中考數(shù)學二輪復習核心考點專題專題22相似三角形與函數(shù)的綜合含解析答案-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題22?相似三角形與函數(shù)的綜合
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

評卷人
得分

一、單選題
1．如圖，在平面直角坐標系中，中，其中，，點D在反比例函數(shù)圖象上，且，以為邊作平行四邊形，其中點F在反比例函數(shù)圖象上，點E在x軸上，則點E的橫坐標為（????）．

A． B． C．3 D．

評卷人
得分

二、解答題
2．如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經(jīng)過、兩點．
　
(1)求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標；
(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；
(3)如圖（2），點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，直接寫出的長．
3．如圖（1），矩形ABCD中，動點P在AD邊上由點A向終點D運動，設(shè)AP＝x，△PAB的面積為y，整個平移過程中若y與x存在函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，點A關(guān)于BP的對稱點為Q，連接BQ、PQ．
（1）直接寫出AD的長是______，AB的長是______；
（2）當點Q落在矩形ABCD的對角線上時，求x的值．
　　　
4．如圖，二次函數(shù)（m是實數(shù)，且）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），其對稱軸與x軸交于點C．已知點D位于第一象限，且在對稱軸上，，點E在x軸的正半軸上，，連接并延長交y軸于點F，連接．

(1)求A、B、C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示）；
(2)已知點Q在拋物線的對稱軸上，當?shù)闹荛L的最小值等于時，求m的值．
5．如圖，二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)①求證：；
②求；
(3)當時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標．
6．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線交于B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

7．如圖，點和點是反比例函數(shù)圖像上的兩點，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接．已知與的面積滿足．

(1)求；
(2)已知點在線段上，當時，求點的坐標．
8．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點C，點A的坐標為，點D為的中點，點P在拋物線上．

(1)______；
(2)若點P在第一象限，過點P作軸，垂足為與分別交于點是否存在這樣的點P，使得，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
9．如圖所示，二次函數(shù)y＝k（x﹣1）2+2的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣k+2的圖象交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中k＜0．
（1）求A、B兩點的橫坐標；
（2）若△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數(shù)k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

評卷人
得分

三、填空題
10．如圖，A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝，過點B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點C，連接OC交AB于點D，則k＝；，＝．

參考答案：
1．C
【分析】如圖，作軸于H．利用相似三角形的性質(zhì)求出點D坐標，求出k的值以及點F坐標即可解決問題；
【詳解】解：如圖，作軸于H．

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵D在上，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴，
∴點E的橫坐標為3．
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
2．(1)，頂點坐標
(2)點橫坐標為或或或
(3)

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)，則，，則，由題意可得方程，求解方程即可；
（3）由題意可知Q點在平行于的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關(guān)于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立方程組，可求點，再求．
【詳解】（1）解：將點，代入
∴
解得
∴
∵，
∴頂點坐標；
（2）解：設(shè)直線的解析式為，
∴
解得
∴，
設(shè)，則，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
當時，整理得，
解得，，
當時，整理得，
解得，，
∴點橫坐標為或或或；
（3）解：∵，點與點關(guān)于軸對稱，
∴，
令，則，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴點在平行于的線段上，設(shè)此線段與軸的交點為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作點關(guān)于的對稱點，連接與交于點，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴，
同理可求直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴，
∵，
∴.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的方法，解絕對值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
3．（1）4，3；（2）或．
【分析】（1）由圖（2）可知當點P運動到D點時，AD=4，△ABD的面積為6，即可求出AB的長；
（2）當點Q落在AC上時，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可得BP⊥AQ，根據(jù)矩形的性質(zhì)及同角的余角相等可得∠ABP＝∠ACB，即可證明△BAP∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得x的值；當點Q落在BD上時，根據(jù)勾股定理可得BD=5，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△PAB≌△PQB，可得∠PQB＝∠A＝90°，PQ＝PA，進而可得△PDQ∽△BDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出x的值；綜上即可得答案．
【詳解】（1）由圖（2）可知當點P運動到D點時，AP=AD=4，△ABD的面積為6，
∴，
解得：．
故答案為：AD＝4，AB＝3
（2）①如圖，當點Q落在AC上時，
∵點A關(guān)于BP的對稱點為Q
∴BP⊥AQ，
∴∠ABP＋∠BAC＝90°，
∵矩形ABCD中∠ABC＝90°，
∴∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACB，
∵∠PAB＝∠ABC＝90°，
∴△BAP∽△CBA，
∴，
∴，
∴x＝．

②如圖，當點Q落在BD上時，
∵AD＝4，AB＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵點A關(guān)于BP的對稱點為Q，
∴△PAB≌△PQB，
∴∠PQB＝∠A＝90°，PQ＝PA，
∴∠DQP＝∠A＝90°，
∵∠PDQ＝∠BDA，
∴△PDQ∽△BDA，
∴，
∴，
∴x＝．

綜上所述：x的值是或．
【點睛】本題考查函數(shù)圖象、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、靈活運用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
4．(1)，，
(2)

【分析】（1）令，解得或m，故點A、B的坐標分別為，，則點C的橫坐標為，即可求解；
（2）由，即，在中，；點B是點A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點，連接交對稱軸于點Q，則點Q為所求點，進而求解．
【詳解】（1）令，
解得或m，
故點A、B的坐標分別為，，
則點C的橫坐標為，即點C的坐標為；
（2）由點C的坐標知，，
故，
∵，，
∴，
∴，即，
∵點C是中點，則為的中位線，
則，
在中，，
∴，
∵點B是點A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點，連接交對稱軸于點Q，

由于的周長為最小，
則點Q為所求點，即，
則，解得，
∵，
故．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．(1)
(2)①證明見解析，②
(3)或．

【分析】（1）二次函數(shù)與軸交于 (0，0)，A(4，0)兩點，代入求得b，c的值，即可得到二次函數(shù)的表達式；
（2）①由＝，得到頂點C的坐標是（2，﹣2），拋物線和對稱軸為直線x＝2，由拋物線的對稱性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，進一步得到∠COD＝∠，由對頂角相等得∠ODC＝∠BD，證得結(jié)論；
②由，得到，設(shè)點D的坐標為（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范圍內(nèi)，當d＝2時，DC有最小值為，得到的最小值，進一步得到的最小值；
（3）由和得到，求得B＝AB＝1，進一步得到點B的坐標是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點的坐標是（p，q），則線段A的中點為（，），由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，求得q＝2p－4，由兩點間距離公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得點的坐標，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）①證明：∵ ＝，
∴頂點C的坐標是（2，﹣2），拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，
∴由拋物線的對稱性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
設(shè)點D的坐標為（d，0），
DC＝，
∵點與、點不重合，
∴0＜d＜4，
對于＝來說，
∵ a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當d＝2時，的最小值是4，
∴當d＝2時，DC有最小值為，
OC＝，
∴有最小值為，
∴的最小值為；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴點B的坐標是（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），C（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝2x－6，
設(shè)點的坐標是（p，q），
∴線段A的中點為（，），
由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
當p＝2時，q＝2p－4＝0，此時點（2，0），很顯然不符合題意，
當p＝時，q＝2p－4＝，此時點（，），符合題意，
設(shè)直線的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），（，）代入得，，
解得，
∴直線的解析式為y＝x＋4，
聯(lián)立直線和拋物線得到，，
解得，，
∴直線與二次函數(shù)的交點橫坐標為或．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)求函數(shù)的表達式、兩點間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的折疊等知識，難度較大，屬于中考壓軸題，數(shù)形結(jié)合是解決此問題的關(guān)鍵．
6．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【分析】（1）可設(shè)頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，與x軸交于D，得到y(tǒng)＝2x?1，求得BD于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點的坐標．
【詳解】（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，
解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，與x軸交于D，
把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐標代入得，
解得：，
∴y=2x﹣1，當y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），
∴BD=2﹣=，
∴△ABC的面積=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，
∵MN⊥x軸于點N，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當△ABC和△MNO相似時，有或，
①當時，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵當x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此時N點坐標為（，0）或（，0）；
②當或時，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點的對應．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
7．(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點的坐標，得到的長度，結(jié)合點的坐標和三角形面積求出的面積，進而求出的面積，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求得的值；
（2）利用待定系數(shù)法確定直線函數(shù)關(guān)系式，求出點的坐標，根據(jù)正切的定義列出求出的關(guān)系，解方程組得到答案．
【詳解】（1）解：由一次函數(shù)得，點的坐標為，
∵點的坐標是，
∴，
∵，
∴，
∵點是反比例函數(shù)圖像上的點，
∴，即，
∴．
（2）解：如圖所示，

由（1）知，反比例函數(shù)解析式是，把點的坐標為代入得，
∴，解得，，
∴點的坐標為，將其代入，得到，解得，，
∴直線的解析式是：，
令，則，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，設(shè)，則，
∵，
∴，即，
∴，整理得，，
解方程組，得或，
∵點在第一象限，
∴．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、解直角三角形的應用，要靈活掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)圖像上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積公式．
8．(1)2
(2)存在，P

【分析】（1）把點A的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求出b的值；
（2）用待定系數(shù)法求出直線BC和BD的表達式，設(shè)點P的坐標為(m，-m2+2m+3)，則可得到點M、N的坐標，然后用點的坐標表示出PM、MN、NH的長，根據(jù)PM=MN=NH列出方程，即可求出點P的坐標．
【詳解】（1）解∶∵二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象過點A(-1，0)，
∴0=-(-1)2-b+3．
∴b=2．
故答案為：2．
（2）解：如圖，連接BD，BC，過點P作PH⊥ε軸于點H，分別交BC，BD于點M，N．

由題意知，拋物線y=-x2+2x+3交x軸于點A(-1，0)，B(3，0)，交y軸于點C(0，3)，且點D為OC的中點，
∴D(0，)·
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得
∴y=-x+3，
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，
則，
解得
∴
假設(shè)存在符合條件的點P(m，-m2+2m+3)，
則M(m，-m+3)，N
∵PM=MN=NH，
∴=(-m2+2m+3)-(-m+3)．
整理，得2m2-7m+3=0，
解得 (不合題意，舍去)．
∴P 使得PM=MN=NH．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖像的交點問題、用坐標表示線段的長度、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征以及一元二次方程的解法，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
9．（1）1，2；（2）﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，或．
【分析】（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，然后求解進一步得出答案即可；
（2）分兩種情況：①OA=AB；②OA=OB，據(jù)此分類討論即可；
（3）分兩種情況：①當點B在x軸上方時；②當點B在x軸下方時，據(jù)此分類討論即可.
【詳解】解：（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1或2，
故點A、B的坐標橫坐標分別為1和2；
（2）OA＝，
①當OA＝AB時，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②當OA＝OB時，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值為：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①當點B在x軸上方時，
過點B作BH⊥AE于點H，將△AHB的圖形放大見右側(cè)圖形，
過點A作∠HAB的角平分線交BH于點M，過點M作MN⊥AB于點N，過點B作BK⊥x軸于點K，

圖中：點A（1，2）、點B（2，k+2），則AH＝﹣k，HB＝1，
設(shè)： HM＝m＝MN，則BM＝1﹣m，
則AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣k，
在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，
解得：k＝，
此時k+2＞0，則﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k＝﹣；
②當點B在x軸下方時，
同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝＝-（k+2），
解得：k＝或，
此時k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，
故k的值為：﹣或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
10． 12
【分析】過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，AH交OC于點M，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出DH的長，利用勾股定理可得出AH的長，進而可得出點A的坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值；由OB的長，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出BC的長，利用三角形中位線定理可求出MH的長，進而可得出AM的長，由AMBC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值
【詳解】解：過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，AH交OC于點M，如圖所示：

∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝，
∴點A的坐標為（2，6），
∵A為反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）圖象上的一點，
∴k＝2×6＝12，
∵BC⊥x軸，OB＝4，點C在反比例函數(shù)y＝上，
∴BC＝，
∵AHBC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH?MH＝，
∵AMBC，
∴△ADM∽△BDC，
∴，
故答案為：12，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建相似三角形．

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