統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)九球文（附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．4eq \r(3)πB．8eq \r(3)πC．12eq \r(3)πD．6eq \r(3)π
2．(四棱柱外接球體積)已知底面邊長為1，側(cè)棱長為eq \r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為( )
A．eq \f(32π,3)B．4πC．2πD．eq \f(4π,3)
3．[2023·山西臨汾摸底](三棱柱外接球)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E為AB1上任意一點(diǎn)，BC1⊥CE，則三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為( )
A．3eq \r(3)πB．3πC．2eq \r(2)πD．2π
4．(球與三視圖)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )
A．eq \f(16π,3)B．4πC．3D．以上都不對
5.
(球體＋體積)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，現(xiàn)將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為( )
A．eq \f(500π,3)cm3B．eq \f(866π,3)cm3C．eq \f(1372π,3)cm3D．eq \f(2048π,3)cm3
6．(三視圖＋球)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球的表面積為( )
A．eq \f(32\r(3)π,3)B．32πC．36πD．48π
7．(圓錐＋外接球的表面積)已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(4,9)C．eq \f(2\r(6),9)D．eq \f(8,27)
8．(三棱錐外接球＋最值)在三棱錐P-ABC中，AB＝2，AC⊥BC，若該三棱錐的體積為eq \f(2,3)，則其外接球表面積的最小值為( )
A．5πB．eq \f(49π,22)C．eq \f(64π,9)D．eq \f(25π,4)
9．[2023·四川南充市高三模擬]在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，若∠A＝60°，BC＝eq \r(3)，PA＝2，則此三棱錐的外接球的體積為( )
A．8πB．4eq \r(3)πC．eq \f(4\r(2),3)πD．eq \f(8\r(2),3)π
10．(三棱錐＋球)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，A1B1的中點(diǎn)，則三棱錐F-ECD的外接球的體積為( )
A．eq \f(41,4)πB．eq \f(4,3)πC．eq \f(41\r(41),64)πD．eq \f(41\r(41),48)π
11．(正方體內(nèi)切球＋體積)設(shè)球O是正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，若平面ACD1截球O所得的截面面積為6π，則球O的半徑為( )
A．eq \f(3,2)B．3C．eq \f(\r(3),2)D．eq \r(3)
12．[2023·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測](三棱錐外接球＋表面積)已知三棱錐P-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點(diǎn)，且AD＝5DB.過點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為( )
A．128πB．132πC．144πD．156π
[答題區(qū)]
13.[2023·昆明市“三診一?！苯虒W(xué)質(zhì)量檢測](三棱臺(tái)外接球＋表面積)由正三棱錐P-ABC截得的三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的高為eq \r(3)，AB＝6，A1B1＝3.若三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為________．
14．(三棱柱＋外接球＋內(nèi)切球)已知底面邊長為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)均在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，則球O1與球O2的半徑之比為________，表面積之比為________．
15．(四面體外接球＋半徑)在四面體ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，它的外接球半徑R＝________．
16．(三棱錐＋外接球＋最值)在三棱錐A-BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜邊BD上的高為1，三棱錐A-BCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐A-BCD體積的最大值為________．
熱點(diǎn)（九）球
1．A 由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對角線為其外接球的直徑，所以其外接球的半徑R＝eq \f(\r(22＋22＋22),2)＝eq \r(3)，則外接球的體積V＝eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.故選A.
2．D 因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對角線的一半，所以半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(12＋12＋（\r(2)）2)＝1，所以V球＝eq \f(4π,3)×13＝eq \f(4π,3)，故選D.
3．B 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以CC1⊥AC.
因?yàn)镋為AB1上任意一點(diǎn)，BC1⊥CE，所以BC1⊥AC.
又CC1∩BC1＝C1，所以AC⊥平面BB1C1C.
又AC＝BC＝1，所以直三棱柱的底面為等腰直角三角形．
又AA1＝1，故可構(gòu)造一個(gè)正方體，即把直三棱柱ABC-A1B1C1放入正方體中，則三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半徑R＝eq \f(1,2)×eq \r(12＋12＋12)＝eq \f(\r(3),2)，所以三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝3π.故選B.
4．A 由題意可知該幾何體是軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為eq \r(3)，
∴外接球的半徑r＝eq \f(1,cs30°)＝eq \f(2\r(3),3)，
∴外接球的表面積為4×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,3)π，故選A.
5．A 設(shè)球半徑為Rcm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為（R－2）cm，所以由42＋（R－2）2＝R2，得R＝5，
所以球的體積V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×53＝eq \f(500π,3)cm3，故選A.
6．D 由三視圖可知該四面體為PBCD，如圖，將它補(bǔ)成棱長為4的正方體，則正方體的體對角線PC就是該四面體的外接球的直徑，所以外接球的直徑2R＝eq \r(3×42)，所以R＝2eq \r(3)，則該四面體的外接球的表面積為4πR2＝4×π×（2eq \r(3)）2＝48π，故選D.
7．B 設(shè)圓錐底面圓的半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內(nèi)切圓，如圖所示，所以r＝eq \f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)R))eq \s\up12(2)＝eq \f(4π,3)R2，S圓錐＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球與圓錐的表面積之比eq \f(S球,S圓錐)＝eq \f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq \f(4,9)，故選B.
8．D
如圖，由于AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心O1是AB的中點(diǎn)，因此三棱錐P-ABC外接球的球心O在過O1且與底面ABC垂直的直線上，設(shè)AC＝b，BC＝a，三棱錐的高為h，則有eq \f(1,3)·eq \f(1,2)abh＝eq \f(2,3)，所以abh＝4.設(shè)過點(diǎn)P且與底面ABC平行的平面為α，直線OO1與平面α交于點(diǎn)M，連接PM，設(shè)外接球半徑為R，OO1＝x，連接OA，OP，求外接球表面積的最小值時(shí)，球心O應(yīng)在底面ABC的上方，O1A＝O1B＝1，所以O(shè)A2＝OP2＝R2＝1＋x2＝（h－x）2＋PM2，因此x＝eq \f(h2＋PM2－1,2h).要使R最小，應(yīng)使x最小，因此PM應(yīng)最?。?dāng)P與M重合時(shí)，PM＝0，此時(shí)x＝eq \f(h2－1,2h)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h－\f(1,h)))，易知y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,t)))在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．由于abh＝4，所以h＝eq \f(4,ab)，因?yàn)閍2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，于是h＝eq \f(4,ab)≥2，因此x的最小值為eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝eq \f(3,4)，R2的最小值為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(25,16)，所以外接球的表面積的最小值為4π·eq \f(25,16)＝eq \f(25π,4).故選D.
9．D
設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，三棱錐的外接球半徑為R，由題意，根據(jù)正弦定理可得2r＝eq \f(BC,sinA)＝eq \f(\r(3),sin60°)＝2，所以r＝1，記外接球的球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，根據(jù)球的性質(zhì)，可得OO1⊥平面ABC，則因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以O(shè)O1∥PA；又OA＝OP＝R，所以O(shè)O1＝eq \f(1,2)PA＝1，因此R＝eq \r(r2＋OO12)＝eq \r(2)，所以此三棱錐的外接球的體積為eq \f(4π,3)R3＝eq \f(8\r(2),3)π.故選D.
10．D 如圖所示，連接FC1，F(xiàn)D1.
三棱錐F-ECD的外接球?yàn)槿庵鵉C1D1-ECD的外接球．
在三角形ECD中，取CD的中點(diǎn)H，連接EH，則EH垂直平分CD，所以△ECD的外心在EH上，設(shè)△ECD的外心為點(diǎn)M.
同理可得△FC1D1的外心N.
連接MN，則三棱柱外接球的球心為MN的中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)O.
連接CM，易得EM2＝CM2＝CH2＋MH2.
又MH＝2－EM，CH＝1，所以EM＝CM＝eq \f(5,4)，
連接OC，則OC2＝MO2＋CM2＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \s\up12(2)，解得OC＝eq \f(\r(41),4)，即三棱錐F-ECD的外接球的半徑R＝eq \f(\r(41),4).
所以三棱錐F-ECD的外接球的體積V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(41),4)))eq \s\up12(3)＝eq \f(41\r(41),48)π.故選D.
11．B
如圖，易知直線B1D過球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨設(shè)垂足為點(diǎn)M，正方體棱長為a，則球半徑R＝eq \f(a,2)，易知DM＝eq \f(1,3)DB1，所以O(shè)M＝eq \f(1,6)DB1＝eq \f(\r(3),6)a，所以截面圓半徑r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2)－OM2)＝eq \f(\r(6),6)a，由截面圓面積S＝πr2＝6π，得r＝eq \f(\r(6),6)a＝eq \r(6)，即a＝6，所以球O的半徑R＝eq \f(a,2)＝3，故選B.
12．B
因?yàn)锳B⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10，設(shè)平面ABC截球O所得的截面圓的圓心為O′，則O′為BC的中點(diǎn)，如圖，連接O′A，O′D，則O′A＝O′B＝O′C＝eq \f(1,2)BC＝5，連接OA，OD，OO′，則OO′⊥平面ABC，取AB的中點(diǎn)E，連接O′E，則O′E⊥AB且O′E＝4，又AD＝5BD，AB＝6，所以BD＝eq \f(1,6)AB＝1，DE＝BE－BD＝eq \f(1,2)AB－BD＝3－1＝2，在Rt△O′DE中，O′D＝eq \r(O′E2＋DE2)＝2eq \r(5)，設(shè)OO′＝x，則OD2＝O′D2＋OO′2＝20＋x2，設(shè)球O的半徑為R，則R2＝OA2＝O′A2＋x2＝25＋x2，又與OD垂直的截面圓的半徑r＝eq \r(R2－OD2)＝eq \r(25＋x2－（20＋x2）)＝eq \r(5)，所以所得截面圓面積的最小值為πr2＝5π，截面圓的面積的最大值為πR2，由題意可知πR2－πr2＝πR2－5π＝28π，解得R2＝33，所以球O的表面積S＝4πR2＝132π.故選B.
13．答案：60π
解析：如圖，易知三棱臺(tái)的上、下底面均是正三角形，球心在三棱臺(tái)上、下底面中心的連線段O1O2所在的直線上，因?yàn)锳B＝6，A1B1＝3，所以AO1＝2eq \r(3)，A1O2＝eq \r(3).
在Rt△OAO1和Rt△OA1O2中，球的半徑R＝OA＝eq \r(AO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋OO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )，R＝OA1＝eq \r(A1O eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋OO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )，驗(yàn)證知O在O2O1的延長線上，設(shè)OO1＝x，則OO2＝x＋eq \r(3)，所以x2＋（2eq \r(3)）2＝（x＋eq \r(3)）2＋（eq \r(3)）2，解得x＝eq \r(3)，所以R＝OA＝eq \r(AO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋OO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝eq \r(15)，所以S球＝4πR2＝60π.
14．答案：eq \r(5)∶1 5∶1
解析：
設(shè)球O1、球O2的半徑分別為R，r，由于正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，所以球心O1在上、下底面中心連線段的中點(diǎn)處，又球O2與正三棱柱的5個(gè)面都相切，所以點(diǎn)O2與O1重合．如圖，取上、下底面的中心分別為F，E，BC的中點(diǎn)為D，EF的中點(diǎn)為O1，連接EF，AD，O1A，則E在AD上，O1A＝R，O1E＝r，在△O1EA中，AE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，O1E＝r＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),6)a，由于O1A2＝O1E2＋AE2，所以R2＝eq \f(5,12)a2，r2＝eq \f(1,12)a2，則球O1與球O2的半徑之比為eq \r(5)∶1，所以球O1與球O2的表面積之比為eq \f(4πR2,4πr2)＝eq \f(R2,r2)＝eq \f(\f(5,12)a2,\f(1,12)a2)＝5∶1.
15．答案：eq \f(\r(15),6)
解析：當(dāng)平面ADC與平面BCD垂直時(shí)，四面體ABCD的體積最大，因?yàn)锳D＝AC＝1，
所以可設(shè)等腰三角形ACD的底邊CD＝2x，高為h，則x2＋h2＝1，
此時(shí)四面體的體積V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2x×h2＝eq \f(1,3)x（1－x2），則V′＝eq \f(1,3)－x2，令V′＝0，得x＝eq \f(\r(3),3)，從而h＝eq \f(\r(6),3)，
則CD＝AB＝eq \f(2\r(3),3)，故可將四面體ABCD放入長、寬、高分別為a，b，c的長方體中，如圖，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,b2＋c2＝1，,a2＋c2＝\f(4,3)))解得a2＝c2＝eq \f(2,3)，b2＝eq \f(1,3)，則長方體的體對角線即四面體ABCD的外接球直徑，（2R）2＝a2＋b2＋c2＝eq \f(5,3)，R＝eq \f(\r(15),6).
16．答案：eq \f(4,3)
解析：
如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H.由外接球的表面積為16π，可得外接球的半徑為2，則AB＝4.因?yàn)锳B為外接球的直徑，
所以∠BDA＝90°，∠BCA＝90°，即BD⊥AD，BC⊥CA.
又BC⊥CD，CA∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD，則BC⊥AD.
又BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD，
因?yàn)锳D?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CH⊥平面ABD.
設(shè)AD＝x（0

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