一、單選題
1．已知單位向量，滿足，則（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根據模的運算先求出，進而解出.
【詳解】由題意，，由，所以.
故選：C.
2．已知，，則（ ）
A．B．7C．D．-7
【答案】A
【分析】根據角的范圍以及平方關系求出再利用商的關系求出，最后由兩角和的正切公式可得答案.
【詳解】因為，，
所以
，
故選：A.
【點睛】本題主要考查平方關系、商的關系以及兩角和的正切公式，屬于基礎題.
3．已知向量不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，以為鄰邊作平行四邊形，根據向量加減法的幾何意義，結合投影向量的概念，即可求出結果.
【詳解】令，
以為鄰邊作平行四邊形，
則，即為，對角線相等，
所以平行四邊形為矩形，
則在方向上的投影向量，即為在方向上的投影向量.
故選：.
4．函數(shù)y=xcsx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.
【詳解】因為，則，
即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于坐標原點對稱，
據此可知選項CD錯誤；
且時，，據此可知選項B錯誤.
故選：A.
【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．
二、多選題
5．下列選項中，與的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】計算得到，再根據和差公式和二倍角公式，誘導公式依次計算得到答案.
【詳解】，，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤．
故選：BC
6．已知滿足，則（ ）
A．為銳角三角形B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結合兩角和的余弦公式及余弦定理逐一判斷即可得解．
【詳解】解：已知滿足，則，
即，即，
對于選項A，為鈍角三角形，即選項A錯誤；
對于選項B，，，
，即選項B正確；
對于選項C，，
，即選項C正確；
對于選項D，由，
結合余弦定理可得：，即選項D正確．
故選：BCD．
三、填空題
7．在平行四邊形中，為邊上靠近點的三等分點，，則 ．
【答案】
【分析】根據向量的三角形法則，將向量用來表示即可；
【詳解】因為E為BC邊上靠近點B的三等分點，所以，
所以，
所以 ，，故．
故答案為：
8．如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點B與C的距離為 km.
【答案】
【分析】在中，根據，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.
【詳解】在中，因為，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因為，，
所以，
由正弦定理得： ，
所以.
故答案為：
【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
四、解答題
9．在中，內角，，所對的邊分別為，，.已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根據正弦定理進行邊角互化，再由正弦的和角公式可求得答案；
（2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案.
【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，
又，所以，
因為，所以.
（2）解：由（1）得，所以，所以，，
所以，
所以.
10．已知非零向量，滿足，且．
(1)求；
(2)當時，求和向量與的夾角θ的值．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根據向量數(shù)量積運算律化簡即可得到答案；
（2）利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】（1）由已知得，即，；
（2），，
，
，所以．
11．已知函數(shù).
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，證明：.
【答案】（Ⅰ）（ⅠⅠ）見解析
【詳解】試題分析：（Ⅰ）先代入，對求導數(shù)，再算出，，進而可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）先構造函數(shù)，再利用導數(shù)可得的最小值，，進而可證當時，．
試題解析：（Ⅰ）解：當時，，
所以．
所以，.
所以曲線在點處的切線方程為．
即.
（Ⅱ）證法一：當時，.
要證明，只需證明.
以下給出三種思路證明.
思路1：設，則.
設，則，
所以函數(shù)在上單調遞增
因為，，
所以函數(shù)在上有唯一零點，且
因為時，所以，即
當時，；當時，
所以當時，取得最小值．
故．
綜上可知，當時，.
思路2：先證明．
設，則．
因為當時，，當時，，
所以當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增．
所以．
所以（當且僅當時取等號）．
所以要證明，
只需證明．
下面證明．
設，則．
當時，，當時，，
所以當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增．
所以．
所以（當且僅當時取等號）．
由于取等號的條件不同，
所以．
綜上可知，當時，.
（若考生先放縮，或、同時放縮，請參考此思路給分?。?br>思路3：先證明.
因為曲線與曲線的圖像關于直線對稱，
設直線與曲線，分別交于點，，點，到直線
的距離分別為，，
則．
其中，．
①設，則．
因為，所以．
所以在上單調遞增，則．
所以．
②設，則．
因為當時，；當時，，
所以當時，單調遞減；當時，單調遞增．
所以．
所以．
所以．
綜上可知，當時，.
證法二：因為，
要證明，只需證明.
以下給出兩種思路證明.
思路1：設，則.
設，則．
所以函數(shù)在上單調遞增．
因為，，
所以函數(shù)在上有唯一零點，且.
因為，所以，即．
當時，；當時，.
所以當時，取得最小值．
故．
綜上可知，當時，．
思路2：先證明，且．
設，則．
因為當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
所以當時，取得最小值．
所以，即（當且僅當時取等號）．
由，得（當且僅當時取等號）．
所以（當且僅當時取等號）．
再證明．
因為，，且與不同時取等號，
所以．
綜上可知，當時，．
【解析】1、導數(shù)的幾何意義；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；3、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；4、不等式的證明．

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