一、單選題
1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【詳解】試題分析：集合中的元素為點集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點組成的集合，集合B表示直線上所有的點組成的集合，又圓與直線相交于兩點，，則中有2個元素.故選B.
【名師點睛】求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
2．命題：“，”，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由全稱命題的否定：“任意”改“存在”并否定原結論，即得答案.
【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題的否定為，.
故選：D
3．設為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，則，化簡后利用基本不等式可求得結果.
【詳解】因為為正實數(shù)，且，
所以，
所以，
當且僅當，即，即時等號成立.
所以的最小值為.
故選：C.
4．函數(shù)y＝lg2(|x|＋1)的圖象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性的性質，函數(shù)的圖象經過的特殊點判斷函數(shù)的圖象即可.
【詳解】y＝lg2(|x|＋1)是偶函數(shù)，當x≥0時，y＝lg2(x＋1)是增函數(shù)，且過點(0，0)，(1，1)，只有選項B滿足．
【點睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點是常用方法．
5．函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個單位長度，所得圖象與y=ex關于y軸對稱，則f(x)=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】與曲線y=ex關于y軸對稱的曲線為，
向左平移1個單位得，
即．
故選D．
6．已知，，，則的大小關系為
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小．
【詳解】；
；
．
故．
故選A．
【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．
7．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調性和零點存在性定理分析求解.
【詳解】當時，則，即，
可得，
所以在內無零點；
當時，則，即，
可得，
因為在定義域內單調遞增，則在內單調遞減，
且，
所以在內有且僅有一個零點；
綜上所述：函數(shù)的零點個數(shù)為1個.
故選：A.
8．已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果.
詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，
所以,
因此，
因為，所以，
，從而，選C.
點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．
二、多選題
9．下列命題不正確的有（ ）
A．若命題，，則，
B．不等式的解集為
C．是的充分不必要條件
D．，
【答案】ACD
【分析】對A，由含有一個量詞命題的否定即可判斷；對B，結合二次函數(shù)的圖象即可判斷；對C，先求出的解集，再由充分條件，必要條件的定義即可判斷；對D，由特殊值即可判斷.
【詳解】解：對A，若命題，，則，，故A不正確；
對B，，
令，
則，
又的圖像開口向上，
不等式的解集為；故B正確；
對C，由，
解得：，
設，，
則，故是的必要不充分條件，故C不正確；
對D，當時，，故D不正確.
故選：ACD.
10．小明同學對函數(shù)且進得研究，得出如下結論，其中正確的有（ ）
A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)有可能是奇函數(shù)，也有可能是偶函數(shù)
C．函數(shù)在定義域內單調遞減D．函數(shù)不一定有零點
【答案】ABD
【分析】根據(jù)解析式確定定義域，令、研究的性質判斷各項的正誤即可.
【詳解】由，有，即恒有意義，故定義域為，A對；
當，則，故，此時為奇函數(shù)，
當，則，故，此時為偶函數(shù)，B對；
若，令，易知在上遞減，在上遞增，
當時，在上遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，
在上遞增，在上遞減，所以在定義域內不遞減，且無零點，C錯；
若，顯然，此時函數(shù)有零點，綜上，不一定有零點，D對.
故選：ABD
11．定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，它在定義域上是減函數(shù)，給出如下命題，其中正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】AD
【分析】由圖及已知有判斷A、B；根據(jù)圖象平移關系確定圖象，數(shù)形結合判斷C、D.
【詳解】由題設及圖知：，A對，B錯；
由圖象平移關系：的圖象是將右移一個單位得到，如下圖示，
所以，符號有正有負；但，則，C錯，D對.
故選：AD
12．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①對于任意的都有；
②對于任意的都有；
③函數(shù)的圖象關于軸對稱，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．對于任意的都有
D．函數(shù)有最大值和最小值
【答案】BCD
【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性、單調性分析運算即可得解.
【詳解】對于A：∵對于任意的都有，
∴是周期為的周期函數(shù).
∵函數(shù)的圖象關于軸對稱，
且函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的，
∴函數(shù)的圖象關于軸對稱，
∴，故選項A錯誤；
對于B：∵函數(shù)定義域為，∴函數(shù)定義域為，
∵函數(shù)的圖象關于軸對稱，
∴函數(shù)是偶函數(shù)，則，
∴，
∴函數(shù)是偶函數(shù)，故選項B正確；
對于C：∵函數(shù)是偶函數(shù)，且，
∴，故選項C正確；
對于D：∵對于任意的都有，
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，則當時.
∵函數(shù)關于對稱，
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則當時，
∴函數(shù)在一個周期上最小值為，
最大值為.
∵是定義在上的周期為的周期函數(shù)，
∴函數(shù)有最大值和最小值，故選項D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．設函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，分別求出集合和集合，然后再求即可.
【詳解】由，得，所以；由，得，所以，故.
故答案為.
【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求法以及交集的求法，屬于基礎題.
14．已知函數(shù)，若（a），則 ．
【答案】或
【分析】分段求解對數(shù)方程和指數(shù)方程，則問題得解.
【詳解】當時，，，
當時，，．
或．
故答案為：或
【點睛】本題考查由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的取值，涉及對數(shù)方程和指數(shù)方程的求解，屬綜合基礎題.
15．已知，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】問題化為上，利用基本不等式求左側最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由題設，只需上即可，
又，則，
當且僅當時等號成立，
所以，所求范圍為.
故答案為：
16．已知函數(shù)，若方程有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：
當時，，當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，且，所以最小值點的坐標為，若方程有兩個不相等的實根，則函數(shù)與有兩個不同交點，而是過原點的直線，則應大于點與原點連線的斜率，且小于直線的斜率，即，故答案為.
【解析】分段函數(shù)的圖象與性質、數(shù)形結合判斷方程根的個數(shù).
【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質、數(shù)形結合判斷方程根的個數(shù)，屬于難題.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．
四、解答題
17．（1）設x、y、，比較與的大??；
（2）比較與的大小．
【答案】（1）；（2）.
【分析】利用作差法和不等式的性質比較大小.
【詳解】（1）由．
∴．
（當且僅當且時等號成立）．
（2）由．
故，即．
18．已知二次函數(shù)
(1)若有零點，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)零點的定義，轉化為方程有解，利用一元二次方程的性質，可得答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質，明確其開口方程和對稱軸，建立不等式，可得答案.
【詳解】（1）由函數(shù)有零點，則等價于方程有解，
所以，
解得或.
即a的取值范圍為.
（2）由函數(shù)，該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，
由函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，即的取值范圍為.
19．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，．
現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側的圖象，如圖所示，請補出完整函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的增區(qū)間；
寫出函數(shù)的解析式和值域．
【答案】（1）遞增區(qū)間是，，圖像見解析
（2）
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,故直接補出完整函數(shù)的圖象即可,再由圖象直接可寫出的增區(qū)間;
直接利用偶函數(shù)的性質求解析式,值域可從圖形直接觀察得到.
【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù),故圖象關于y軸對稱,補出完整函數(shù)圖象如圖所示:
由圖可得函數(shù)的遞增區(qū)間是,.
設,則,所以,因為是定義在R上的偶函數(shù),所以,所以時,,
故的解析式為,
由圖像可得值域為.
【點睛】本題考查分段函數(shù)求解析式、作圖,同時考查函數(shù)的函數(shù)的奇偶性和值域等性質;求此類題型函數(shù)解析式時可由圖象利用待定系數(shù)法求解析式,也可利用函數(shù)單調性求解解析式,屬于基礎題.
20．已知函數(shù)定義域為.
（1）求定義域；
（2）當時，求的最值及相應的的值.
【答案】（1）或（2）當時，有最大值為，無最小值.
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域的求法，則有求解.
（2）利用換元法，令，將轉化為二次函數(shù)
再求解.
【詳解】（1）因為
所以
解得或
所以函數(shù)的定義域為
（2）令
可轉化為
當 即時，
即的最大值為，無最小值.
【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求法和二次函數(shù)求最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
21．某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）
【答案】為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．
【分析】設樓房應建為層，樓房每平方米的平均綜合費為元，根據(jù)平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，列出函數(shù)關系式，然后運用導數(shù)函數(shù)的最小值，并求出此時的取值即可.
【詳解】解：設樓房應建為層，樓房每平方米的平均綜合費為元，
則

，
當且僅當，即時，取最小值2000．
答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．
22．定義在上的單調函數(shù)滿足且對任意x，都有．
(1)判斷的奇偶性，并說明理由；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求證，
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性將不等式轉化為對任意成立．即可換元利用二次不等式的性質求解.
【詳解】（1）是奇函數(shù)，
理由如下：
由，①
令，代入①式，得，即．
令，代入①式，得，又，
則有．即對任意成立，
所以是奇函數(shù)．
（2），即，又在上是單調函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)
又由（1）是奇函數(shù)．，
∴，對任意成立．
令，問題等價于對任意恒成立．
令，其對稱軸．
當即時，，符合題意；
當時，對任意，恒成立．
解得．
綜上所述，當時，對任意恒成立．

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