題型一、是否存在參數(shù)的成立問題
例1、（2022·山東淄博·高三期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，漸近線方程為，F(xiàn)到漸近線的距離為．
(1)求C的方程；
(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線x=t與直線AP，AQ的交點(diǎn)分別為M，N．是否存在實(shí)數(shù)t，使得FM+FN=FM-FN？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】(1)雙曲線一條漸近線方程為 ，
焦點(diǎn)F(-c,0) ，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=|bc|a2+b2=b ，
由F到漸近線的距離為可知： ，
由漸近線方程為知：ba=3 ，故 ，
所以雙曲線方程為： ；
(2)設(shè)直線l的方程為x=my-2 ，
聯(lián)立x=my-2x2-y23=1 ，整理得：（3m2-1)y2-12my+9=0 ，
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2) ，而A(1,0),F(-2,0) ,
則y1+y2=12m3m2-1,y1y2=93m2-1 ，
所以x1+x2=m(y1+y2)-4=43m2-1 ，x1x2=m2y1y2-2m(y1+y2)+4=-3m2-43m2-1 ，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得FM+FN=FM-FN，則FM?FN=0 ,
故由方程：y=y1x1-1(x-1) ,令x=t得M(t,y1x1-1(t-1)) ，
同理方程：y=y2x2-1(x-1) ,令x=t得N(t,y2x2-1(t-1))，
所以FM?FN=(t+2,y1x1-1(t-1))(t+2,y2x2-1(t-1))=0，
即 (t+2)2+y1y2(x1-1)(x2-1)(t-1)2=0 ，
則(t+2)2+93m2-1-3m2-43m2-1-43m2-1+1(t-1)2=0 ，
即(t+2)2-(t-1)2=0 ，解得t=-12 ，
故存在實(shí)數(shù)t=-12，使得FM+FN=FM-FN.
變式1、（2021·江蘇南京市高三三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，經(jīng)過的直線與交于兩點(diǎn).
（1）若，求長(zhǎng)度的最小值；
（2）設(shè)以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，問是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）設(shè)，由，
可得＝＝，
當(dāng)y0＝±2時(shí)，|AP|取得最小值2；
（2）設(shè)直線AB的方程為，，
聯(lián)立可得，即有，
設(shè)以AB為直徑的圓上任一點(diǎn)
所以Q的軌跡方程為


所以Q的軌跡方程化為
令y＝0，得
所以上式方程的兩根分別為x3，x4，，則
由，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．
所以存在t＝2，使得．
變式2、（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）設(shè)和是通過橢圓的右焦點(diǎn)F的兩條弦，且.問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，橢圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最大，且為a+c，
橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最小，且為a-c，即，
解得：所以
橢圓C的方程為
（2）當(dāng)MN和PQ一個(gè)斜率不存在另一個(gè)為0時(shí)，不妨令MN斜率不存在，
則，
所以
當(dāng)MN和PQ斜率都存在時(shí)，
設(shè)直線MN的方程為，直線PQ的方程為.
聯(lián)立方程得：
，，
則
同理可得
則
綜上可知存在常數(shù)，使得恒成立.
題型二、是否存在定點(diǎn)、定值問題
例2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；
（ii）求的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線，
則，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）（i）設(shè)，直線的方程為，
由，消元得.
則，且，
；
或由韋達(dá)定理可得，即,
，
即與的比值為定值.
（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，
由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.
由韋達(dá)定理得：，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，
解得，即，
同理可得，
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以，
故，
設(shè)，其圖象對(duì)稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，故，
故的取值范圍為.
另解：由于雙曲線的漸近線方程為，
如圖，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線與之間（含軸，不含直線與），
所以.
同理，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線與之間（不含軸，不含直線與），
所以.
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以,
故
變式1、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，P為橢圓C上不同的三點(diǎn)，若.試問：△ABP的面積是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值，如果不是，請(qǐng)說明理由.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，且過點(diǎn)，則，解得，
所以橢圓方程為.
（2）因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，
所以.
①若直線的斜率不存在，此時(shí)點(diǎn)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，不妨取，
設(shè)，則，解得，
則；
②若直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程：，
聯(lián)立方程組得，消去可得：，
由，整理得，
則，
可得，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，
所以，滿足，
則，
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以；
綜上所述：面積為定值，且定值為.
變式2、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.
(1)若為橢圓上一定點(diǎn)，證明：直線與橢圓相切；
(2)若為橢圓外一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交直線于兩點(diǎn)，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓相切，當(dāng)時(shí)，，
由消去y并整理得，
所以，有
所以直線與橢圓相切.
（2）設(shè)，則由（1）得：，而二切線過點(diǎn)，則有，
因此是方程的兩個(gè)解，即直線的方程為：，
設(shè)點(diǎn)，由解得，同理：，
，，
又，解得，
，即，整理得，
取點(diǎn)的軌跡方程為，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，
所以在軸上存在點(diǎn)，使得||成立.
變式3、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知雙曲線，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，的斜率為，那么是否為定值？并說明理由.
【詳解】（1）設(shè)，把代入到的方程，得，即，
因?yàn)?，所以，即，則雙曲線的方程為.
（2）是否為定值,理由如下：
設(shè)，其中，，.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，
聯(lián)立，消去并整理得，
所以，
因?yàn)?，，，即?br>所以
，
由已知.
.
即為定值.
變式4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知橢圓的離心率為e，且過，兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過有兩條直線，，它們的斜率互為倒數(shù)，與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，P，Q分別是，的中點(diǎn).試探究：與的面積之比是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
則的方程；
（2）與的面積之比是定值，定值為4，理由如下：
由已知可得直線的斜率存在，且不為，也不為，
設(shè)直線，（且），聯(lián)立可得，
方程的判別式，
設(shè)，，，
則，.
所以，，
所以，
因?yàn)閮芍本€斜率互為倒數(shù)，則，
用代換點(diǎn)坐標(biāo)中的得.
所以，
所以直線即
所以恒過定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)、到直線的距離分別是，，
則.
題型三、是否存在定軌跡等問題
例3、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是
（1）求橢圓的方程：
（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由
【答案】（1）；（2）存在，
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，再根據(jù)三角形面積及，求得，，，即可得到答案；
（2）對(duì)直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得，即可得到答案；
【詳解】（1）依題意可得，
設(shè)，由余弦定理可知：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)（即P為橢圓短軸端點(diǎn)）時(shí)等號(hào)成立，且取最大值；
此時(shí)的面積是，
同時(shí)，聯(lián)立和
解得，，，
所以橢圓方程為.
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，
所以，，此時(shí)，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，
整理得，
由，可得，
，
，
， ，恒成立，
即恒成立 ，
所以，所以，
所以定圓C的方程是
所以當(dāng)時(shí) ， 存在定圓C始終與直線l相切 ，
其方程是.
變式1、（2022·廣東梅州·二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線：的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)在直線上，過的兩條直線，與曲線相切，切點(diǎn)分別為A，，以為直徑作圓，判斷直線和圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【解析】 (1)由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)依題可設(shè)，，，
由，即：，
求導(dǎo)得：，
所以切線，的斜率分別是，，
所以的方程是，
點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：，即，
同理可得，
于是是方程的兩根，
所以，，
由，
得，即：，
由，，
所以，即：點(diǎn)在圓上，
所以直線和圓相切.
變式2、（2021·河北邯鄲市高三三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)過點(diǎn)F且不與x軸平行的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，過M作直線垂直于l，垂足為N，直線MN與拋物線C交于點(diǎn)P.
（1）求證：點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn).
（2）若拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)Q，問是否存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形？若存在，請(qǐng)求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【分析】（1）設(shè)直線m的方程為，與聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù) ，得到MN中點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）由，得，求導(dǎo)，由軸，得到四邊形MPQF為平行四邊形，再由求解.
【解析】（1）證明：由題意知直線m的斜率存在且不為0，故設(shè)直線m的方程為，
代入，并整理得.
所以，設(shè)，，則，.
設(shè)，則，，即.
由，得，
所以MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
將代入，解得，則，
所以點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).
（2）由，得，則，
所以拋物線C在點(diǎn)的切線PQ的斜率為k，
又由直線m的斜率為k，可得；
又軸，所以四邊形MPQF為平行四邊形.
而，，
由，得，
解得，即當(dāng)時(shí)，四邊形MPQF為菱形，
且此時(shí)，
所以，
直線m的方程為，
即或，
所以存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形.

相關(guān)學(xué)案

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第71講 圓錐曲線中的最值問題（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第71講 圓錐曲線中的最值問題（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第70講 圓錐曲線中的定值問題（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第70講 圓錐曲線中的定值問題（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。學(xué)案主要包含了圓錐曲線中面積為定值問題，圓錐曲線中線段為定值問題，圓錐曲線中斜率為定值問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第69講 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第69講 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第68講 圓錐曲線中的離心率問題（學(xué)生版）+教師版

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第68講 圓錐曲線中的離心率問題（學(xué)生版）+教師版
2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第67講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（學(xué)生版）+教師版

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第67講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（學(xué)生版）+教師版
2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第46講 數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題（學(xué)生版）+教師版

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第46講 數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題（學(xué)生版）+教師版
2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第38講 復(fù)數(shù)（學(xué)生版）+教師版

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第38講 復(fù)數(shù)（學(xué)生版）+教師版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部