高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第26講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式(原卷版+解析)

這是一份高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第26講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式(原卷版+解析)，共17頁(yè)。試卷主要包含了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系： ；
(2)商數(shù)關(guān)系： 平方關(guān)系對(duì)任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
2．誘導(dǎo)公式
3. 誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化的一般步驟如下：
即：去負(fù)—脫周—化銳的過(guò)程．上述過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
4、三角形中的三角函數(shù)關(guān)系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－csC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝cseq \f(C,2)；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
1、【2022年浙江】設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“csx=0”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2、【2021年新高考1卷】若，則（ ）
A．B．C．D．
1、（2022·山東威海·三模）已知，，則___________.
2、已知，則（ ）
A．B．6C．D．
3、在△ABC中，下列結(jié)論不正確的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
4、化簡(jiǎn)：eq \f(tan(π－α)cs(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs(－α－π)sin(－π－α))的值為（ ）
A. B. C. D.
5、（2022·湖南益陽(yáng)·一模）若，則
A．B．C．D．
6、（2022·河北唐山·三模）若，則___________．
因此，
故答案為：4.
考向一 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α) ·cs(2π－α) ·tan(α＋π),tan(－α－π) ·sin(－α－π))．
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
變式1、已知f(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))的值為 ．
變式2、 求值：sin (－1 200°)cs 1 290°＋cs (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
方法總結(jié)：1、熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程
也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”
2．明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．
考向二 同角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝ eq \f(1,5).求：
(1) sin x－cs x的值；
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)的值．
變式1、(1)若α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq \f(1,3)，則sinα＋csα的值為_(kāi) __．
(2)已知sinαcsα＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，則csα－sinα的值為_(kāi)_ __．
變式2、（2022鄂爾多斯第一中學(xué)月考）化簡(jiǎn)：
(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))（α是第二象限角）；
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α.
變式3、已知2cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tan α的值；
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)的值．
方法總結(jié)：本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式．利用sin2α＋cs2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化，如果沒(méi)有給出角的范圍，則要分類討論．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα這三個(gè)式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．所求式是關(guān)于sinα，csα的齊次式時(shí)，分子分母同除以csα，可化成tanα的函數(shù)式求值．本題考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．
考向三 同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3、已知cs(75°+α)=eq \f(1,3)，且α是第三象限角，求cs(15°-α)+sin(α-15°)的值．
變式1、已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
變式2、 已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(\r(3),3)，則tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝ ．
變式3、已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,3)，則sin （x－ eq \f(5π,6)）＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的值為 ．
方法總結(jié)：1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.
2.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.
1、（2022·廣東廣州·一模）若，，則___________.
2、（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)一模）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線垂直，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
3、（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．
4、（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6、（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．－B．C．－D．
7、（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
8、（2022·遼寧葫蘆島·二模）若，則（ ）
A．B．C．-3D．3一
二
三
四
五
六
2kπ＋
α(k∈Z)
sin α
cs α
tan α
第26講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝eq \f(sin α,cs α). 平方關(guān)系對(duì)任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
2．誘導(dǎo)公式
3. 誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化的一般步驟如下：
即：去負(fù)—脫周—化銳的過(guò)程．上述過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
4、三角形中的三角函數(shù)關(guān)系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－csC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝cseq \f(C,2)；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
1、【2022年浙江】設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“csx=0”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)閟in2x+cs2x=1可得：
當(dāng)sinx=1時(shí)，csx=0，充分性成立；
當(dāng)csx=0時(shí)，sinx=±1，必要性不成立；
所以當(dāng)x∈R，sinx=1是csx=0的充分不必要條件.
故選：A.
2、【2021年新高考1卷】若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
1、（2022·山東威海·三模）已知，，則___________.
【答案】
【解析】由題知：，
因?yàn)椋?
故答案為：
2、已知，則（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【解析】化簡(jiǎn)
所以，故選B。
3、在△ABC中，下列結(jié)論不正確的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
【答案】 D
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正確．
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正確．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，C正確．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D錯(cuò)誤．
4、化簡(jiǎn)：eq \f(tan(π－α)cs(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs(－α－π)sin(－π－α))的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】：B
【解析】：原式＝eq \f(－tan α·cs α·(－cs α),cs(π＋α)·[－sin(π＋α)])＝eq \f(tan α·cs α·cs α,－cs α·sin α)＝eq \f(\f(sin α,cs α)·cs α,－sin α)＝－1
5、（2022·湖南益陽(yáng)·一模）若，則
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可知：
∴，∴，
又==.
故選C.
6、（2022·河北唐山·三模）若，則___________．
【答案】4
【解析】因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方得，即，所以，
因此，
故答案為：4.
考向一 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α) ·cs(2π－α) ·tan(α＋π),tan(－α－π) ·sin(－α－π))．
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
【解析】：f(α)＝eq \f(sinα·csα·tanα,(－tanα)·sinα)＝－csα．
(1) ∵ cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq \f(1,5)，∴ sinα＝－eq \f(1,5)．
∵ α是第三象限的角，
∴ csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(6),5)．
∴f(α)＝－csα＝eq \f(2,5)eq \r(6)．
(2) f(α)＝－cs(－1860°)＝－cs(－60°)＝－eq \f(1,2)．
變式1、已知f(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))的值為 ．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 因?yàn)閒(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))＝ eq \f(－sin α(－cs α),－cs α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(sin α,cs α))))＝cs α，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))
＝cs eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2).
變式2、 求值：sin (－1 200°)cs 1 290°＋cs (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
【答案】 1
【解析】 原式＝－sin 1 200°cs 1 290°－cs 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)·cs (3×360°＋210°)－cs (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cs 210°－cs 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cs (180°＋30°)－cs (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝1.
方法總結(jié)：1、熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程
也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”
2．明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．
考向二 同角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝ eq \f(1,5).求：
(1) sin x－cs x的值；
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)的值．
【解析】 (1) sin x＋cs x＝ eq \f(1,5)兩邊平方，
得sin2x＋2sinx cs x＋cs2x＝ eq \f(1,25)，
整理，得2sinx cs x＝－ eq \f(24,25)，
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin x cs x＝ eq \f(49,25).
由x∈(－π，0)，知sin x＜0.
又sin x＋cs x＞0，
所以cs x＞0，則sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－ eq \f(7,5).
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)＝ eq \f(2sin x(cs x＋sin x),1－\f(sin x,cs x))＝ eq \f(2sin x cs x(cs x＋sin x),cs x－sin x)＝ eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))
＝－ eq \f(24,175)
變式1、(1)若α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq \f(1,3)，則sinα＋csα的值為_(kāi) __．
(2)已知sinαcsα＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，則csα－sinα的值為_(kāi)_ __．
【答案】（1）－eq \f(\r(10),5).（2）eq \f(\r(3),2).
【解析】 (1)由tanα＝－eq \f(1,3)，得sinα＝－eq \f(1,3)csα，將其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，∴cs2α＝eq \f(9,10)，易知csα＜0，∴csα＝－eq \f(3\r(10),10)，sinα＝eq \f(\r(10),10)，故sinα＋csα＝－eq \f(\r(10),5).
(2)∵eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，∴csα＜0，sinα＜0且csα＞sinα，∴csα－sinα＞0.又(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，∴csα－sinα＝eq \f(\r(3),2).
變式2、（2022鄂爾多斯第一中學(xué)月考）化簡(jiǎn)：
(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))（α是第二象限角）；
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α.
【解析】(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝cs α· eq \r(\f((1－sin α)2,1－sin2α))＋sinα· eq \r(\f((1－cs α)2,1－cs2α))
＝csα· eq \f(1－sin α,|cs α|)＋sin α· eq \f(1－cs α,|sin α|)
＝cs α· eq \f(1－sin α,－cs α)＋sin α· eq \f(1－cs α,sin α)＝－1＋sin α＋1－cs α＝sin α－cs α.
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α＝sin2α(sin2α＋cs2α)＋cs2α＝sin2α＋cs2α＝1.
變式3、已知2cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tan α的值；
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)的值．
【解析】 (1) 因?yàn)?cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，且cs2α＋sin2α＝1，
所以 eq \f(2cs2α＋3csαsin α－3sin2α,cs2α＋sin2α)＝1，
所以 eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，
解得tanα＝－ eq \f(1,4)或tan α＝1.
又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π))，所以tan α＝－ eq \f(1,4).
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)＝ eq \f(tan α＋1,2tan α－5)＝ eq \f(－\f(1,4)＋1,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))－5)＝－ eq \f(3,22).
方法總結(jié)：本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式．利用sin2α＋cs2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化，如果沒(méi)有給出角的范圍，則要分類討論．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα這三個(gè)式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．所求式是關(guān)于sinα，csα的齊次式時(shí)，分子分母同除以csα，可化成tanα的函數(shù)式求值．本題考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．
考向三 同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3、已知cs(75°+α)=eq \f(1,3)，且α是第三象限角，求cs(15°-α)+sin(α-15°)的值．
【解析】：因?yàn)閏s(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，
由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)