得分_____________
本試卷共8頁．時量120分鐘．滿分150分．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部與虛部之積為（ ）
A．B． C．D．
★3．函數(shù)的最大值與最小值之差為（ ）
A．B．0C．2D．
★4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
★5．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．D．
6．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，將一個正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點的兩個正三角形所在平面的夾角的正切值為（ ）
A．B．1C．D．
7．設(shè)正實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式共有7項
B．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若一個樣本點為，則實數(shù)的值是2
C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D．已知，若，則
10．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點．已知平面內(nèi)點，點（其中為坐標原點），點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，則（ ）
A． B．的坐標為
C．的坐標為D．
★11．已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于兩個不同的點，則（ ）
A．的準線為B．直線與相交
C．D．
12．如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2和3，側(cè)棱長為1，點在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且與平面所成角的正切值為，則（ ）
A．長度的最小值為
B．存在點，使得
C．存在點，存在點，使得
D．所有滿足條件的動線段形成的曲面面積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，則_____________．
14．將8塊完全相同的巧克力分配給四人，每人至少分到1塊且最多分到3塊，則不同的分配方案共有_____________種（用數(shù)字作答）．
15．已知和是兩個等差數(shù)列，且是常值，若，則的通項公式為_____________．
16．已知是雙曲線的左、右焦點，以為圓心，4為半徑的圓與的一條漸近線切于點，過的直線與交于兩個不同的點，若的離心率，則下列結(jié)論中正確的序號有_____________．
①；
②的最小值為；
③若，則；
④若同在的左支上，則直線的斜率．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
★17．（10分）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
18．（12分）設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)的圖象與直線（為常數(shù)）相鄰兩個交點的橫坐標為，求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，當(dāng)時，滿足，且，求的最大值．
19．（12分）如圖，多面體中，平面．
（1）在線段上是否存在一點，使得平面?如果存在，請指出點位置并證明；如果不存在，請說明理由．
（2）當(dāng)三棱錐的體積為8時，求平面與平面夾角的余弦值．
20．（12分）為慶祝我校建校120周年，高三年級開展了校史知識問答競賽，參賽人員所得分數(shù)的分組區(qū)間為，由此得到總體的頻率統(tǒng)計表：
（1）若從總體中利用分層隨機抽樣（按分數(shù)的分組區(qū)間分層）的方式隨機抽取10名學(xué)生進行進一步調(diào)研．從這10名參賽學(xué)生中依次抽取3名進行調(diào)查分析，求在第一次抽出1名學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的2名學(xué)生分數(shù)在的概率；
（2）視頻率為概率，在所有參賽學(xué)生中任取3人，記取出的3人中分數(shù)在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
21．（12分）對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓，它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．
（1）求橢圓伴隨雙曲線的方程；
（2）如圖，點分別為的下頂點和上焦點，過的直線與上支交于兩點，設(shè)的面積為（其中為坐標原點）．若的面積為，求．
22．（12分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時，證明：對；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍．
大聯(lián)考長郡中學(xué)2024屆高三月考試卷（三）
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．A 【解析】，故選A．
2．B【解析】因為，所以實部為，虛部為，實部與虛部之積為．故選B．
3．D 【解析】因為，所以，所以，
所以當(dāng)時，有最小值為，
所以當(dāng)時，有最大值為，所以最大值與最小值之差為，故選D．
4．A 【解析】由于在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，所以所以，故的取值范圍是，故選A．
5．C 【解析】由雙曲線的定義得，，又，所以，所以在中，有，即，化簡得，即，所以離心率，故選C．
6．D 【解析】將該“阿基米德多面體”放入正方體中，如圖，平面和平面為有公共頂點的兩個正三角形所在平面，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，
則，
設(shè)平面的法向量為，
所以令，所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以令，所以，
設(shè)平面和平面的夾角為，則，
因為平面和平面的夾角為銳角，所以，
所以，故選D．
7．B 【解析】，則．
8．C 【解析】由，得，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出的大致圖象如圖所示，
易知的圖象是恒過，點的直線，若，則顯然不符合題意；若，則即解得．故選C．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．CD 【解析】對于A，令，則展開式所有項系數(shù)和為，解得，則展開式共有8項，A錯誤；
對于B，樣本點不一定在回歸直線上，不一定是2，B錯誤；
對于C，，
，C正確；
對于D，，
，D正確．故選CD．
10．BCD 【解析】由題意可知，點，點，故，
因為，故，
又，即，故，
所以，故A錯誤，B正確；
因為點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，
所以，
則由，可得點坐標為，故C正確；
故，則，D正確，故選BCD．
11．AD 【解析】將點坐標的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，故A正確；
，所以直線的方程為，聯(lián)立可得，解得，故直線與相切，故B錯；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，
聯(lián)立得，所以所以或，
又，
所以，故C錯；
因為，
所以，而，故D正確．故選AD．
12．ACD 【解析】依題意，延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，取中點，
中點，連接，則有，
所以的延長線必過點且，
過點作，則四邊形是邊長為1的菱形．
如圖所示，在中，，即，
解得，所以，
所以是邊長為3等邊三角形，
所以，
所以，
因為是邊長為3的等邊三角形且為中點，所以，
在中，由余弦定理變形得，，
在中，由余弦定理變形得，，
解得，所以，所以；
由，可得平面，又平面，所以，
由，可得平面，
因為與平面所成角的正切值為，所以，解得，所以點在平面的軌跡為，
對于A：當(dāng)點運動到與的交點時有最小值，因為四邊形是邊長為1且的菱形，所以，所以，故A選項正確；
對于B：要使得，則點必須落在平面與平面的交線上且，
由圖易知，在側(cè)面內(nèi)不存在這樣的，點，故B選項錯誤；
對于C：當(dāng)點運動到點時，連接交于點，連接，由于平面平面，所以平面，又平面，平面平面，
所以，所以存在點，存在點，使得，故C選項正確；
對于D：設(shè)的長度為，則，
動線段形成的曲面展開為兩個面積相等的扇形，設(shè)其中一個的面積為，
則有，
因此所有滿足條件的動線段形成的曲面面積為，故D選項正確；
故選ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13． 【解析】由，得，
則，
故．
14．19 【解析】滿足條件的分配方案可分為3類，第一類每人2塊，第二類有兩人3塊，兩人1塊，第三類，一人3塊，一人一塊，2人2塊，
屬于第一類的分配方案有1個，屬于第二類的分配方案有個，即6個，
屬于第三類的分配方案有個，即12個，故滿足條件的分配方案的總數(shù)為19個．
15． 【解析】由于是常數(shù)，所以，即，所以．因為等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差，通項公式為．
16．①③④ 【解析】對于①，設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即，則到直線的距離為，
因為以為圓心的圓與相切于點，所以，
因為，即，則，又，即，所以．
在中，，在中，，，
所以，故①正確；
對于②，當(dāng)直線的斜率為0時，兩點分別為雙曲線的頂點，則，
又因為，即的最小值不是，故②錯誤；
對于③，因為，又，且，所以在的右支上，
所以，所以，故③正確；
對于④，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點，聯(lián)立可得，
因為直線與雙曲線交于左支的兩點，
所以，解得或，故④正確．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以5分
（2）由（1）可得，，①
，②
得，
所以， 10分
18．【解析】（1）由題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取得最值，
則有，得，
化為，所以，所以，
則其單調(diào)遞增區(qū)間為． 6分
（2）設(shè)各角對應(yīng)的邊分別為，當(dāng)時，得，
又，所以，得，由及，得，
所以，則． 12分
19．【解析】（1）存在，點為中點，理由如下：
取線段的中點，連接．
，∴四邊形是平行四邊形，．
又平面平面平面．
分別為的中點，是的中位線，．
平面平面平面．
平面，∴平面平面．
平面平面．5分
（2），可得，
以為坐標原點，以的正方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題可知，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則可以取，
設(shè)平面的一個法向量為，
則可以取，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
∴平面與平面夾角的余弦值為． 12分
20．【解析】（1）樣本中得分位于的共有4人，得分位于的有3人，
記事件：第一次抽出1名學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)，
記事件：后兩次抽出的2名學(xué)生分數(shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，
則，
由條件概率公式可得． 6分
（2）由題意知，所有參賽學(xué)生中分數(shù)在的概率為，且，
所以的可能取值有0，1，2，3，
故，
；
故的分布列如下，
． 12分
21．【解析】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，
依題意可得，即，即，解得，
所以橢圓，則橢圓伴隨雙曲線的方程為． 4分
（2）由（1）可知，設(shè)直線的斜率為，，
則直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立并消去得，
則，所以，則，
又，又，
所以，解得或（舍去），
又，
所以
，
因為，所以．12分
22．【解析】（1）證明：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，且，
所以當(dāng)時，，且時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以，對．4分
（2）法一：若函數(shù)在上存在極值，
則在上存在零點．
①當(dāng)時，為上的增函數(shù)，
，
則存在唯一實數(shù)，使得成立，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以為函數(shù)的極小值點；
②當(dāng)時，在上恒成立，
函教在上單調(diào)遞增，在上無極值；
③當(dāng)時，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上無極值．
綜上知，使在上存在極值的的取值范圍是．12分
法二：若函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點，
令，則，令，
方程在上有實根，即函數(shù)與函數(shù)在上有交點．
由，得，
顯然，在上單調(diào)遞減，
則，
所以，當(dāng)時，若與有交點，則的取值范圍是．
即當(dāng)時，存在唯一實數(shù)，使得成立，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以為函數(shù)的極小值點．分數(shù)區(qū)間
頻率
0.1
0.4
0.3
0.2
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
C
D
B
C
題號
9
10
11
12
答案
CD
BCD
AD
ACD
0
1
2
3

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