第四章 幾何圖形初步考點(diǎn)訓(xùn)練 1．如圖，C、D是線(xiàn)段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線(xiàn)段AD、BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD．其中正確的結(jié)論是(??? ) A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是線(xiàn)段AD，BC的中點(diǎn)，∴AM=MD，CN=NB. ①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD. ∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD. ②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN. ∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN， ∴MC=DN，∴AM=BN. ③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)； ④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN. 綜上可知，①②③④均正確 故答案為：D 2．已知，點(diǎn)C在直線(xiàn) AB 上， AC?a ， BC?b ，且 a≠b ，點(diǎn) M是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，則線(xiàn)段 MC的長(zhǎng)為(????) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【詳解】由于點(diǎn)B的位置不能確定，故應(yīng)分四種情況討論： ①當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1． ∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==． ②當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2． ∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b． ∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==． ③當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖3． ∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==． ④當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的方向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖4． ∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==． 綜上所述：MC的長(zhǎng)為或(a＞b)或(a＜b)，即MC的長(zhǎng)為或． 故選D． 3．如圖，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，，平分，平分， 平分，下列結(jié)論： ①；??②； ③；??④ 其中正確的個(gè)數(shù)有(???) A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【答案】C 【詳解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正確； ∵， ∵平分，平分， ∴, ∴，故②正確； ∵， ∴， ∴，故③正確； ∵不能證明，故④錯(cuò)誤； ∴正確的選項(xiàng)有3個(gè)； 故選：C. 4．如圖，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線(xiàn)也以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒()，當(dāng)平分時(shí)，的值為(　 ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【詳解】解：分兩種情況： ①如圖平分時(shí)，， 即， 解得； ②如圖平分時(shí)，， 即， 解得． 綜上所述，當(dāng)平分時(shí)，的值為2.5或32.5． 故選：． 5．在銳角內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線(xiàn)，第1種是將分成10等份；第2種是將分成12等份；第3種是將分成15等份，所有這些射線(xiàn)連同?可組成的角的個(gè)數(shù)是(????) A．595 B．406 C．35 D．666 【答案】B 【詳解】設(shè)銳角，第1種是將分成10等份；中間由9條射線(xiàn)，每個(gè)小角為， 第2種是將分成12等份；中間由11條射線(xiàn)，每個(gè)小角為， 第3種是將分成15等份，中間由14條射線(xiàn)，每個(gè)小角為， 設(shè)第1種, 第2種，第3種中相等的角的射線(xiàn)重合為1條， 第一種第m倍小角為，第二種n倍小角，與第三種p倍小角相同 則， 先看三種分法中同時(shí)重合情況除OA，OB外沒(méi)有重合的， 再看每?jī)煞N分法重合情況 第1種, 第2種, ，第一種第5條與第二種第6條重合，共重合1條， 第1種,第3種，，m=2，4，6，8,與P=3，6，9，12重合，共重合4條， 第2種,第3種, ,n=4，8與p=5，10重合，共重合2條， 在中一共有射線(xiàn)數(shù)=2+9+11+14-1-2-4=29條射線(xiàn)， 29條射線(xiàn)分成的所有角=1+2+3+…+28=個(gè)角． 故選擇：B． 6．如圖，直線(xiàn)相交于點(diǎn)，平分，射線(xiàn)將分成了角度數(shù)之比為的兩個(gè)角，則的大小為( ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【詳解】解：設(shè)∠DOE=x°，射線(xiàn)將分成了角度數(shù)之比為的兩個(gè)角， 當(dāng)∠DOE:∠BOD=2:1時(shí)，∠BOD=x°，=x°， ∵平分，∴=x°， ∵∠COD=180°， ∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°； 當(dāng)∠BOD: ∠DOE =2:1時(shí)，∠BOD=2x°，=2x°， 同理， =2x°， 2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°； 故選：C． 7．如圖，點(diǎn)O是鐘面的中心，射線(xiàn)正好落在3：00時(shí)針的位置．當(dāng)時(shí)鐘從2：00走到3：00，則經(jīng)過(guò)___________分鐘，時(shí)針，分針，與所在的三條射線(xiàn)中，其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)所夾角的角平分線(xiàn)． 【答案】6或 【詳解】設(shè)時(shí)針為OB，分針為OA． 當(dāng)時(shí)針為OB為角平分線(xiàn)時(shí)，如圖1所示： 設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，OB為角平分線(xiàn)，則∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依題意得： 60-6x+＝30－ 解得x=6； 當(dāng)時(shí)針為OC為角平分線(xiàn)時(shí)，如圖2所示： 設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，OC為角平分線(xiàn)，則∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，依題意得： 6x-90＝30－ 解得x=； 綜合上述可得：經(jīng)過(guò)6分鐘或分鐘時(shí)，時(shí)針，分針，與所在的三條射線(xiàn)中，其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)所夾角的角平分線(xiàn)． 故答案為：6或． 8．如圖，直線(xiàn)AB⊥OC于點(diǎn)O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形E′OF′，同時(shí)直線(xiàn)PQ也以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至P′Q′，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒(0≤m≤20)，當(dāng)直線(xiàn)P′Q′平分∠E′OF′時(shí)，則∠COP′＝___． 【答案】或 【詳解】平分， ， 以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以每秒的速度點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， ①如圖1中，當(dāng)平分時(shí)， 解得 ， ②如圖2，當(dāng)平分時(shí)， 解得 故答案為：或 9．我們知道在9點(diǎn)整時(shí)，時(shí)鐘的分針與時(shí)針恰好互相垂直，那么從9點(diǎn)開(kāi)始，到10點(diǎn)之前，經(jīng)過(guò)__________分鐘后，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角為105°． 【答案】或30 【詳解】解：分針的旋轉(zhuǎn)速度是度/分鐘，時(shí)針的旋轉(zhuǎn)速度是0.5度/分鐘，設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘后，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角為105°， 分兩種情況： 如圖： 此時(shí)，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x， 則∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°， 解得x=； 如圖： 此時(shí)，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x， 則∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，解得x=30； 綜上，經(jīng)過(guò)或30分鐘后，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角為105°，故答案為：或30 10．如圖，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝34°，∠D＝42°，則∠M＝_____． 【答案】38° 【詳解】如下圖，設(shè)∠MCD=x°，∠MAD=y° ∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD ∴∠BAF=y°，∠MCF=x° ∵∠B=34°，∠D=42° ∴在△ABF中，∠BFA=180°－34°－y°=146°－y° 在△CED中，∠CED=180°－42°－x°=138°－x° ∴∠CFM=∠AFB=146°－y°，∠AEM=∠CED=138°－x° ∴在△AME中，y°+∠M+138°－x°=180° 在△FMC中，x°+146°－y°+∠M=180° 約掉x、y得，∠M=38° 故答案為：38° 11．如圖所示：已知，，現(xiàn)有點(diǎn)和點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)速度為，點(diǎn)速度為，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)后掉頭向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在向的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)椋?，兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)____后的距離為． 【答案】0.9或1.1或或． 【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后PQ距離為0.5cm， ①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)，如圖1所示： 由題意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s， ②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)，如圖2所示： 由題意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s， ③Q到達(dá)A所用時(shí)間為5÷3=s， 當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)，如圖3所示： 由題意得：，解得：t=4.5s，但此時(shí)AQ= cm>5cm，不符合題意； ④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過(guò)B點(diǎn)時(shí)，如圖4所示： 此時(shí)Q從B-A-B用時(shí)為：s， 由題意得：，解得：s； ⑤當(dāng)Q超過(guò)P時(shí)，如圖5所示： 由題意得：， 解得：s， 綜上所述，當(dāng)P、Q相距0.5cm時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為0.9s或1.1s或或， 故答案為：0.9或1.1或或． 12．如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足，若點(diǎn)M為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)______． 【答案】1或 【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m 則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t， 由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a)， 即：b=-4a， ①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示： 由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m，即：m=b-a； ∴ ②若點(diǎn)M在線(xiàn)段BO上時(shí)，如圖2所示： 由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m，即：m=a+b； ∴ ③若點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上時(shí)，如圖3所示： 由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m，即： ∵此時(shí)m＜0，a＜0， ∴此種情況不符合題意舍去； ④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示： 由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m，即：m=b-a=-5a； 而m＜0，b-a＞0， 因此，不符合題意舍去， 綜上所述，的值為1或． 13．已知：如圖1，，． (1)求的度數(shù)； (2)如圖2，若射線(xiàn)從開(kāi)始繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線(xiàn)從開(kāi)始繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線(xiàn)到達(dá)后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，以相同速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線(xiàn)到達(dá)時(shí)，射線(xiàn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，試求的值； (3)如圖3，若射線(xiàn)從開(kāi)始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作平分，平分，試求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)是多少？(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果) 【答案】(1)120°；(2)5或10或12.5或13.75；(3)60°或120° 【解析】解：∠BOC=∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，∴∠AOB=∠AOC， ∵∠AOB=30°，∴∠AOC=120°； (2)由(1)知，∠AOC=120°，∠BOC=90°， ①OP逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤12時(shí)， 由OP，OQ的運(yùn)動(dòng)可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t， OP，OQ相遇前，如圖2(1)，∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5， OP，OQ相遇后，如圖2(2)，∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10； ②OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t， OP，OQ相遇前，如圖(3)，∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5， OP，OQ相遇后，如圖(4)，∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75， 綜上，當(dāng)t的值為5，10，12.5或13.75時(shí)，∠POQ=10°． (3)由(1)知∠AOC=120°，根據(jù)射線(xiàn)OP的運(yùn)動(dòng)，需要分四種情況， ①當(dāng)射線(xiàn)OP與OA重合前，如圖3(1)， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=∠AOC=60°； ②當(dāng)射線(xiàn)OP與OA重合后，∠AOP=180°前，如圖3(2)， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP， ∴∠MON=∠POM-∠PON=∠AOP-∠COP=∠AOC=60°； ③∠CON=180°前，如圖3(3)， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP， ∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=(360°-∠AOC)=120°； ④OP與OQ重合前，如圖3(4)， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP， ∴∠MON=∠PON-∠POM=∠COP+∠AOP=∠AOC=60°； 綜上，∠MON的度數(shù)為60°或120°． 14．已知∠AOB=120°，∠COD=60°． (1)如圖1，當(dāng)∠COD在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，若∠AOD=95°，求∠BOC的度數(shù)； (2)如圖2，當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部，OD在∠AOB的外部時(shí)，試探索∠AOD與∠BOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)如圖3，當(dāng)∠COD在∠AOB的外部時(shí)，分別在∠AOC內(nèi)部和∠BOD內(nèi)部畫(huà)射線(xiàn)OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度數(shù)． 【答案】(1)85° (2)與互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析 (3)當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，或 【解析】(1)解：∵，，∴， ∵，∴； (2)與互補(bǔ)；理由如下： ∵，， ∴，∴與互補(bǔ)． (3)解：設(shè)， ①當(dāng)時(shí)，如圖3， ，， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， ∴； ②當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上， ??則，，， ??∴，， 此時(shí)與或重合， 當(dāng)與重合時(shí)，， 當(dāng)與重合時(shí)，， ③當(dāng)時(shí)，如圖， ，， ∵， ， ， ∴； ④當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上， 則，， ∴，此時(shí)與或重合， 當(dāng)與重合時(shí)，， 當(dāng)與重合時(shí)，； ⑤當(dāng)時(shí)，如圖，，， ∵，， ，∴， 綜上：當(dāng)或時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)或時(shí)，或． 15．如圖1，點(diǎn)O在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)O引一條射線(xiàn)，使，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊在射線(xiàn)上，另一邊在直線(xiàn)的下方． 【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒． (1)的度數(shù)是___________，圖1中與它互補(bǔ)的角是___________． (2)三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可表示為_(kāi)__________(用含t的代數(shù)式表示)：當(dāng)___________時(shí)，． 【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線(xiàn)上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒． (3)當(dāng)t為何值時(shí)，，并說(shuō)明理由？ (4)試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得與中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)，；(2)，秒或秒；(3)4秒或22秒，理由見(jiàn)解析；(4)存在，秒、秒、秒 【詳解】(1)∵，， ∴， 與互補(bǔ)的角是， 故答案是：，； (2)旋轉(zhuǎn)的速度是每秒， ∴旋轉(zhuǎn)的度數(shù)表示為， 當(dāng)時(shí)， ①， ∴， ，解得， ②旋轉(zhuǎn)角為， ，解得， 故答案是：，或； (3)①如圖①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，度，度， ∵， ∴， 由題意得，解得， ②如圖②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，三角尺旋轉(zhuǎn)的角度為度，直尺旋轉(zhuǎn)的角度為度， ∵， ∴， 由題意得，解得， 綜上所述，當(dāng)秒或22秒時(shí)，； (4)①當(dāng)在左側(cè)時(shí)， (ⅰ)，如圖③， ，解得； (ⅱ)，如圖④， ，解得； ②當(dāng)在右側(cè)時(shí)， (ⅰ)，如圖⑤， ，解得； (ⅱ)，因?yàn)?，所以不存在?∴綜上所述，當(dāng)秒、秒、秒時(shí)兩個(gè)角其中一個(gè)是另一個(gè)的兩倍．

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