一、單選題
1．已知，，，則（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先求，再求的值.
【詳解】因?yàn)榛?，所以?
故選：A.
2．已知，則“”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義就能行判斷即可.
【詳解】當(dāng)“x＋y≤1”時(shí)，如x＝－4，y＝1，滿足x＋y≤1，但不滿足且，
當(dāng)且時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)有“x＋y≤1”，
故“x＋y≤1”是“且”的必要不充分條件．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判斷，屬基礎(chǔ)題.
3．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P(－2，－1)，則cs(2α＋π)＝
A．－B．－
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的值，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得運(yùn)算結(jié)果.
【詳解】由于角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，故.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式.三角函數(shù)的定義是.誘導(dǎo)公式的口訣是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.余弦的二倍角公式有三個(gè)，在解題時(shí)要選擇合適的公式來(lái)解決，可以減少走彎路.
4．已知，；，.那么的取值范圍分別為（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】由全稱量詞和特稱量詞含義，可知與最大值與最小值的關(guān)系，由此得到結(jié)果.
【詳解】由，得：，即；
由，得：，即.
故選：C.
5．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，，則（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求，再求即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且，
所以，即，
故.
故選：D.
6．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，將f (x)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象
A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【答案】A
【分析】由周期公式求出周期，利用三角函數(shù)的平移變換求得，由,
可得，從而可得結(jié)果.
【詳解】的最小正周期為，
向右平移個(gè)單位，
可得，
由可得，
所以關(guān)于對(duì)稱.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對(duì)稱軸方程；由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo). 屬于中檔題.
7．已知函數(shù)在處取得極值為10，則（ ）
A．4或－3B．4或－11C．4D．－3
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)在處有極值10，可知（1）和（1），可求出.
【詳解】由，得，
函數(shù)在處取得極值10，
（1），（1），
，
或，
當(dāng) 時(shí)，，在處不存在極值；
當(dāng)時(shí)，
，，，，，符合題意.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
8．已知函數(shù)，則
A．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增
B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增
D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
【答案】C
【分析】先利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用特殊值對(duì)單調(diào)性進(jìn)行判斷，由此得出正確選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為偶函數(shù).，，，故，所以本小題選C.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
9．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出給定命題為真命題的a的取值集合，再確定A，B，C，D各選項(xiàng)所對(duì)集合哪些真包含于這個(gè)集合而得解.
【詳解】命題“"等價(jià)于，即命題“”為真命題所對(duì)集合為，
所求的一個(gè)充分不必要條件的選項(xiàng)所對(duì)的集合真包含于，顯然只有?，{4}?,
所以選項(xiàng)AC不符合要求，選項(xiàng)BD正確.
故選：BD
10．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
對(duì)于B，，所以，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
11．已知函數(shù)（ ）
A．為的周期
B．的最小值為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．對(duì)于任意，函數(shù)都滿足
【答案】ACD
【分析】A.由函數(shù)周期定義判斷是否滿足；B在一個(gè)周期內(nèi)，分和兩種情況討論函數(shù)，并判斷函數(shù)的最小值；C.根據(jù)定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；D. 根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷是否滿足.
【詳解】A.，即，
所以為的周期，故A正確；
B. 由A可知函數(shù)的周期是，所以只需考查一個(gè)周期函數(shù)的值域，不妨設(shè).
當(dāng)時(shí)，，，
，即，
當(dāng)時(shí)，，，
，即，所以時(shí)，的最小值為, 故B不正確；
C.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，故C正確；
D. ，，
所以，故D正確
故選：ACD
12．若函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】令，根據(jù)得到在上單調(diào)遞減，然后利用單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】令，則，
因?yàn)?，即?br>所以，在上單調(diào)遞減，
所以，，，即，，，故BD正確，AC錯(cuò).
故選：BD.
三、填空題
13．設(shè)函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，解方程，求出的值，判斷是否存在；
當(dāng)時(shí)，解方程，求出的值，判斷是否存在，最后確定的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)， ，而，故舍去；
當(dāng)時(shí)， ，所以.
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值問(wèn)題，考查了分類運(yùn)算能力.
14．已知θ是第四象限角，且tan(θ－)＝－，則sin(θ＋)＝ ．
【答案】
【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，將已知條件化簡(jiǎn)，可求得的值，結(jié)合結(jié)合所在的象限，可求得的值，最后利用兩角和的正弦公式來(lái)求式子的結(jié)果.
【詳解】依題意有，解得，由于為第四象限角，故，所以.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角差的正切公式，考查兩角和的正弦公式，考查已知正切值求正弦值和余弦值的方法，屬于中檔題.
15．已知函數(shù)f (x)＝ln(x3－3x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
【答案】
【分析】由于函數(shù)中含有對(duì)數(shù)，故先求出定義域，然后對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，在定義域范圍內(nèi)得出其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”可求得最后的單調(diào)性.
【詳解】由，解得.而，故在上單調(diào)遞減.由于是定義域上的增函數(shù)，故函數(shù)在上遞減.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題.注意到函數(shù)的解析式中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，所以首先的第一步就是求得函數(shù)的定義域，要在定義域的范圍內(nèi)研究函數(shù)的單調(diào)性.在求導(dǎo)得到內(nèi)部函數(shù)的單調(diào)性后，利用復(fù)合函數(shù)同增異減可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
16．若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】1.
【詳解】分析：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得函數(shù)y=ax+lnx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線的方程可得m，n的方程組，解方程可得a的值．
詳解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），y=ax+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=a+，
可得切線的斜率為a+=2，
又2m﹣1=n=am+lnm，
解得m=a=1，故答案為1
點(diǎn)睛：（1）本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和解方程的能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.（2）導(dǎo)數(shù)里，遇到有切線的問(wèn)題，一般都要先找到切點(diǎn)，如果切點(diǎn)不知道，要設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)再解答.
四、解答題
17．設(shè)函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】(1)0
(2)最大值，最小值．
【分析】（1）代入，直接求解即可；（2）根據(jù)三角恒等變形把函數(shù)化的形式，再用三角函數(shù)的性質(zhì)即可.
【詳解】（1）；
（2）因?yàn)?br>，
因?yàn)?，所以?br>因此當(dāng)時(shí)，取最大值；
當(dāng)時(shí)，取最小值．
18．已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，求證：.
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）先換元后再解不等式
（2）由條件得到關(guān)系，再通過(guò)基本不等式證明
【詳解】（1）令，，易知，可解得
解集為
（2），則，，又
故，由基本不等式得：，即證
19．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用輔助角公式結(jié)合圖象的變換得出，再根據(jù)對(duì)稱性得出，從而得出函數(shù)的解析式；
（2）由得出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為
∴
∴
又
∴
∴.
（2）∵
∴
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減.
且，.
∵方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
∴
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
20．設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在上的最大值與最小值．
【答案】(1)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
(2)最小值為，最大值為．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值可得最大值，比較端點(diǎn)即可得最小值.
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）令，得或．
因?yàn)椋?br>由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的最大值為．
又，
因?yàn)椋?br>所以在上的最小值為．
21．環(huán)保生活，低碳出行，新能源電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車(chē)，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速80（不含80），經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車(chē)每小時(shí)耗電量M（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：
為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：，.
(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車(chē)從A地駛到B地，前一段是160的國(guó)道，后一段是100的高速路.若已知高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量N（單位：）與速度的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？（假設(shè)在兩段路上分別勻速行駛）
【答案】(1)選擇，；
(2)當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為40，在高速路上的行駛速度為80時(shí)，最少為.
【分析】（1）函數(shù)為減函數(shù)，這與矛盾，
故選擇，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入兩個(gè)數(shù)據(jù)即可解得與，即可解得答案.
（2）國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，可得所耗電量，由于，當(dāng)時(shí)，Wh，高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，，求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，Wh，兩段最小值相加即可得到總耗電量最少值，即可求出答案.
【詳解】（1）函數(shù)為減函數(shù)，這與矛盾，
故選擇，
根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，
解得，
當(dāng)時(shí)，.
（2）國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，
所耗電量
，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，Wh，
高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，
所耗電量為
，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以Wh，
故當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為40km/h，在高速路上的行駛速度為80km/h時(shí)，該車(chē)從A地到B地的總耗電量最少，最少為Wh.
22．設(shè)．
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)答案詳見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的極值.
（2）設(shè)，求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由的最值求得的取值范圍.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)， ，在上遞增，沒(méi)有極值.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，
沒(méi)有極大值.
（2）設(shè)，則．
從而當(dāng)，即時(shí)， ， ，
在單調(diào)遞增，于是當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，若，則，，
在單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)，，不符合題意．
綜合得的取值范圍為.
v
0
10
20
60
M
0
1625
3000
9000

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