一、單選題
1．已知命題p：，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】全稱命題的否定定義可得.
【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，：，.
故選：C.
2．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式化簡集合B，再利用交集的定義計算作答.
【詳解】解不等式得：，即，而，
所以.
故選：A
3．若，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B、D的正誤，應(yīng)用特殊值法的情況判斷C的正誤.
【詳解】由，則，A正確；，B錯誤；，D錯誤.
當時，，C錯誤；
故選：A.
4．設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由隨機變量x服從正態(tài)分布，可得正態(tài)曲線的對稱軸為，然后對稱關(guān)系可求得結(jié)果
【詳解】解：因為隨機變量x服從正態(tài)分布，
所以正態(tài)曲線的對稱軸為，
因為，所以，得，
故選：C
5．隨機變量的分布列如下表所示，則
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)，求得，再由期望的計算公式，求得，進而求得，得到答案.
【詳解】由隨機變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，
則，
所以.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了隨機變量的分布列的性質(zhì)，以及隨機變量的期望的求解，其中解答中熟記分布列的性質(zhì)，以及數(shù)學期望的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.
6．展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．B．C．20D．40
【答案】D
【分析】求出展開式中和的系數(shù)，與中相應(yīng)項相乘相加可得．
【詳解】由題意常數(shù)項為：，
故選：D.
【點睛】本題考查二項式定理，考查求展開式中某一項系數(shù)．注意本題是兩個多項式相乘，因此所求系數(shù)要由多項式乘法法則計算．
7．對于任意的實數(shù)，定義表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分必要性分別判斷即可.
【詳解】若，則可設(shè)，則，，其中，
，，即“”能推出“”；
反之，若，，滿足，但，，即“”推不出“”，
所以“”是“”必要不充分條件，
故選：B.
8．組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法證明：分別求和的展開式中的系數(shù).前者的展開式中的系數(shù)為；后者的展開式中的系數(shù)為.因為，所以兩個展開式中的系數(shù)相等，即.請用“算兩次”的方法化簡式子
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】引入等式，分別計算的系數(shù)．
【詳解】因為，
在中的系數(shù)為，
又，
這個式子中的系數(shù)可由前一個括號中一項乘以后一個括號中的相應(yīng)項得出，即，
兩個式子中的系數(shù)應(yīng)相等，所以．
故選：A．
【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查“算兩次”的方法證明組合恒等式．解題關(guān)鍵是把組合恒等式兩邊的數(shù)看作出二項展開式中某一項的系數(shù)，這個二項式用一種方法展開得一個算法的系數(shù)，用另一種方法展開后又得到該項系數(shù)的另一種算法，兩種算法的結(jié)果相等，即得結(jié)論．
二、多選題
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1
B．樣本的回歸直線至少經(jīng)過其中一個樣本點
C．在回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位
D．在線性回歸模型中，用相關(guān)指數(shù)刻畫擬合效果，的值越小，模型的擬合效果越好
【答案】AC
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷A；由回歸直線方程的性質(zhì)可判斷B、C；由相關(guān)指數(shù)與擬合效果的關(guān)系判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】對于A：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故選項A正確；
對于B：樣本的回歸直線不一定經(jīng)過其中一個樣本點，一點經(jīng)過樣本中心點，故選項B不正確；
對于C：在回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位，故選項C正確；
對于D：用相關(guān)指數(shù)刻畫擬合效果，的值越大，模型的擬合效果越好，故選項D不正確；
故選：AC.
10．下列不等關(guān)系成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】A選項，根據(jù)的單調(diào)性得到；B選項，由單調(diào)性和中間值比較大?。籆選項，由的單調(diào)性比較出大??；D選項，先利用對數(shù)換底公式變形，再結(jié)合比較出大小.
【詳解】A選項，因為在上單調(diào)遞增，故，A錯誤；
B選項，，故，B正確；
C選項，因為在上單調(diào)遞增，故，C錯誤；
D選項，因為，
由于，所以，即，D正確.
故選：BD
11．對數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】AB選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，推出，再判斷二次函數(shù)，從開口方向和其中一根與1的比較，得到A可能，B不可能；CD選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，得到，再判斷二次函數(shù)，也是從開口方向和其中一根與1的比較，得到CD均不可能.
【詳解】選項A，B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項系數(shù)，其對應(yīng)方程的兩個根為0，，選項A中，由圖象得，從而，選項A可能；
選項B中，由圖象得，與相矛盾，選項B不可能．
選項C，D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；
選項C中，由圖象與x軸的交點的位置得，與相矛盾，選項C不可能．
故選：BCD．
12．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的一個周期為4
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．
【答案】ABD
【分析】A選項，根據(jù)為偶函數(shù)，得到；B選項，變形得到，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，得到，B正確；C選項，先得到的圖象關(guān)于軸對稱，結(jié)合函數(shù)的一個周期為4得到答案；D選項，利用函數(shù)周期性和對稱性求出答案.
【詳解】A選項，因為為偶函數(shù)，所以，
故，A正確；
B選項，因為，所以，
即，
又為偶函數(shù)，故，所以，
故的一個周期為4，B正確；
C選項，因為，所以的圖象關(guān)于軸對稱，
又的一個周期為4，故的圖象關(guān)于軸對稱，C錯誤；
D選項，因為，
因為，所以，
由B選項可知，的一個周期為4，
故
，D正確.
故選：ABD
三、填空題
13．若函數(shù)，則的極大值點為 .
【答案】2
【分析】求導，得到的解，進而得到函數(shù)單調(diào)性，求出極大值點.
【詳解】，
令，解得或6，
當或時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
故在取得極大值，故極大值點為2.
故答案為：2
14．若，，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】因為，，，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故答案為：
15．一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則 .
【答案】
【分析】設(shè)出一次函數(shù)的表達式，利用待定系數(shù)法解決.
【詳解】設(shè)，則，
，
則.又在上單調(diào)遞增，即，
所以，，則.
故答案為：
四、雙空題
16．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則 ，關(guān)于的不等式的解集為 ．
【答案】 1
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)為奇函數(shù)即可得到，然后求導即可得到，從而得到其單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.
【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，
則由的任意性可得，
所以，則．
因為，所以，則在上單調(diào)遞減．
由，得，
則，解得．
故答案為：；.
五、解答題
17．求值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)10
【分析】根據(jù)指對冪的運算規(guī)則計算.
【詳解】（1）
；
（2）原式；
綜上，（1）原式=3；（2）原式=10.
18．為了提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素對本校學生體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學生是否喜歡體育鍛煉的情況進行調(diào)查，得到下表：
在本次調(diào)查中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的.
(1)求的值；
(2)能否有的把握認為學生的性別與喜歡體育鍛煉有關(guān)？
【答案】(1)
(2)沒有的把握認為學生的性別與喜歡體育鍛煉之間有關(guān)聯(lián).
【分析】（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)比和表中數(shù)據(jù)直接求解；
（2）補全上述列聯(lián)表，利用獨立性檢驗求解.
【詳解】（1）由題可知
解得.
（2）根據(jù)列聯(lián)表及（1）中數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表，
經(jīng)計算得到.
所以沒有的把握認為學生的性別與喜歡體育鍛煉之間有關(guān)聯(lián).
19．給定函數(shù)，，，用表示，中的較大者，記為.
(1)求函數(shù)的解析式并畫出其圖象；
(2)對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，作圖見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解并畫出圖象即可；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用分類討論思想，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】（1）①當即時，，則，
②當即或時，，則，
故
圖象如下：
（2）由（1）得，當時，，
則在上恒成立等價于在上恒成立.
令，，
原問題等價于在上的最小值.
①當即時，在上單調(diào)遞增，
則，故.
②當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，由時，，故不合題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
20．經(jīng)過考察，某公司打算對兩個項目進行投資，經(jīng)測算，投資項目（百萬元）與產(chǎn)生的經(jīng)濟效益之間滿足：（百萬元），投資項目與產(chǎn)生的項目經(jīng)濟效益之間滿足：（百萬元）.
（1）公司現(xiàn)有1200萬資金可供投資，應(yīng)如何分配資金使得投資收益總額最大；
（2）若投資百萬元的某項目產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為百萬元，設(shè)投資該項目的邊際效應(yīng)函數(shù)為，其邊際效應(yīng)值小于0時，不建議投資該項目，那么對項目與應(yīng)如何投資，才能使得經(jīng)濟效益最好？
【答案】（1）A、B項目各6百萬，收益最大為3400萬；（2）A、B項目各550萬.
【解析】（1）利用兩種投資效益的和確定函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)配方法，得出結(jié)論；
（2）利用投資邊際效應(yīng)函數(shù)，分別解不等式求兩種投資方案投資額度的范圍，即可得結(jié)論．
【詳解】（1）投資項目（百萬元），則投資投資項目（百萬元），
投資收益總額
，時取最大值，
即投資項目6百萬，投資項目6百萬，收益總額最大為萬元．
（2）若投資項目（百萬元），則，解得，投資項目550萬元，
若投資項目（百萬元），則，解得，應(yīng)投資項目550萬元．
即兩個項目各投資550萬元時，經(jīng)濟效益最好.
【點睛】本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實際中的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．
21．水平相當?shù)募住⒁覂申犜谀炒闻徘驔Q賽比賽中相遇，決賽采用五局三勝制，勝者獲得全部獎金．
(1)求需要進行五局比賽才能結(jié)束的概率；
(2)若前3局打成2∶1時，比賽因故終止．有人提議按2∶1分配獎金，請利用相關(guān)數(shù)學識解釋這樣分配是否合理？
【答案】(1)
(2)不合理，理由見解析
【分析】（1）由進行五局比賽結(jié)束的情況為前四局{甲兩勝，乙兩勝，最后一局甲勝}、{甲兩勝，乙兩勝，最后一局乙勝}，利用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
（2）根據(jù)前3局2:1時，利用獨立乘法公式求出勝2局者和勝1局者分別獲勝的概率，即可判斷分配是否合理.
【詳解】（1）由題意，任意一局甲勝概率為，乙勝的概率為，進行五局比賽結(jié)束，
若第五局甲勝，則前四局{甲兩勝，乙兩勝}，
此時，
若第五局乙勝，則前四局{甲兩勝，乙兩勝}，
此時，
綜上，需要進行四局比賽才能結(jié)束的概率為.
（2）不合理，理由如下：
前3局：若甲勝兩局，乙勝一局，
甲獲勝的情況為{第4局甲勝}、{第4局乙勝，第5局甲勝}，
故此情況下，甲獲勝的概率為，而乙獲勝概率為，
所以前3局勝2局者與勝1局者獎金分配應(yīng)為，故題設(shè)分配不合理.
22．已知函數(shù).
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義直接求解即可，
（2）對求導后，再令，再求導后可判斷在上單調(diào)遞增，而，所以分和兩種情況討論即可.
【詳解】（1）若，則，
所以
所以，又，
所以在處的切線方程為，即.
（2）由題意知，令，所以，
令，則
所以在上單調(diào)遞增，又，
當，即時，，所以在上單調(diào)遞增，
即上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；
當，即時，令，解得，
所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
所以在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意.
綜上，a的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)解決不等式恒成問題，第（1）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為當時，，所以利用導數(shù)求的最小值即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
體育鍛煉
性別
合計
男生
女生
喜歡
280
不喜歡
120
合計
0.05
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
體育鍛煉
性別
合計
男生
女生
喜歡
280
180
460
不喜歡
120
120
240
合計
400
300
700

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