知識導(dǎo)航
夯實基礎(chǔ)
題型1：銳角三角函數(shù)的定義
例題1．（1）（2022?濱州）在中，若，，，則的值為 ．
（2）（2020?桂林）如圖，在中，，，，則的值是 ．
（3）（2018?云南）在中，，，，則的正切值為
A．3B．C．D．
（4）（2019?杭州）在直角三角形中，若，則 ．
（5）（2016?樂山）如圖，在中，，于點，則下列結(jié)論不正確的是
A．B．C．D．
例題2．（1）（2020?杭州）如圖，在中，，設(shè)，，所對的邊分別為，，，則
A．B．C．D．
（2）（2020?雅安）如圖，在中，，，若，則的長為
A．8B．12C．D．
（3）（2019?無錫）已知，在中，，若，，則長為
A．6B．C．D．
題型2：特殊角的三角函數(shù)值
例題3．（1）（2022?荊門）計算： ．
（2）（2022?岳陽）計算： ．
（3）計算： ．
（4）（2015?甘肅）已知、均為銳角，且滿足，則 ．
能力提升
題型3：三角函數(shù)值的復(fù)雜計算
例題4．（1）（2022?揚州）在中，，、、分別為、、的對邊，若，則的值為 ．
（2）（2022?貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是
A．B．C．D．
（3）（2022?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，以為直徑的圓經(jīng)過點，，則的值為
A．B．C．D．
模塊二 銳角三角函數(shù)的性質(zhì)
知識導(dǎo)航
夯實基礎(chǔ)
題型4：同角三角函數(shù)關(guān)系
例題5．（1）已知，則 ．
（2）在中，，，則等于
A．B．C．D．
（3）已知：為銳角，且，則的值等于
A．B．2C．3D．2.5
（4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為：，，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解下題：已知， ．
題型5：互為余角三角函數(shù)關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性與銳角三角函數(shù)的范圍
例題6．（1）已知，則銳角的取值范圍是
A．B．C．D．
（2）在①為銳角）②③④；其中正確的是
A．①③B．②④C．①④D．③④
（3）若是銳角，且，則的取值范圍是 ；將，，，的值，按由小到大的順序排列是 ．
（4）如圖，若銳角內(nèi)接于，點在外（與點在同側(cè)），則下列三個結(jié)論：①；②；③中，正確的結(jié)論為
A．①②B．②③C．①②③D．①③
能力提升
題型6：銳角三角函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用
例題7．（1）已知，則的值為
A．B．C．D．
（2）計算 ．
（3）已知，求的值．
模塊三 解直角三角形
知識導(dǎo)航
夯實基礎(chǔ)
題型7：解直角三角形
例題8．（1）（2022?陜西）如圖，是的高．若，，則邊的長為
A．B．C．D．
（2）（2019?柳州）如圖，在中，，，，則的長為 ．
（3）（2019?西寧）如圖，中，，，，，則 ．
（4）（2022?樂山）如圖，在中，，，點是上一點，連結(jié)．若，，則的長為
A．B．3C．D．2
能力提升
題型8：已知三角形兩邊與其中一邊的對角的分類討論
例題9．（1）（2022?齊齊哈爾）在中，，，，則 ．
（2）（2017?黑龍江）中，，，，則的面積是 ．
秋季你將遇見
例題10．設(shè)計一種方法計算、、．
第12講：銳角三角函數(shù)關(guān)系課后鞏固
1．（2021?湖州）如圖，已知在中，，，，則的值是 ．
2．（2017?哈爾濱）在中，，，，則的值為
A．B．C．D．
3．（2017?金華）在中，，，，則的值是
A．B．C．D．
4．（2019?牡丹江）在中，，，，則邊的長是
A．16B．20C．15D．12
5．計算： ； ．
6．（2018?青海）在中，若，則的度數(shù)是 ．
7．（2013?連云港）在中，，若，則的值為
A．B．C．D．
8．（2007?雅安）若是直角三角形的一個銳角，，則
A．B．C．D．
9．若銳角滿足且，則的范圍是
A．B．C．D．
10．已知，則銳角的取值范圍是 ．
11．三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是
A．B．
C．D．
12．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，我們知道，對于任何銳角，都有．如果關(guān)于的方程有實數(shù)根，那么銳角的取值范圍是 ．
13．（2020?南充）如圖，點，，在正方形網(wǎng)格的格點上，則
A．B．C．D．
14．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，、、、都在格點處，與相交于點，則的值為
A．B．C．D．
15．（2015?日照）如圖，在直角中，延長斜邊到點，使，連接，若，則的值
A．B．C．D．
16．（2020?安徽）如圖，中，，點在上，．若，，則的長度為
A．B．C．D．4
17．（2019?綿陽）在中，若，，，則的面積是 ．
思維拓展訓(xùn)練
1．（2020?遵義）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用，在計算時，如圖．在中，，，延長使，連接，得，所以．類比這種方法，計算的值為
A．B．C．D．
2．（2022?桂林）如圖，在中，，，若，則的面積是
A．B．C．D．
定義
示例剖析
銳角三角函數(shù)定義：
在中，，、、所對三角形的邊分別為、、．
正弦：；
余弦：；
正切：；
若，，
則
三角函數(shù)
角度
特殊角的三
角函數(shù)值：
銳角三角函數(shù)的性質(zhì)
示例剖析
1. 同角三角函數(shù)關(guān)系：
，
.
2. 互為余角三角函數(shù)關(guān)系：
（1） 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
（2）任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
1．，
.
2．
銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律
示例剖析
銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：
當(dāng)角度在范圍內(nèi)變化時，
正弦值隨角度增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?br>余弦值隨角度增大（或減?。┒鴾p小（或增大）．
正切值隨角度增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；
比較角的正弦、余弦、正切值的大小，其規(guī)律是：
為銳角且，則，，．該規(guī)律反過來也成立．
銳角三角函數(shù)的范圍
在中，，，，，，，
又，，，所以，，．
解直角三角形的概念
1．解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的邊角關(guān)系
（1）三邊之間的關(guān)系：．（勾股定理）
（2）銳角之間的關(guān)系：
（3）邊角之間的關(guān)系：．
解直角三角形的四種基本類型
已知條件
解法類型
一條邊和一個銳角
斜邊和銳角
，，
直角邊和銳角
，，
兩條邊
兩條直角邊和
，由，求，
斜邊和直角邊
，由，求，
解直角三角形中的基本圖形

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