福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．C
【分析】集合運(yùn)算可得，即可求出結(jié)果
【詳解】，
所以
故選：C
2．C
【分析】求出封城前的平衡需求量，可計(jì)算出解封后的需求量，利用需求量計(jì)算價(jià)格差距即為補(bǔ)貼金額.
【詳解】封城前平衡需求量時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格x為，平衡需求量為30，平衡價(jià)格為20，解封后若要使平衡需求量增加6萬(wàn)件，則，，則補(bǔ)貼金額為.
故選：C.
3．D
【詳解】分析：表示不超過(guò)的最大整數(shù)，表示向下取整，帶特殊值逐一排除．
詳解：設(shè)，，，，，排除A、B，
設(shè)，，，排除C．故選D
點(diǎn)睛：比較大小，采用特殊值法是常見(jiàn)方法之一．
4．B
【解析】當(dāng)時(shí)，無(wú)解，此時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)為增函數(shù)，且可得函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，此時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且.
令，得，即，
令，則函數(shù)的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，考查了根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
5．C
【分析】由，求得的范圍；再求得的單調(diào)性，討論，時(shí)函數(shù)在的最小值，即可得到所求范圍．
【詳解】解：函數(shù)，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
若，，則在處取得最小值，不符題意；
若，，則在處取得最小值，
且，解得，
綜上可得的范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
6．C
【分析】令，則得，再令即可得到奇偶性，再令則得到其周期性，最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到的值.
【詳解】令，得得或，
當(dāng) 時(shí)，令得不合題意，故，所以 A錯(cuò)誤；
令得，且的定義域?yàn)?，? 為偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；
令，得，所以，
所以，則，則，
所以的周期為 6 ，所以 D錯(cuò)誤；
令，得，因?yàn)?br>所以，所以，故C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值法得到其奇偶性和周期性，并依此性質(zhì)求出函數(shù)值即可.
7．C
【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性進(jìn)行計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)椋? ，
對(duì)于②式有：，由①+有：，
即，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，
由④⑤有：，即，，
兩式相減得：，即，即，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋缘闹芷跒?，又，
所以，由④式有：，
所以，
由，有：，
所以，
由⑤式有：，又，所以，
由②式有：，
所以
，故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．A
【分析】由題意可知，滿(mǎn)足不等式的解中有且只有兩個(gè)整數(shù)，即函數(shù)在直線(xiàn)上方的圖象中有且只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，然后利用數(shù)形結(jié)合思想得出以及，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，得.
由題意可知，滿(mǎn)足不等式的解中有且只有兩個(gè)整數(shù)，
即函數(shù)在直線(xiàn)上方的圖象中有且只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).
如下圖所示：

由圖象可知，由于，該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
要使得函數(shù)在直線(xiàn)上方的圖象中有且只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，則有，即，解得，
又，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，解題的關(guān)鍵利用數(shù)形結(jié)合思想找到一些關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)得出不等關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.
9．AB
【解析】根據(jù)定義法判斷是否為充分、必要條件，由全稱(chēng)命題的否定是，否定結(jié)論，即可知正確的選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)中，，但或，故A正確；
B選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)有，而必有，故B正確；
C選項(xiàng)中，否定命題為“，使得”，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)中，不一定有在處取得極值，而在處取得極值則，故D錯(cuò)誤；
故選：AB
【點(diǎn)睛】本題考查了充分、必要條件的判斷以及含特稱(chēng)量詞命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.
10．BCD
【分析】對(duì)于A，令,可得；對(duì)于B，令，可得，即可判斷；對(duì)于C，令得f1=0，再令即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件可得,繼而，進(jìn)一步分析可得函數(shù)周期為4，分析求值即可.
【詳解】對(duì)于A，令，則，
因?yàn)椋?，則，
故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，則，
則，故B正確；
對(duì)于C，令得，，
所以f1=0，
令得，，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；
對(duì)于D，由得，
又，所以，
則，，
所以，則函數(shù)的周期為，
又f1=0，，
則，
，
則f1+f2+f3+f4=0，
所以，
故D正確，
故選：BCD.
11．AB
【分析】由，賦值，可得，故A正確；進(jìn)而可得是對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；作出函數(shù)圖象，可得CD不正確.
【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，，故是一個(gè)周期為4的奇函數(shù)，因是的對(duì)稱(chēng)中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A、B正確；
作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；
函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.
故選：AB
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.
12．-1
【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，
即對(duì)任意的恒成立，則，
得.
故答案為：-1
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，需掌握奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題.
13．
【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.
【詳解】原式=
=
．
故答案為：.
14．
【分析】設(shè)，
，將兩個(gè)點(diǎn)集用平面區(qū)域表示，因?yàn)?，故表示的平面區(qū)域在的內(nèi)部，根據(jù)這一條件得出的最大值．
【詳解】解：設(shè)，
，
顯然點(diǎn)集表示以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓及圓的內(nèi)部，
點(diǎn)集是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，
如圖所示，
作圖可知，邊界交圓于點(diǎn)，
邊界恒過(guò)原點(diǎn)，
要求的最大值，故直線(xiàn)必須單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)過(guò)圖中B點(diǎn)時(shí)，取得最大，
聯(lián)立方程組，解得，
故，即．
【點(diǎn)睛】本題表面上考查了集合的運(yùn)算問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查了二元一次不等組表示的平面區(qū)域和二元二次不等式對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的畫(huà)法，還考查了動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題的能力，屬于中等偏難題．
15．（1）①A ； ②B；（2）③A ； ④A ； ⑤B．
【分析】依題意按照步驟寫(xiě)出完整的解答步驟，即可得解；
【詳解】解：因?yàn)椋?br>（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?br>（2）因?yàn)闀r(shí)，有，
而且，所以在上的最大值為．
又因?yàn)闀r(shí)，有，
而且，所以在0,+∞上的最大值為1．
綜上，的最大值為．
16．(1)
(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150.
【分析】（1）根據(jù)矩形面積即可求解，
（2）根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1）則，，
所以
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得當(dāng)時(shí)的解析式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后再結(jié)合是定義在上的奇函數(shù)，化簡(jiǎn)不等式，求解即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，，
所以
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
即
所以當(dāng)時(shí)，
綜上，的表達(dá)式為
（2）由（1）可知，，
設(shè)在上任取兩個(gè)自變量，令
則
因?yàn)椋瑒t，所以
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
即，
由是定義在上的奇函數(shù)，可得
即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得恒成立，
當(dāng)時(shí)，即，滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，即，解得
綜上，的取值范圍為
18．（1）（答案不唯一）（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；
（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.
【詳解】解析:（1）（答案不唯一）
（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.
所以,即.
因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
所以.
【點(diǎn)睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.
19．（1），，，．（2）；證明見(jiàn)解析．（3）證明見(jiàn)解析．
【解析】（1）根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結(jié)果；
（3）記，則，設(shè)，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿(mǎn)足題意.
【詳解】（1），，，．
（2）設(shè)，其中，
則由題意：，故，即，
考慮，可知：，或，
若，則考慮，
，，則，
，但此時(shí)，，不滿(mǎn)足題意；
若，此時(shí)，滿(mǎn)足題意，
，其中為相異正整數(shù)．
（3）記，則，
首先，，設(shè)，其中，
分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，
而，，
，
對(duì)于，考慮，，其和大于，故其差，
特別的，，，
由，且，，
以此類(lèi)推：，
，此時(shí)，
故中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．

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