本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.
2．考試結(jié)束，將答題卡交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在復(fù)平面內(nèi)，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（ ）
A. 5B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式求出即可.
【詳解】因為，所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為，
其模為.
故選：B.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集運算求解.
【詳解】解：由，得，則，
所以，又集合，
所以
故選：D
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式計算求解即可.
【詳解】由二倍角正弦公式可得，
故選：A
4. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項即可得答案.
【詳解】對于選項A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項A錯誤；
對于選項B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內(nèi)，故選項B錯誤；
對于選項C，因為，所以直線的方向向量互相垂直，又，則，故選項C正確；
對于選項D，若，，，則或異面，故選項D錯誤.
故選：C.
5. 從A班隨機抽一名學(xué)生是女生的概率是，從B班隨機抽一名學(xué)生是女生的概率是，現(xiàn)從兩個班各隨機抽一名學(xué)生，那么兩名學(xué)生不全是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分從A班選一名女生從B班選一名男生，從A班選一名男生從B班選一名女生和從A班選一名男生從B班選一名男生求解.
【詳解】解：從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；
從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；
從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，
所以兩名學(xué)生不全是女生的概率是，
故選：A
6. 已知是偶函數(shù)，則a=（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義可得.
【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義：
即，
得，
即，
可得，即，
故選：A
7. 如圖，二面角為，點，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運算律可得.
【詳解】由題意：，，，的夾角為，
所以，,，
，
所以
故選：D
8. 已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圓的性質(zhì)，得到，將轉(zhuǎn)換為，進而找到最大值.
【詳解】如圖所示：

因為單位圓O是△ABC的外接圓，，所以，
且，
，
故當(dāng)共線反向時，取到最大值1，
故選：C.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 某廠7月生產(chǎn)A型、B型產(chǎn)品共900件，其中A型400件．按型號進行分層，用分層隨機抽樣的方法，從7月產(chǎn)品中抽取一個容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（ ）
A. 應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為20
B. 應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為25
C. 應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為25
D. 應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為20
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分層抽樣的方法求解.
【詳解】解：應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為，
應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為，
故選：AB
10. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象的一條對稱軸為直線
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到
D. 函數(shù)是奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】驗證是否等于可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式判斷C；根據(jù)誘導(dǎo)公式及函數(shù)的奇偶性判斷D.
【詳解】對于A，,
所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；
對于B，時，，
因為，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，函數(shù)圖象向右平移個單位得到,
所以的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到，故C正確；
對于D，，為偶函數(shù)，故D錯誤.
故選:AC.
11. 在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ∥平面
B. 平面截正方體所得截面為等腰梯形
C.
D. 異面直線MN與所成角的正弦值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，連接，則由三角形中位線定理結(jié)合正方體的性質(zhì)可得∥，然后利用線面平行的判定可得結(jié)論；對于B，連接，可得四邊形為等腰梯形，對于C，由∥，則與所成的角為，連接后分析判斷，對于D，異面直線MN與所成角為，然后在中求解即可.
【詳解】對于A，連接，因為M，N分別是，的中點，所以∥，
因為在正方體中，∥，所以∥，
因為平面，平面，所以∥平面，所以A正確，
對于B，連接，由選項A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，
因為M，N分別是，的中點，所以，
因為，所以，
因為，所以≌，所以，
因為∥，，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，
對于C，連接，因為∥，所以與所成的角為，
因在正方體中，，所以為正三角形，
所以，所以與不垂直，所以C錯誤，
對于D，因為∥，所以異面直線MN與所成角為，
因為平面，平面，所以
在中，，則，
所以，所以D正確，
故選：ABD
12. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，且滿足，，當(dāng)時，．則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 為偶函數(shù)
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 函數(shù)與圖象僅有個不同的交點
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)的對稱性、周期性，判斷A，B，C；作出函數(shù)、的部分圖象判斷D作答.
【詳解】依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)的定義域為，由，可知的圖象關(guān)于對稱，
由，則，的圖象關(guān)于對稱，
又，因此有，即，
于是有，從而得函數(shù)的周期，
又，令可得，所以，
對于A，，故A不正確；
對于B，
，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；
對于C，當(dāng)時，，有，則，
當(dāng)時，，，，所以，
所以當(dāng)時，的取值范圍為，C正確；
對于D，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：

方程的實根，即是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，
觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有個交點，因此方程僅有個不同實數(shù)解，D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. ______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用分數(shù)指冪的運算性質(zhì)求解即可
【詳解】
，
故答案為：5
14. 從1，2，3，4，5，6中任取兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】將所有可能結(jié)果和符合題意結(jié)果一一列出，根據(jù)古典概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)取的兩個數(shù)為，
則所有可能結(jié)果為：，
，共15種情況，
這兩個數(shù)的積為奇數(shù)有：，共3種情況，
則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為，
故答案為：.
15. 已知實數(shù)M，N滿足，則的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得，再解一元二次不等式可得答案.
【詳解】因為實數(shù)a，b滿足，
所以，且，
即，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值.
故答案為：.
16. 如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三棱錐外接球的表面積為可得：外接球半徑，設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)外接球和三棱錐的位置關(guān)系可得：，由，代入可得，由正弦定理即得：，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】如圖所示：
設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，
外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，
則，解得，
在，，
故：，故，
又，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
三棱錐的體積.
【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，同時考查了利用正、余弦定理解三角形，還考查了利用基本不等式求最值，考查了空間想象及計算能力，屬于難題.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．
17. 已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．
（1）求b；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）將代入化簡，再由其為純虛數(shù)可求出；
（2）由求出，再由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，列不等式組可求出實數(shù)a的取值范圍．
【小問1詳解】
，
∵是純虛數(shù)，∴
∴．
【小問2詳解】
復(fù)數(shù)，
∵復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第二象限，
∴解得：．
∴實數(shù)a的取值范圍為．
18. 已知向量，，滿足：．
（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)投影向量的計算公式求解即可；
（2）根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
向量在向量方向上的投影向量為.
小問2詳解】
,
當(dāng)時，，即.
19. 在中，角、、的對邊分別為、、．已知．
（1）求；
（2）若角的平分線與交于點，且，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化簡可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）由結(jié)合三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.
【小問1詳解】
解：因為，
所以，，
整理可得，即，
因為，則，由余弦定理可得，
因為，故.
【小問2詳解】
解：由，即，
即，解得，
所以，的面積為.
20. 某單位組織一場黨史知識競賽活動，隨機抽取100名員工的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示頻率分布表：
（1）求樣本成績的第80百分位數(shù)；
（2）試?yán)帽砀裰袛?shù)據(jù)估算這次黨史知識競賽的平均成績；
（3）已知樣本中成績落在區(qū)間內(nèi)的員工男女比例為，現(xiàn)從該樣本中分數(shù)在的員工中隨機抽出2人，求至少有1人是女員工的概率．
【答案】（1）82.5
（2）71分 （3）
【解析】
【分析】（1）先計算樣本中成績的第80百分位數(shù)在哪一組，進而求解即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的公式估計即可求解；
（3）先計算這次黨史競賽成績落在區(qū)間內(nèi)的員工人數(shù)，進而隨機抽出2人，列舉樣本空間，進而利用古典概型的概率公式求解即可.
【小問1詳解】
樣本中成績在的頻率為，
樣本中成績在的頻率為，
所以樣本中成績的第80百分位數(shù)在，
所以樣本中成績的第80百分位數(shù)為：.
【小問2詳解】
樣本平均值為：（分），
估計這次黨史知識競賽的平均成績?yōu)?1分．
【小問3詳解】
這次黨史競賽成績落在區(qū)間內(nèi)的員工有名，男員工3人，女員工2人，
記“至少有一個女員工被選中”為事件A，
記這5人為1，2，3，4，5號，其中女員工為1，2號，
則樣本空間：
，
其中，
所以至少有1人是女員工的概率為.
21. 如圖，在三棱柱中，，，．

（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）取BC中點為N，利用線面垂直的判斷定理可得平面，性質(zhì)定理可得，再由可得答案；
（2）利用可得，BC⊥平面得，由線面垂直的判斷定理可得平面，得為與平面所成的角，在直角中計算可得答案．
【小問1詳解】
取BC中點為N，連接，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴；
【小問2詳解】
∵，∴，
∴，∴，
由（1）BC⊥平面，平面，所以，
∵，平面，
∴平面，∴為在平面內(nèi)的射影，
∴為與平面所成的角，
在直角中，，∴，
即與平面所成角的正弦值為．

22. 已知函數(shù)有兩個零點．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)，是g（x）的兩個零點，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由可得，然后令，則，再分或，和討論即可；
（2）函數(shù)g（x）有兩個零點，，令，則轉(zhuǎn)化為，為方程的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
解：．
由可得，
令，由可得，
故．
當(dāng)或，即或時，無解，
所以g（x）不存在零點；
當(dāng)，即時，有一解，此時x僅有一解，
所以g（x）只存在一個零點；
當(dāng)，即時，有兩解
，此時在各有一解，故g（x）有兩個零點．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
【小問2詳解】
證明：函數(shù)g（x）有兩個零點，，
令，則，為方程的兩根，
則，，所以，
兩邊平方得，因為，
所以，
所以，
由可得，所以，
則，因為在上單調(diào)遞減，
所以，即
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是通過換元將問題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)余弦函數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)思想和計算能力，屬于難題.
分組
頻率
0.05
0.15
0.25
0.3
0.2
0.05

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