?專題15?相似三角形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

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一、單選題
1．在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（????）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

A． B． C． D．
2．神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（????）

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割
3．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（????）

A． B．1 C． D．2
4．在中（如圖），點、分別為、的中點，則（????）

A． B． C． D．
5．將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片，其中，，，，，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（????）

A． B． C．10 D．
6．若，，，則（???）
A． B． C． D．
7．如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（????）

A． B． C． D．
8．如圖，在和中，，點A在邊的中點上，若，，連結(jié)，則的長為（????）

A． B． C．4 D．
9．的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（????）
A．54 B．36 C．27 D．21
10．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（????）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
11．如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（????）

A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
12．如圖，與位似，點為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（????）

A．4 B．6 C．9 D．16
13．如圖是一張矩形紙片，點E為中點，點F在上，把該紙片沿折疊，點A，B的對應點分別為與相交于點G，的延長線過點C．若，則的值為（????）

A． B． C． D．
14．如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（??）

A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
15．如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結(jié)論：
①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（????）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
16．如圖所示，在菱形中，對角線與相交于點，過點作交的延長線于點，下列結(jié)論不一定正確的是（????）

A． B．是直角三角形
C． D．
17．如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，作于點M，于點J，于點K，交于點L．若正方形與正方形的面積之比為5，，則的長為（????）

A． B． C． D．
18．如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（????）

A． B． C． D．

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二、填空題
19．在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為 米．

20．如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，，．若DE＝2，則BC的長是 ．

21．如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝ ．

22．如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是 ．

23．如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③當時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有 （填結(jié)論對應的序號）．

24．如圖，已知是內(nèi)的一點，，，若的面積為2，，，則的面積是 ．

25．如圖，已知菱形的邊長為2，，E為的中點，F(xiàn)為的中點，與相交于點G，則的長等于 ．

26．如圖，在矩形中，=6，=8，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接，過點作的垂線，垂足為．在這一運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是 ．

27．如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則 ．

28．如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則
（1）AB與CD是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE＝ ．

29．如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件 ，使．

30．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ，若，則 ．


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三、解答題
31．如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．

(1)若，求線段AD的長．
(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．








32．小東在做九上課本123頁習題：“1：也是一個很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點P，點P即為所求作的點．小東稱點P為線段AB的“趣點”．

(1)你贊同他的作法嗎？請說明理由．
(2)小東在此基礎上進行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點D為線段AC上的動點，點E在AB的上方，構(gòu)造DPE，使得DPE∽CPB．
①如圖3，當點D運動到點A時，求∠CPE的度數(shù)．
②如圖4，DE分別交CP，CB于點M，N，當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），猜想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由．








33．如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．

(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數(shù)量關系，并說明理由；
①點在線段的延長線上且；
②點在線段上且．
(2)若．
①當時，求的長；
②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．








34．（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．

①若，，求BC的長；
②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．









35．如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．

(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．
(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．
(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．









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四、證明題
36．華師版八年級下冊數(shù)學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案．
2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．
證明：設CE與DF交于點O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

某數(shù)學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究
(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．

(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．

(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．

37．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．

(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．
①若，，求S的值；
②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．
(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關系，并說明理由．
38．如圖，四邊形為菱形，點E在的延長線上，．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
39．
(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．
(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．
40．問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．

(1)先將問題特殊化．如圖（2），當時，直接寫出的值；
(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．
問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．
41．如圖，和的頂點重合，，，，．

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關系是______；
(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點，當時，求的值．
42．綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；
問題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；
（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．
43．問題背景：
一次數(shù)學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．

(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；
(2)應用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．
44．已知正方形，為對角線上一點．

(1)【建立模型】如圖1，連接，．求證：；
(2)【模型應用】如圖2，是延長線上一點，，交于點．
①判斷的形狀并說明理由；
②若為的中點，且，求的長．
(3)【模型遷移】如圖3，是延長線上一點，，交于點，．求證：．

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五、作圖題
45．【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？
【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；
【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以為斜邊的等腰直角三角形；
【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．
（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）


參考答案：
1．B
【分析】設雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得求解即可．
【詳解】解：設雕像的下部高為x m，則上部長為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
雷鋒雕像為2m，
∴??
∴，
即該雕像的下部設計高度約是1.24m，
故選：B．
【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關鍵．
2．D
【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．
【詳解】解：動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割．
故選：D
【點睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約等于0.618，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．熟知黃金分割的定義是解題關鍵．
3．C
【分析】過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】解：過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，
根據(jù)題意得，
∵，
∴，
又∵，
∴

故選：C
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的應用，作出適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
4．D
【分析】證出是的中位線，由三角形中位線定理得出，，證出，由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)論．
【詳解】解：點、分別為、的中點，
是的中位線，
，，
，
．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．
5．A
【分析】根據(jù)題意，畫出相應的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出剪掉的兩個直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個選項符合題意．
【詳解】解：當△DFE∽△ECB時，如圖，

∴，
設DF=x，CE=y，
∴，解得：，
∴，故B選項不符合題意；
∴，故選項D不符合題意；
如圖，當△DCF∽△FEB時，

∴，
設FC=m，F(xiàn)D=n，
∴，解得：，
∴FD=10，故選項C不符合題意；
，故選項A符合題意；
故選：A
【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的方法解答．
6．D
【分析】根據(jù)△ABC∽△DEF，可以得到然后根據(jù)BC=6，EF=4，即可求解．
【詳解】解：∵
∴
，，

故選D
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
7．B
【分析】先判定，得到相似比為，再根據(jù)兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此解題即可．
【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點，
∴，
又∵，
∴，相似比為，
∴，
故選：B．
【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
8．D
【分析】過點E作EF⊥BC，交CB延長線于點F，過點A作AG⊥BE于點G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，∠BED=45°，進而得到，，，再證得△BEF∽△ABG，可得，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥BC，交CB延長線于點F，過點A作AG⊥BE于點G，

在中，∠BDE=90°，，
∴，∠BED=45°，
∵點A在邊的中點上，
∴AD=AE=1，
∴，
∴，
∵∠BED=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠F=90°，
∴EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABG，
∴△BEF∽△ABG，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故選：D
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．
9．C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，
∴兩個相似三角形的相似比為1:3，
∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，
∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關鍵．
10．C
【分析】根據(jù)平行得到，根據(jù)相似的性質(zhì)得出，再結(jié)合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結(jié)論．
【詳解】解：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．
11．A
【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比即可求解．
【詳解】解：∵與位似
∴
∵與的位似比是1:2
∴與的相似比是1:2
∴與的周長比是1:2
故選：A．
【點睛】本題考查了位似變換，解題的關鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．
12．B
【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計算即可．
【詳解】設的周長是x，
∵ 與位似，相似比為，的周長為4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故選：B．
【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關鍵．
13．A
【分析】令BF=2x，CG=3x，F(xiàn)G=y，易證，得出，進而得出y=3x，則AE=4x，AD=8x，過點E作EH⊥BC于點H，根據(jù)勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【詳解】解：過點E作EH⊥BC于點H，
又四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四邊形ABHE和四邊形CDEH為矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵，
∴令BF=2x，CG=3x，F(xiàn)G=y，則CF=3x+y，，，
由題意，得，
又為公共角，
∴，
∴，
則，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，
則EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．
故選：A．

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求邊長等知識，借助于相似三角形找到y(tǒng)=3x的關系式是解決問題的關鍵．
14．D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷A，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，進而判斷B，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進而判斷C選項，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)平行線線段成比例，可判斷D選項
【詳解】BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，


故A選項正確，
將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，
，
,

故B選項正確，
,
∴EG∥HF，
故C正確
設，則，
，


即

，同理可得
若
則
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正確．
故選D
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關鍵．
15．D
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點E作交FD于點M，求出，再證明，即可知④正確．
【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵為正方形，，，在同一直線上，
∴，
∴，故①正確；
∵旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
設正方形邊長為a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正確；
過點E作交FD于點M，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正確
綜上所述：正確結(jié)論有4個，
故選：D
【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，結(jié)合圖形求解．
16．D
【分析】由菱形的性質(zhì)可知，，由兩直線平行，同位角相等可以推出，再證明，得出，，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可以得出．現(xiàn)有條件不足以證明．
【詳解】解：∵在菱形中，對角線與相交于點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B選項正確；
∵，，
∴，
∴，
∴，，故A選項正確；
∴BC為斜邊上的中線，
∴，故C選項正確；
現(xiàn)有條件不足以證明，故D選項錯誤；
故選D．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，難度一般，由菱形的性質(zhì)得出，是解題的關鍵．
17．C
【分析】設CF交AB于P，過C作CN⊥AB于N，設正方形JKLM邊長為m，根據(jù)正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，得AF=AB=m，證明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，設AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，F(xiàn)L=2m，從而可得AP=，F(xiàn)P=m，BP=，即知P為AB中點，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設CF交AB于P，過C作CN⊥AB于N，如圖：

設正方形JKLM邊長為m，
∴正方形JKLM面積為m2，
∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，
∴正方形ABGF的面積為5m2，
∴AF=AB=m，
由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL=FM，
設AL=FM=x，則FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（m）2，
解得x=m或x=-2m（舍去），
∴AL=FM=m，F(xiàn)L=2m，


AP=，

∴AP=BP，即P為AB中點，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
即
∴CN=m，PN=m，
∴AN=AP+PN=
tan∠BAC=，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，




故選：C．
【點睛】本題考查正方形性質(zhì)及應用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是用含m的代數(shù)式表示相關線段的長度．
18．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出AB，再根據(jù)外徑的長度解答．
【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外徑為10cm，
∴9+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長．
19．/
【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．
【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案為：（）．
【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關鍵．
20．6
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)DE=2，進而得到BC長．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝2，
∴，
∴；
故答案為：6．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)進行計算．
21．8
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，則DE為中位線，
所以DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC
∴
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=8
故答案為：8．
【點睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學生對三角形中位線及平行線性質(zhì)等知識點的掌握．
22．
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為，再結(jié)合三角形的周長比等于相似比即可得到結(jié)論．
【詳解】解：和是以點為位似中心的位似圖形，
，
，
，
，
根據(jù)與的周長比等于相似比可得，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．
23．①②③
【分析】依題意知，和是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明， 可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為，故最小時面積最小，即，等腰三角形三線合一，D為中點時 .
【詳解】∵繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度得到
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①對
∵和是頂角相等的等腰三角形
∴
故②對
∴
即AD最小時最小
當時，AD最小
由等腰三角形三線合一，此時D點是BC中點
故③對
故答案為：①②③
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關鍵 .
24．12
【分析】延長EF、DF分布交AC于點M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關系，從而得到三角形的面積關系即可求解．
【詳解】解：如圖所示：延長EF、DF分布交AC于點M、N，

，，，，
，
，
令，則，
，
，
，
，
，
設，
，
，
，
求出,
，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對應線段成比例進行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關鍵．
25．
【分析】連接FB，作交AB的延長線于點G．由菱形的性質(zhì)得出，，解直角求出，，推出FB為的中位線，進而求出FB，利用勾股定理求出AF，再證明，得出．
【詳解】解：如圖，連接FB，作交AB的延長線于點G．

∵四邊形是邊長為2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E為的中點，
∴，
∴，即點B為線段EG的中點，
又∵F為的中點，
∴FB為的中位線，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，添加輔助線構(gòu)造直角是解題的關鍵．
26．/
【分析】根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，且 點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為的長，求出BQ及的圓角，運用弧長公式進行計算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵點、分別是邊、的中點，
連接MN，則四邊形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
當點E與點A重合時，則NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由題意得，點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為長，取BQ中點O，連接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴，
∴，
∴的長為=
故答案為：
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知識，判斷出點H運動的路徑長為長是解答本題的關鍵．
27．
【分析】易證△AEF∽△ABC，得即即可求解．
【詳解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即
∵，，，
∴，
∴EF=，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關鍵．
28． 是 /
【分析】（1）證明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，證明∠CEA=90°，即可得到結(jié)論；
（2）利用勾股定理求得AB的長，證明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，??
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB與CD是垂直的，
故答案為：是；
（2）AB=2，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴，即，
∴，
∴AE=AB=．
故答案為：．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
29．∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應成比例也可以判定．
【詳解】解∶∵∠A=∠A，
∴根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；
根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等，可添加條件證相似．
故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【點睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．
30．
【分析】通過∠DFQ=∠DAQ=45°證明A、F、Q、D四點共圓，得到∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，利用等角對等邊證明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出，通過有兩個角分別相等的三角形相似證明，得到，將BQ代入DE、FQ中即可求出．
【詳解】連接PQ，

∵繞點D順時針旋轉(zhuǎn)與完全重合，
∴DF=DE，∠EDF=90°，，
∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，
∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠DAQ=∠BAQ=45°，
∴∠DFQ=∠DAQ=45°，
∴∠DFQ、∠DAQ是同一個圓內(nèi)弦DQ所對的圓周角，
即點A、F、Q、D在同一個圓上（四點共圓），
∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，
∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，
∴FQ=DQ=EQ，
∵A、B、C、D是正方形頂點，
∴AC、BD互相垂直平分，
∵點Q在對角線AC上，
∴BQ=DQ，
∴BQ=DQ=FQ=EQ，
∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE，
∴∠AQF=∠CDE，
∵∠FAQ=∠PED=45°，
∴，
∴，
∴，
∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題綜合考查了相似三角形、全等三角形、圓、正方形等知識，通過靈活運用四點共圓得到等弦對等角來證明相關角相等是解題的巧妙方法．
31．(1)2
(2)6

【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；
（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．
【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關鍵．
32．(1)贊同，理由見解析，
(2)①，②點N是線段ME的“趣點”，理由見解析

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明 再利用 從而可得結(jié)論；
（2）①由題意可得： 再求解 證明 從而可得答案；②先證明可得 再證明 從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：贊同，理由如下：
等腰直角三角形ABC，




∴點P為線段AB的“趣點”．
（2）①由題意可得：



DPE∽CPB，D，A重合，


②點N是線段ME的“趣點”，理由如下：
當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），
而









同理可得：




點N是線段ME的“趣點”．
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，理解新定義的含義，掌握特殊的幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關鍵．
33．(1)①②
(2)①②4

【分析】（1）①算出各個內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；
②算出各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出；
（2）①分別過點A，E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似，即，設，，利用30°直角三角形的三邊關系，分別表示出，，，，列式求解a即可；
②分別過點A，E作BC的垂線，相交于點G，H，證明可得，然后利用完全平方公式變形得出，求出AE的取值范圍即可．
【詳解】（1）①∵在中，，
∴
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴；
②如圖：

∵
∴，
∴在中，
∴
∴；
（2）①分別過點A，E作BC的垂線，相交于點H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，

∴∠GED＋∠GDE＝90°，
∵∠HDA＋∠GDE＝90°，
∴∠GED＝∠HDA，
∴，
設，，則，，
在中，，AB=6
則，
在中，，
則
在中，，
∴
∴
由得，
即
解得：，（舍）
故；
②分別過點A，E作BC的垂線，相交于點G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，

∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，
∵∠EHD＝∠AGD＝90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∴=，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故AE的最小值為4.
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一線三垂直相似模型，垂線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，垂線段最短原理是解題的關鍵．
34．（1）①；②是定值，定值為1；（2）
【分析】（1）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
②由，可得，由①同理可得，計算；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得，又，則，可得，設，則．證明，可得，過點D作于H．分別求得，進而根據(jù)余弦的定義即可求解．
【詳解】（1）①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值為1．
（2）∵，


∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
設，則．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如圖，過點D作于H．

∵，
∴．
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
35．(1)見解析
(2)或
(3)或

【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；
（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如圖，當FH=BH時，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如圖，當FH=BF=nBE時，

，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
綜上所述，的值為或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關鍵．
36．(1)1；證明見解析
(2)
(3)

【分析】（1）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．
（2）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對應邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．
（3）先證是等邊三角形，設，過點，垂足為，交于點，則，在中，利用勾股定理求得的長，然后證，利用相似三角形的對應邊對應成比例即可求解．
【詳解】（1），理由為：
過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，
∴AM＝HF，AN＝EG，

在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案為：
（3）解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴設，
過點，垂足為，交于點，則，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．

【點睛】此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難度較大，是一道難題．
37．(1)①6；②見解析
(2)，理由見解析

【分析】（1）①將面積用a，b的代數(shù)式表示出來，計算，即可
②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN∽△ANB，利用，得到a，b的關系式，化簡，變形，即可得結(jié)論
（2）等邊與等邊共頂點B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的對應邊，對應角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，從而得到∠FEC＝30°，再利用，，得到a與b的關系，從而得到結(jié)論
【詳解】（1）∵，
∴b＝3，a＝4
∵∠ACB＝90°
∴
②由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，
∵FH⊥AB
∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB
∴△FAN∽△ANB
∴
∴，
得：
∴．
即
（2），理由如下：
∵△ABF和△BEC都是等邊三角形
∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB
∴△ABC≌△FBE（SAS）
∴AC＝FE＝b
∠FEB＝∠ACB＝90°
∴∠FEC＝30°
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a
∴
∴
∴
由題意得：，
∴
∴
【點睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運算，本題難點是圖二中的相似和圖三中的手拉手全等
38．(1)見解析
(2)AE=9

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊對等角，結(jié)合，得出，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)進行計算，即可得出AE的值．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
即，
解得：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出，是解題關鍵．
39．(1)證明見詳解
(2)
(3)

【分析】（1）利用，證明，利用相似比即可證明此問；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小問的思路，延長交于點M，連接，作，垂足為N．構(gòu)造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如圖，延長交于點M，連接，作，垂足為N．

在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關鍵．
40．(1)[問題提出]（1）；（2）見解析
(2)[問題拓展]

【分析】[問題探究]（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，求得，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，即可求解；
（2）取的中點，連接．證明，可得，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進而可得；
[問題拓展]方法同（2）證明，得出，，證明，得到，進而可得．
【詳解】（1）[問題探究]：（1）如圖，

中，，是的中點，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）證明：取的中點，連接．

∵是的中點，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）[問題拓展]如圖，取的中點，連接．

∵是的中點，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．



，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
41．(1) ，垂直
(2)成立，理由見解析
(3)

【分析】（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論不變，證明，推出，，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過點作于點，設交于點，過點作于點求出，，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此時，
故答案為：，垂直；
（2）結(jié)論成立．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如圖3中，過點作于點，設交于點，過點作于點．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，，
當時，四邊形是矩形，
∴，，
設，則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
42．（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由三角形中位線定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；
（2）證明△NDC是等腰三角形，過點N作NG⊥BC于點G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．
理由如下：∵點M為AB的中點，點D為BC的中點，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四邊形AMDN為矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵點D是BC的中點，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
過點N作NG⊥BC于點G，則∠CGN=90°．

∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，

∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中點，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
設AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴線段AN的長為．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
43．(1)詳見解析
(2)①DE=；②

【分析】（1）利用AB∥CE，可證得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；
（2）利用（1）中的結(jié)論進行求解表示即可．
【詳解】（1）解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折疊可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【點睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運用，靈活轉(zhuǎn)化比例關系是解題的關鍵．
44．(1)見解析
(2)①等腰三角形，見解析；②
(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明即可．
（2）①根據(jù)（1）的證明，證明∠FBG=∠FGB即可．
②過點作，垂足為.利用三角函數(shù)求得FH，AH的長度即可．
(3)證明 即可．
【詳解】（1））證明：∵四邊形為正方形，為對角線，
∴，.
∵，
∴，
∴.
（2）①為等腰三角形.理由如下：
∵四邊形為正方形，
∴，
∴.
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴為等腰三角形.
②如圖1，過點作，垂足為.
∵四邊形為正方形，點為的中點，，
∴，.
由①知，
∴，
∴.
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴.
在中，.

（3）如圖2，∵，
∴.
在中，，
∴.
由（1）得，
由（2）得，
∴.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應用，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理和三角函數(shù)是解題的關鍵．
45．見解析
【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；
【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；
【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓, 與垂直平分線的交點為M，然后以O為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求．
【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；

【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；

【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓, 與垂直平分線的交點為M，然后以O為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧CD即為所求．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．

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