例1、（2022·山東青島·高三期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，原點(diǎn)為的重心，證明：的面積為定值.
變式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知為點(diǎn)的軌跡上三個(gè)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．
變式2、（2021·湖北武漢市高三模擬）已知雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為60°，且點(diǎn)P（2，3）為E上一點(diǎn)．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M為E在第一象限的任一點(diǎn)，過M的直線與E恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與E的兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△AOB面積為定值．
題型二 圓錐曲線中線段為定值問題
例2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同于的，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)且于，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.
變式1、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
變式2、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).
(1)設(shè)，求證：是定值；
(2)求的取值范圍.
變式3、（2022·江蘇如東·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，離心率為e，且點(diǎn)(e，3)，(，b)都在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若A，B是雙曲線C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AF1//BF2.證明：為定值.
題型三 圓錐曲線中斜率為定值問題
例3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，三個(gè)點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)求的值；
(2)證明：直線與斜率之積為定值.
變式1、（2022·新疆·三模）已知橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且與長軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)不過點(diǎn)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線TA，TB分別與x軸交于M，N兩點(diǎn)，且．求證直線l的斜率是定值，并求出該定值．
變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式3、（2022·廣東羅湖·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值．

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