一、單選題
1．已知集合，，則的真子集有（ ）個(gè)
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】聯(lián)立方程求出中元素個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得真子集個(gè)數(shù).
【詳解】解：聯(lián)立方程，解得或，
即，有2個(gè)元素
故的真子集有個(gè).
故選：A.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)的虛部即可.
【詳解】

的共軛復(fù)數(shù)為
虛部為.
故選：D.
3．函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】C
【分析】依次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷求解即可.
【詳解】令，則,且，
既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；
令，則,且，
是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯(cuò)誤；
故選：C
4．設(shè)，，，則下列不等關(guān)系成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值進(jìn)行判斷，即可比較出的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)樵谏线f減，
所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
由，
所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，
所以.
故選：D.
5．已知函數(shù)在處有極小值，則的值為（ ）
A．2B．6C．2或6D．或6
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)在處有極小值，得到，解出關(guān)于的方程，再驗(yàn)證是否為極小值即可．
【詳解】函數(shù)，
，
又在處有極值，
，
解得或6，
又由函數(shù)在處有極小值，故，
時(shí)，，
所以函數(shù)在處有極大值，不符合題意.
故選：A
6．若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式組，最后求并集得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以在上也是單調(diào)遞增，且，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以由可得：
或或
解得或，
故選：C.
7．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形較小的銳角為，則sincs的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求出直角三角形的兩條直角邊，即可求出答案.
【詳解】設(shè)直角三角形的短邊為，一個(gè)直角三角形的面積為，
小正方形的面積為20，則邊長為.大正方形的面積為100，則邊長為10.
直角三角形的面積為.
則直角三角形的長邊為.
故.
即.
故選：B.
8．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】據(jù)已知不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?br>所以，因此函數(shù)是增函數(shù)，
于是有，
構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?br>所以，因此是單調(diào)遞減函數(shù)，
于是有，
故選：D
二、多選題
9．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由題可得，即可得出，再根據(jù)的單調(diào)性可得.
【詳解】，，，故A錯(cuò)誤，B正確；
令，易得是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)
D．的圖象在點(diǎn)處的切線斜率小于0
【答案】AC
【分析】由的圖象可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可比較函數(shù)值的大小，可判斷A和B；由單調(diào)性可得函數(shù)的極值可判斷C；由圖可知的符號(hào)可判斷D；
【詳解】由的圖象可知：當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
對于選項(xiàng)A和B：在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：由圖知，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知的圖象在點(diǎn)處的切線斜率大于0，故選項(xiàng)D不正確；
故選：AC.
11．已知函數(shù)，則以下說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程有且只有兩個(gè)實(shí)根
【答案】ABD
【分析】A．利用奇偶性定義進(jìn)行判斷；
B．利用導(dǎo)數(shù)分析的正負(fù)并進(jìn)行判斷；
C．根據(jù)條件分析在上的單調(diào)性，由此確定出最小值并判斷；
D．利用在上的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理分析在上的零點(diǎn)數(shù)，由此確定出的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).
【詳解】A．的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為偶函數(shù)，故正確；
B．當(dāng)時(shí)，，，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，故正確；
C．因?yàn)闉榕己瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，
所以，，故錯(cuò)誤；
D．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以在上有唯一零點(diǎn)，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以方程有且僅有兩根，故正確；
故選：ABD．
12．已知函數(shù)f(x)=，函數(shù)g(x)=xf(x)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)
B．∈（1，3），使f（）>f（）
C．函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇
D．若關(guān)于x的方程[g（x）]2－2ag（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（∪（）
【答案】BC
【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)判斷A，利用函數(shù)的單調(diào)性及最值判斷選項(xiàng)BC；利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對于選項(xiàng)A，0是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，．
綜上可得，選項(xiàng)B正確．
對于選項(xiàng)C，，選項(xiàng)C正確．
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖像可得：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，則也有且只有一個(gè)零點(diǎn)0；
所以對于選項(xiàng)D，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)，且，
則
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：
極大值，極小值；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：
極小值．
綜上可得，或，
解得的取值范圍是，
故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題
13．恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】分離參數(shù)可得，利用二次函數(shù)求出的最大值即可求解.
【詳解】由恒成立，
可得，對恒成立，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：
14．曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
【答案】
【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
所以切線的斜率，切點(diǎn)為，則切線方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
15．2019年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間T（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量），經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的，據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約 年（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】6876
【解析】由題意可得，，求解指數(shù)方程得，則答案可求．
【詳解】樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足，
由于良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的，
，
即，兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)，得：
．
年．
推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在6876年．
故答案為：6876．
【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，考查對數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.
四、雙空題
16．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.
（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為 ；
（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為?，那么和的大小關(guān)系是 .
【答案】
【分析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；
（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.
【詳解】（1），，
根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，
，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；
（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.
，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，
構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
，，
，由零點(diǎn)存在定理可知，，
.
故答案為：（1）；（2）.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.
五、解答題
17．已知函數(shù)，f(x)的極值點(diǎn)分別為．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)的極值．
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理求出a，b的值即可.
（2）由（1）已知參數(shù)a，b的值，對函數(shù)求導(dǎo)并據(jù)此求得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)及原函數(shù)單調(diào)性，最終求出極值點(diǎn).
【詳解】（1），
因?yàn)榈臉O值點(diǎn)分別為，
所以-1，3是方程的根，
所以，
解得，.
（2）由（1）知，
，
令得或3，
所以在或時(shí)，，單調(diào)遞增，
在時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
18．在遞增的等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】小問1：由得，化為，從而求得公比，即可求通項(xiàng)公式；
小問2：利用的通項(xiàng)公式求得，根據(jù)等差求和公式即可求解．
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得．
∴，即，∴.依題意，可知．
∴．
（2）由（1）可得，∴，
故．
19．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，時(shí).
(1)若，求c；
(2)記，是直角三角形，求k的值.
【答案】(1)8
(2)或
【分析】（1）利用余弦定理即得；
（2）分和討論，結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
∴
即，，
所以.
（2）是直角三角形，
若，則，，
若，則，.
故或.
20．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求的值；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用即可求解；(2)對求導(dǎo)可得，再通過對求導(dǎo)以確定在的符號(hào)，從而可得到的單調(diào)性，然后利用的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）由題意，，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，解得.
又因?yàn)椋?
（2）證明：由(1)可知的定義域?yàn)椋?br>則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而對于，，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.
故對于，.
六、應(yīng)用題
21．北京時(shí)間2021年7月23日19：00東京奧運(yùn)會(huì)迎來了開幕式，各國代表隊(duì)精彩入場，運(yùn)動(dòng)員為參加這次盛大的體育賽事積極做準(zhǔn)備工作，當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰杲?jīng)銷此次奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為5元，并且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交元（）的稅收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，一年的銷售量為件.
(1)求該商店一年的利潤（萬元）與每件品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求出的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合利潤的算法，即可求出商店一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可知，，求導(dǎo)得，令求出極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出的最大值.
【詳解】（1）解：由題可知，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元，
而每件產(chǎn)品的成本為5元，并且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交元（），
所以商店一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：
，.
（2）解：，，
，
令，解得：或，
，∴.，
所以①當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
；
②當(dāng)，即時(shí)，
則恒成立，所以在單調(diào)遞增，
，
所以.
七、解答題
22．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
0
+
0
0
+
增
極大值
減
極小值
增
1
2
0
+
e
減
極小值
增

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福建省龍巖市上杭縣才溪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

福建省龍巖市上杭縣才溪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題
2024屆福建省龍巖市上杭縣第一中學(xué)高三第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

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2023屆福建省龍巖市上杭縣才溪中學(xué)高三上學(xué)期11月檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

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