A．eq \f(4,5)B．eq \f(3,5)C．eq \f(2,5)D．eq \f(1,5)
2．(雙曲線離心率)已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線eq \f(x2,m)＋y2＝1的離心率為( )
A．eq \f(\r(30),6)B．eq \r(7)C．eq \f(\r(30),6)或eq \r(7)D．eq \f(5,6)或eq \r(7)
3．(雙曲線漸近線)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq \r(3)，則其漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)xB．y＝±eq \r(3)xC．y＝±eq \f(\r(2),2)xD．y＝±eq \f(\r(3),2)x
4．(橢圓的離心率)設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點(diǎn)，若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為( )
A．eq \r(2)－1B．eq \f(\r(5)－1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \r(2)＋1
5．[2023·江西省七校聯(lián)考(一)](雙曲線的離心率)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋y2－2x＋eq \f(1,5)＝0相切，則雙曲線C的離心率為( )
A．eq \f(\r(5),2)B．eq \r(2)C．eq \r(5)D．eq \f(\r(17),2)
6．(橢圓性質(zhì))已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，延長PF2交橢圓于點(diǎn)Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，則橢圓的離心率為( )
A．2－eq \r(2)B．eq \r(3)－eq \r(2)C．eq \r(2)－1D．eq \r(6)－eq \r(3)
7．(雙曲線離心率的取值范圍)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1，eq \f(\r(17),3)] B．[eq \f(\r(17),3)，＋∞) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,9)，＋∞))
8．[2023·石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(一)](雙曲線離心率)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分線經(jīng)過線段OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( )
A．eq \r(7)B．eq \f(\r(7),2)C．eq \r(14)D．eq \f(\r(14),2)
9．[2023·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)調(diào)研](橢圓離心率的取值范圍)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過右焦點(diǎn)F，若∠FAB＝α，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，則此橢圓離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3)))C．(0，eq \f(\r(2),2)] D．[eq \f(\r(6),3)，1)
10．[2023·昆明市“三診一?！苯虒W(xué)質(zhì)量檢測](橢圓離心率)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓上，若eq \(MF1,\s\up6(→))＝3eq \(NF2,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(6),3)
11．[2023·福建龍巖調(diào)研](雙曲線離心率的取值范圍)設(shè)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2c，過F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，點(diǎn)Q坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(3a,2)))，且滿足|F2Q|>|F2A|，若雙曲線C的右支上存在點(diǎn)P使得|PF1|＋|PQ|0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作x軸的垂線l交兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，l與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，且mn＝eq \f(2,9)，則該雙曲線的離心率為( )
A．eq \f(3\r(2),2)B．eq \f(3\r(5),5)C．eq \f(3\r(2),4)D．eq \f(8,9)
[答題區(qū)]
13.(雙曲線離心率)已知M為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上一點(diǎn)，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，線段FA的垂直平分線過點(diǎn)M，∠MFA＝60°，則C的離心率為________．
14．(橢圓離心率)已知點(diǎn)P(m，4)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為eq \f(3,2)，則此橢圓的離心率為________．
15．[2023·長春市高三質(zhì)量監(jiān)測(三)](雙曲線離心率)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且tan∠PF2O＝eq \f(1,3)，則雙曲線的離心率為________．
16．(橢圓、雙曲線離心率綜合)已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，雙曲線N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
熱點(diǎn)（十一） 離心率
1．B 由題意得2b＝a＋c，所以4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，3a2－2ac－5c2＝0，兩邊同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因?yàn)?0），如圖所示，因?yàn)椤鱌F1F2為直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq \r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，所以橢圓E的離心率e＝eq \r(2)－1.故選A.
5．C 不妨取雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，化圓x2＋y2－2x＋eq \f(1,5)＝0的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x－1）2＋y2＝eq \f(4,5)，則圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為eq \f(2\r(5),5).由題意可得eq \f(|b|,\r(a2＋b2))＝eq \f(2\r(5),5)，即eq \f(b2,a2＋b2)＝eq \f(4,5)，即eq \f(c2－a2,c2)＝eq \f(4,5)，所以c2＝5a2，所以雙曲線C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，故選C.
6．D 設(shè)|PF1|＝|PQ|＝m（m>0），則|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由題意知△PQF1為等腰直角三角形，所以|QF1|＝eq \r(2)|PF1|，故m＝4a－2eq \r(2)a.因?yàn)閨PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以（4a－2eq \r(2)a）2＋[2a－（4a－2eq \r(2)a）]2＝4c2，整理得4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝36－24eq \r(2)，即eq \f(c,a)＝eq \r(9－6\r(2))＝eq \r(6)－eq \r(3)，故選D.
7．A ∵|F1F2|＝2|OP|，∴F1P⊥F2P.
記|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，則x2＋y2＝（2c）2＝4c2.
又x－y＝2a，∴2xy＝4c2－4a2，
∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，
∴x＋y＝2eq \r(2c2－a2).
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2a，,x＋y＝2\r(2c2－a2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2c2－a2)＋a，,y＝\r(2c2－a2)－a.))
∵tan∠PF2F1＝eq \f(x,y)≥4，
∴eq \r(2c2－a2)＋a≥4（eq \r(2c2－a2)－a），解得e2≤eq \f(17,9).
又e>1，∴11，所以e＝eq \f(\r(7),2)，故選B.
9．B
設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF，BF′，如圖所示，則四邊形AFBF′是矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，|FA|＝2c·csα，|FB|＝2c·sinα，由橢圓的定義可知，|FA|＋|AF′|＝|FA|＋|FB|＝2a，即2c·csα＋2c·sinα＝2a.
所以離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,sinα＋csα)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))).
因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，所以eq \f(π,4)＋α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,12)))，eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，所以e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3))).故選B.
10．C 不妨設(shè)M（0，b），F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），N（x，y），因?yàn)閑q \(MF1,\s\up6(→))＝3eq \(NF2,\s\up6(→))，所以（－c，－b）＝3（c－x，－y），
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)c,y＝\f(b,3)))，代入橢圓方程得eq \f(16,9)e2＋eq \f(1,9)＝1，得e＝eq \f(\r(2),2)，故選C.
11．C 將x＝c代入雙曲線的方程可得y＝±beq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \f(b2,a)，由|F2Q|>|F2A|，可得eq \f(3a,2)>eq \f(b2,a)，則3a2>2b2＝2（c2－a2），
所以離心率e＝eq \f(c,a)1，所以e＝4.
14．答案：eq \f(3,5)
解析：因?yàn)椤鱌F1F2的內(nèi)切圓的半徑為eq \f(3,2)，所以△PF1F2的面積S＝eq \f(1,2)（|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|）r，其中r為△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑，即S＝（a＋c）r＝eq \f(3,2)（a＋c），又△PF1F2的面積S＝eq \f(1,2)·|F1F2|·4＝4c，所以eq \f(3,2)（a＋c）＝4c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5).
15．答案：eq \r(10)
解析：由題意可知，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長，在Rt△OPF2中，|PF2|＝b，|OF2|＝c，則|OP|＝a，又tan∠PF2O＝eq \f(|OP|,|PF2|)＝eq \f(a,b)＝eq \f(1,3)，所以e＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(10).
16．答案：eq \r(3)－1 2
解析：方法一 如圖，∵雙曲線N的漸近線方程為y＝±eq \f(nx,m)，∴eq \f(n,m)＝tan60°＝eq \r(3)，
∴雙曲線N的離心率e1滿足e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝1＋eq \f(n2,m2)＝4，∴e1＝2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq \f(a2b2,3a2＋b2).
設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，由正六邊形的性質(zhì)得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴eq \f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－eq \f(6b2,a2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))eq \s\up12(2)＝0，解得eq \f(b2,a2)＝2eq \r(3)－3.
∴橢圓M的離心率e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝1－eq \f(b2,a2)＝4－2eq \r(3).
∴e2＝eq \r(3)－1.
方法二 ∵雙曲線N的漸近線方程為y＝±eq \f(n,m)x，
則eq \f(n,m)＝tan60°＝eq \r(3)，
又c1＝eq \r(m2＋n2)＝2m，
∴雙曲線N的離心率為eq \f(c1,m)＝2.
如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點(diǎn)，設(shè)正六邊形邊長為1，則|FC|＝2c2＝2，即c2＝1，|EF|＝1，又△EFC為直角三角形，|EC|＝eq \r(|FC|2－|EF|2)＝eq \r(3).
又E為橢圓M上一點(diǎn)，則|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq \r(3)＝2a，a＝eq \f(1＋\r(3),2).
∴橢圓M的離心率為eq \f(c2,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.題號(hào)
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