?專題15?圓中常作的輔助線
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一、單選題
1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．
2．如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（????）

A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分
C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線
3．如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（???）

A．3 B． C． D．
4．如圖，點(diǎn)、、在圓上，若弦的長(zhǎng)度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是（????）

A． B． C． D．

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二、填空題
5．如圖，在中，，，則的度數(shù)為 ．

6．如圖，與軸交于點(diǎn)，，與軸的正半軸交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為 ．

8．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r= ．

9．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB=，點(diǎn)C在弦AB上，4AC= AB，則OC的長(zhǎng) .

10．如圖，四邊形內(nèi)接于，連接．若，，則的大小是 度．


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三、解答題
11．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．且 ．
（1）求證：AE＝BF；
（2）作半徑ON⊥AB于點(diǎn)M，若AB＝12，MN＝3，求OM的長(zhǎng)．

12．已知：如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心、AC為半徑作，交AB于點(diǎn)D，求的度數(shù)．

13．如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圓O的半徑長(zhǎng)．

14．如圖，是的兩條弦，且，若，求的半徑．

15．如圖1，已知為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)， 平分 ，于點(diǎn)D，并與⊙O交于點(diǎn)E．

(1)求證： 是⊙O的切線；
(2)若 ， ，求⊙O的半徑；
(3)如圖2，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接 ，在（2）的條件下，求 的長(zhǎng)．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）求線段AC的長(zhǎng)．

17．如圖，為外接圓的直徑，且．

(1)求證：與相切于點(diǎn)A；
(2)若，，，求的直徑．
18．如圖，⊙O經(jīng)過(guò)菱形ABCD的B，D兩頂點(diǎn)，分別交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．
（1）求證AE＝AH；
（2）連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，若BD是⊙O的直徑，求證：四邊形EFGH是矩形．

19．如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，連結(jié)OA，此時(shí)有OA∥PE．
（1）求證:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的長(zhǎng)．

20．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC， 點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)．
（1）如圖①，若∠BAC=40°BD為⊙O的直徑，連接CD，求∠DBC和∠ACD的大?。?br /> （2）如圖②，若CD∥BA，連接AD，延長(zhǎng)OC到E，連接DE．使得3∠BAC-∠E=90°，判斷DE與⊙O關(guān)系并證明．

21．如圖，AB是的直徑，點(diǎn)D在直徑AB上（D與A，B不重合），，且，連接CB，與交于點(diǎn)F，在CD上取一點(diǎn)E，使．

(1)求證：EF是的切線：
(2)連接AF，若D是OA的中點(diǎn)，，求CF的長(zhǎng)．

參考答案：
1．C
【分析】連接OC、OB，根據(jù)圓周角定理以及OC=OB可以證得△OBC是等邊三角形，即可求出BC，再在Rt△CDB中利用45°角即可求出CD．
【詳解】連接OC、OB，如圖，

∵∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∴BC=OC=2，
∵∠CBA=45°，CD⊥AB，
∴在Rt△CDB中，BC=CD，
∴CD=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解含特殊角的直角三角形等知識(shí)，構(gòu)造圓心角，利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無(wú)法證明與相互垂直平分，即可得出答案．
【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，

∵B，C為切點(diǎn)，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴為等腰三角形，故A正確；
∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，
∴PM=OM=BM=AM
∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA為等腰三角形，
∴為的邊上的中線，故D正確；
無(wú)法證明與相互垂直平分，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
3．D
【分析】由題意知，又長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長(zhǎng)，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．
【詳解】解：

取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓
由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短




點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)
在中，
是等邊三角形

在中，
．

【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問(wèn)題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．
4．B
【分析】連接OA，OB，并作OC⊥AB于C點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，設(shè)圓的半徑為，則，，由此可得，從而得出，以及，最終根據(jù)圓周角定理即可得出的度數(shù)．
【詳解】連接OA，OB，并作OC⊥AB于C點(diǎn)，
根據(jù)垂徑定理，可得，，
設(shè)圓的半徑為，則，，
∴，則，
∴，
根據(jù)圓周角定理，，
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，圓周角定理以及已知正弦值求角度，熟練運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行輔助線構(gòu)造以及特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．
5．/55度
【分析】連接，，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系求出，進(jìn)而求解．
【詳解】解：連接，，

則，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線求解．
6．
【分析】連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由垂徑定理得到，解直角三角形得到，，根據(jù)勾股定理得到的長(zhǎng)，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，于，

，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7．4．
【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，

，，
，
，
，
是直徑，
，
∴∠CAD=30°，
又∵AD=8，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
8．1
【詳解】如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與各邊相切于D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，

則OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
設(shè)半徑為r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑為 1，
故答案為1．
9．/
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理可得，結(jié)合勾股定理即可求解.
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，

∵


∵⊙O的半徑為2，
即OB=2，
∴在中,??
在中,
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.
10．130
【分析】根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
11．（1）見解析；（2）．
【分析】（1）連接OA、OB，證明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）連接OA，由垂徑定理得出AM＝AB＝6，設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】（1）證明：連接OA、OB，如圖1所示：

∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：連接OA，如圖2所示：

∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
12．50°．
【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，則有，由題意易得，進(jìn)而可得的度數(shù)為，然后問(wèn)題可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，

，
又，，
，
的度數(shù)為，
的度數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理及圓心角與弧的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理及圓心角與弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．弦CD的長(zhǎng)為6，⊙O的半徑長(zhǎng)為
【分析】過(guò)點(diǎn)作于，連接解，得到,根據(jù)求得的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理即可求出弦的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出圓的半徑．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，連接

∵
∴.
在中，
??
∴，．
∵，
∴．
∵過(guò)圓心，
∴，
∴，
∵
∴在中，，
∴ 弦CD的長(zhǎng)為，⊙O的半徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】屬于圓的綜合題，考查解直角三角形，勾股定理，垂徑定理等，題目比較基礎(chǔ)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】連接，由圓周角定理得是的直徑，由勾股定理求出，則．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵，
∴是的直徑，，
∴，
即的半徑為．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理；熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．(1)見解析
(2)13
(3)

【分析】（1）連接，利用角平分線的性質(zhì)，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解得即可．
（2）連接 ，過(guò)點(diǎn) 作 與點(diǎn) ，利用切割線定理，垂徑定理和矩形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）連接 ， ， ，過(guò) 作 與點(diǎn)H，利用（2）的結(jié)論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖

平方





與點(diǎn)D

為的⊙O半徑
是⊙O切線
（2）解：連接 ，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，如圖，

則
由（1）知，是⊙O的切線

，




由（1）知，

四邊形是矩形


（3）解：連接，，，過(guò) 作 與點(diǎn)H，如圖，

由（2）知：⊙O的半徑為13，

為的⊙O直徑


為 中點(diǎn)





為等腰直角三角形




【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，切割線定理，圓的切線定理以及平行線的判定，熟練掌握這些定理和性質(zhì)并且畫對(duì)輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（1）證明見解析；（2）8
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知DE=DC和（1）的結(jié)論可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半徑DB=DF，得證Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），進(jìn)而得證EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8．
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F；

∵AB為⊙D的切線，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC與圓D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=5+3=8．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定，直角三角形全等的判定與性質(zhì)．
17．(1)見解析
(2)4

【分析】（1）連接半徑，由等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出．即可證出結(jié)論；
（2）連接，連接交于點(diǎn)H，證出，，分別在，中通過(guò)勾股定理即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：連接，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，即，
∴，即，
∴，
又∵為的半徑，
∴與相切于點(diǎn)A；
（2）解：連接，連接交于點(diǎn)H，

∵，，
∴，
∴，，
在中，
，
在中，設(shè)，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即的直徑為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理，切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
18．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）連接DE、BH，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明△ADE≌△ABH即可；
（2）連接DE，DF，根據(jù)圓的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后運(yùn)用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形完成證明．
【詳解】（1）證明：連接DE、BH，
??????∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．??
∵AE＝AH．??

（2）連接DE，DF．
??????∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同樣的方法可證CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可證FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四邊形EFGH是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，??
∴∠FEH＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，熟練菱形的性質(zhì)，矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
19．（1）見解析（2）
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EPO=∠AOP，由射線PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根據(jù)等量代換即可證明；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH=12，從而求得PH，在中，應(yīng)用勾股定理求得OH，進(jìn)一步即可求得OP．
【詳解】（1）證明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，

根據(jù)垂徑定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，

由勾股定理得：

則OP的長(zhǎng)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，垂徑定理，是圓部分的綜合題，要熟記各知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理是本題的關(guān)鍵．
20．（1）50°，20°；（2）DE為⊙O的切線，證明見解析．
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=70°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BCD=90°，∠D=40°，利用互余計(jì)算出∠DBC的度數(shù)，利用圓周角定理計(jì)算∠ABD的度數(shù)，從而得到∠ACD的度數(shù)；
（2）連接AO，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，證明∠OCA=∠OAC=∠BAC，連接OD，證明3∠BAC+∠COD=180?減去3∠BAC-∠E=90°即可進(jìn)一步證明結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=×（180°-40°）=70°，
∵BD為直徑，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠BAC=40°，
∴∠DBC=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-50°=20°；
（2）DE為⊙O的切線．
證明：如圖，連接AO，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，

∵AB=AC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC=∠BAC
連接OD，
∵OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=∠OCA+∠ACD
∵AB//CD
∴∠ACD=∠BAC
∴∠OCD=∠ODC=
∴∠OCD+∠ODC+∠COD=3∠BAC+∠COD=180?①
∵3∠BAC-∠E=90°
∴①-②得：∠COD+∠E=90?
∴,即
∴DE為⊙O的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
21．(1)見解析
(2)

【分析】（1）連接OF和AF，證明∠GFE=∠AGD，進(jìn)而可證明∠OFE=90°后即可求解；
（2）先由AB=CD=8，BD=6，在Rt△BCD中結(jié)合勾股定理求出BC，再證△ABF∽△CBD，由對(duì)應(yīng)邊成比例求出BF的長(zhǎng)，最后用BC減去BF就是所求的CF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：連接OF和AF，設(shè)AF與DC相交于點(diǎn)G，如下圖所示：

∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°，
又∵EC=EF，
∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE，
又∵∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADG=90°，
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圓O的切線；
（2）解：∵D是OA的中點(diǎn)，且AB=8，
∴DO=2，BD=BO+DO=6，
又∵AB=CD=8，
∴在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2=102，
∴BC=10，
∵∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入數(shù)據(jù)后得：，
∴，
∴，
∴CF的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓的切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握其定理及性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．

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