根據條件可得，，
兩式相除可得，解得或.
當時，則，因為是各項均不相同的等差數列，
故，所以.
故答案為:.
15. 已知中，，，，則的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值，再用面積公式求的面積．
【詳解】中，，，，由余弦定理，
可得：，整理可得，解得（負值舍），
則的面積.
故答案為：
16. 已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且與該拋物線在第一象限交于點，若軸，則橢圓C的離心率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據已知條件及點在拋物線上和在橢圓上，利用橢圓的離心率公式即可求解.
【詳解】由拋物線得焦點，
因為軸，
所以把代入中，得，解得，
因為點在第一象限，
所以.
因為橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，
由橢圓得焦點，
所以，
所以
因為在橢圓上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又因為，
所以.
所以橢圓C的離心率為.
故答案為：.
三?解答題；共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 記為正項數列的前n項和，已知，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用等差數列的定義，求出，再利用的關系求出；
(2)，對分奇偶討論，利用分組（并項）求和法，即可求出結果.
【小問1詳解】
(1)當時，因為，
所以數列為等差數列，公差為1，首項為，所以，
為正項數列，則；
當時，，
亦適合上式，所以．
【小問2詳解】
由(1)可知，，
當n為偶數時，
當n為奇數時，
綜上可知
18. 如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，將沿AC折起（如圖2）．在圖2所示的幾何體中：
（1）若平面ACD⊥平面ABC，求證：AD⊥BC；
（2）設P為BD的中點，記P到平面ACD的距離為，P到平面ABC的距離為，求證：為定值，并求出此定值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析，2
【解析】
【分析】（1）先通過余弦定理及勾股定理證明AC⊥BC，再通過面面垂直的性質定理證明BC⊥平面ACD，從而可證線線垂直；
（2）利用等體積法建立高的關系式，求解即可.
【小問1詳解】
記，在中，，，
在中，，由余弦定理得，
所以，所以AC⊥BC，
因為平面ACD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，BC平面ABC，
所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以；
【小問2詳解】
由題意，，
因為P為BD的中點，，
所以，即.
19. 某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數量有所增加．某研究小組為調查該地區(qū)某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數據，其中和分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量，計算得，，，．作散點圖發(fā)現，除了明顯偏離比較大的兩個樣本點，外，其它樣本點大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個樣本點，重新抽樣補充了兩個偏離比較小的樣本點，．
（1）求該地區(qū)這種野生動物數量估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）；
（2）建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動物的數量y的線性回歸方程；
（3）經過進一步治理，如果每個地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預測該地區(qū)這種野生動物增加的數量．
參考公式：線性回歸方程，其中，．
【答案】（1）13000
（2）
（3）2000
【解析】
分析】（1）由樣本數據估計總體野生動物數量即可.
（2）根據線性回歸方程的公式求回歸方程即可.
（3）根據（2）的回歸方程計算即可.
【小問1詳解】
樣區(qū)野生動物平均數為，
而地塊數為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為．
【小問2詳解】
將樣本點，替換為，，構成一組新的樣本數據，
計算得，，
，，
所以，，
所求回歸方程為．
【小問3詳解】
由（2）回歸方程可知：每個地塊植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動物數量增加10，
故該地區(qū)這種野生動物增加數量的估計值為：．
20. 如圖，過拋物線的焦點F作直線l交E于A，B兩點，點A，B在x軸上的射影分別為D，C．當AB平行于x軸時，四邊形ABCD的面積為4．
（1）求p的值；
（2）過拋物線上兩點的弦和拋物線弧圍成一個拋物線弓形，古希臘著名數學家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點為頂點作拋物線弓形的內接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內接三角形面積的倍．已知點P在拋物線E上，且E在點P處的切線平行于AB，根據上述理論，從四邊形ABCD中任取一點，求該點位于圖中陰影部分的概率為時直線l的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當AB平行于x軸時，四邊形ABCD為矩形，根據矩形面積公式求出p的值；（2）設，，，，將直線和拋物線聯立得韋達定理，求出，點P到AB的距離，求出，又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，求出，即可求出的值.
【小問1詳解】
當AB平行于x軸時，四邊形ABCD為矩形，，，
所以，解得．
【小問2詳解】
由（1），拋物線，即，，，
設，，，，
則，，
聯立得，，
則，點P到AB的距離，
所以，，
又，所以，
又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，所以，
所以概率，
解得，所以該點位于圖中陰影部分的概率為時直線l的斜率為．
21. 已知函數圖象上三個不同的點，，．
（1）求函數在點處的切線方程；
（2）若，探究線段的中點在第幾象限？并說明理由．
【答案】（1）
（2）第四象限，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據導數幾何意義可求得切線斜率，進而得到切線方程；
（2）設，將問題轉化為證明；根據的形式可構造函數，利用導數說明的單調性后，進一步將問題轉化為證明，采用作差法可證得，從而確定位于第四象限.
【小問1詳解】
，，在點處的切線方程為：.
【小問2詳解】
線段的中點在第四象限，證明如下：
，不妨設點在第四象限，點在第一象限，即，
線段的中點，即．
，只需證：，即，即證即可；
，，
令，則；
當時，，，，單調遞減；
當時，，，，單調遞增；
，，要證，只需證，
又，只需證；
，
，，，，
，即，原問題得證，
線段的中點在第四象限.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數幾何意義的應用、構造函數證明不等關系；本題證明中點位于第四象限的關鍵是通過分析法將問題轉化為證明，通過構造函數的方式將問題進一步轉化為證明函數的不同函數值的大小關系的比較問題.
（二）選考題：共10分.請考生在22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數方程]
22. 在直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（t為參數），曲線的參數方程為（為參數）．
（1）將曲線的參數方程化為普通方程；
（2）已知點，曲線和相交于A，B兩點，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消參即可求解普通方程；
（2）結合條件寫出直線過點的標準參數方程，聯立方程，利用參數的幾何意義求解即可.
【小問1詳解】
由的參數方程得：，
所以曲線的普通方程為：．
【小問2詳解】
由已知得：曲線為過點的直線，
其標準參數方程形式為：（t為參數），
聯立和的方程得：，即，，
設與的兩個交點A，B對應的參數分別為，，所以，，
因為，由t的幾何意義得：．
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知，且，證明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式，靈活運用“1”證明即可.
（2）利用基本不等式配湊消元轉化即可.
【小問1詳解】
由均值不等式可知：，，
∴，
∵，∴，當且僅當時“=”成立．
得證.
【小問2詳解】
∵，
∴，當且僅當時取等號，
，當且僅當時取等號，
，當且僅當時取等號，
∴，
當且僅當時“=”成立，∴．

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