專題22.9 相似形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11869" 【題型1 由比例的性質(zhì)求值或證明】  PAGEREF _Toc11869 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc6509" 【題型2 由平行判斷成比例的線段】  PAGEREF _Toc6509 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc25905" 【題型3 黃金分割】  PAGEREF _Toc25905 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc17719" 【題型4 證明兩三角形相似】  PAGEREF _Toc17719 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc23714" 【題型5 證明三角形的對應(yīng)線段成比例】  PAGEREF _Toc23714 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc11168" 【題型6 確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】  PAGEREF _Toc11168 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc3035" 【題型7 相似與翻折】  PAGEREF _Toc3035 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc7356" 【題型8 利用相似求坐標(biāo)】  PAGEREF _Toc7356 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc18898" 【題型9 在網(wǎng)格中作位似圖形】  PAGEREF _Toc18898 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc1556" 【題型10 相似三角形的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc1556 \h 3  【題型1 由比例的性質(zhì)求值或證明】 【例1】（2023秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎猘+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值． 【答案】8或-1 【分析】觀察 (a+b)c=(b+c)a=(c+a)b 與 (a+b)(b+c)(c+a)abc 發(fā) 現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出 (a+b)c=(b+c)a=(c+a)b 的值解出，因此設(shè)(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b=k 通過變換化為 (a+b+c)(k-2)=0 那么可能是 a+b+c=0 或 k=2 對這兩種情況分別討論； 【詳解】設(shè)a+bc=b+ca=c+ab=k, 則a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb (a+b)+(b+c)+(c+a)=kc+ka +kb 2(a+b+c)=k(a+b+c) 即(a+b+c)(k-2)=0 所以a+b+c=0或k=2 當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=-c, a+bc=-1,同理b+ca=-1, c+ab=-1 所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c ×(b+c)a×(c+a)b=(-1)×(-1) ×(-1)=-1 當(dāng)k=2時(shí)， (a+b)c=(b+c)a=(c+a)b=2 所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c ×(b+c)a×(c+a)b=2×2×2=8 故答案為 8 或 -1 【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)a+bc=b+ca=c+ab=k,做到這步已經(jīng)成功了一半，因而同學(xué)們在解題中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系 【變式1-1】（2023秋·安徽六安·九年級?？计谥校┮阎猘、b、c為△ABC的三邊長，且a3=b4=c5，a+b+c=24，求△ABC三邊的長． 【答案】△ABC三邊的長為6，8，10 【分析】設(shè)a3=b4=c5=k，則a=3k，b=4k，c=5k，根據(jù)a+b+c=24進(jìn)行計(jì)算求出k的值即可． 【詳解】解：設(shè)a3=b4=c5=k，則a=3k，b=4k，c=5k， ∵a+b+c=24， ∴3k+4k+5k=24， 解得：k=2， ∴a=3k=6，b=4k=8，c=5k=10， ∴ △ABC三邊的長為6，8，10． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）已知線段a、b滿足a:b=1:2，且a+2b=10． (1)求a、b的值； (2)若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求c的值． 【答案】(1)a=2,b=4 (2)c=22 【分析】（1）利用a:b=1:2，可設(shè)a=k,b=2k，則k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2=ab，即c2=8，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解． 【詳解】（1）∵a:b=1:2 ∴設(shè)a=k,b=2k， ∵a+2b=10， ∴k+4k=10， ∴k=2， ∴a=2,b=4 （2）∵c是a、b的比例中項(xiàng)， ∴c2=ab=8， ∵c是線段，c>0， ∴c=22． 【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意利用代數(shù)的方法解決較為簡便． 【變式1-3】（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正數(shù). （1）若ab=2，cd=2，則ba dc，ac bd（用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若ab=cd,請判斷ba+b和dc+d的大小關(guān)系，并證明； （3）令ac=bd=t,若分式2a+ca-c-3b+db-d+2的值為3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d，理由見解析；（3）12 【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，c=2d，代入化簡即可得到結(jié)論； （2）設(shè)ab=t，則cd=t，得到a=bt，c=dt，代入化簡即可得到結(jié)論； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化簡后解方程即可得出結(jié)論. 【詳解】（1）∵ab=2，cd=2， ∴a=2b，c=2d， ∴ba=dc=12，bd=2a2c=ac. 故答案為：==； （2）ba+b=dc+d.理由如下： 設(shè)ab=t，則cd=t， ∴a=bt，c=dt， ∴ba+b=bbt+b=1t+1， dc+d=ddt+d=1t+1， ∴ba+b=dc+d； （3）∵ac=bd=t， ∴a=ct，b=dt. ∵2a+ca-c-3b+db-d+2=3， ∴2t+1t-1-3t+1t-1=1. 解得：t=12. 經(jīng)檢驗(yàn)：t=12是原方程的解. 【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設(shè)參法是解答本題的關(guān)鍵. 【題型2 平行判斷成比例的線段的運(yùn)用】 【例2】（2023秋·安徽六安·九年級校考期中）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接BM并延長交AC于點(diǎn)N，則ENAC的值是（????????） ?? A．320 B．29 C．16 D．17 【答案】A 【分析】過點(diǎn)F作FG∥BN交AC于點(diǎn)G,可證EN=GN．同理，可得AEEC=ADDB=13，EC=3AE，AEEC=BFFC=13；由FG∥BN,得BFFC=NGGC=13，于是GC=3NG；設(shè)EN=NG=a，則GC=3a，EC=5a，AC=203a，從而得ENAC=320． 【詳解】解：過點(diǎn)F作FG∥BN交AC于點(diǎn)G, ∴ENGN=EMFM=1 ∴EN=GN． ∵DE∥BC， ∴AEEC=ADDB=13． ∴EC=3AE． ∵EF∥AB， ∴AEEC=BFFC=13． ∵FG∥BN, ∴BFFC=NGGC=13． ∴GC=3NG． 設(shè)EN=NG=a，則GC=3a， ∴EC=EN+NG+GC=5a ∴EC=3AE=5a． ∴AE=53a． ∴AC=AE+EC=53a+5a=203a． ∴ENAC=a203a=320． 故選：A 【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023秋·陜西榆林·九年級?？计谥校┤鐖D，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2，CD=3，求AB的長． ?? 【答案】6 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論——“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例”，先由EF∥CD，得EFCD=BFBD，再由AB∥EF得EFAB=DFDB，即可求解． 【詳解】解：∵△BCD中，EF∥CD， ∴EFCD=BFBD， ∵EF=2，CD=3， ∴23=BFBD， ∴DFDB=13， ∵AB∥EF， ∴EFAB=DFDB=13， ∴AB=3EF=6． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是從圖形中找準(zhǔn)成比例的線段． 【變式2-2】（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC上，且EC=2BE，則AFFE=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【詳解】取CE的中點(diǎn)M，連接DM，根據(jù)三角形中位線定理得DM∥AE，DM=12AE，再根據(jù)平行線分線段成比例得EFDM=BEBM=12，即可得出答案． 【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接DM， ∵D是AC邊上的中點(diǎn)， ∴DM∥AE，DM=12AE，EM=MC ∵EC=2BE， ∴EFDM=BEBM=12， ∴EF=12DM， ∴12AE=2EF， ∴AE=4EF， ∴AFFE=3， 故選:B． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023秋·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=3，BC=1，BF分別交AC，DC，DE于P，Q，R，則PQ的長為 ． 【答案】12 【分析】過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=12EG=12，F(xiàn)H=EF2-EH2=112，BF=FH2+BH2=3，根據(jù)平行線的判定得出AC∥DE∥FG，得出BPBC=PRCE=RFEG，根據(jù)BC=CE=EG=1，結(jié)合BF=3，得出BP=PR=RF=1，根據(jù)平行線的判定得出CD∥EF，得出BQQP=BCCE=1，從而求出BQ=QP=12BP=32，即可求出結(jié)果． 【詳解】解：過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H， ∵△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形， ∴BC=CE=EG=1，AB=AC=DC=DE=EF=FG=3， ∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠FEG=∠FGE， ∵FH⊥BG， ∴EH=HG=12EG=12， ∴FH=EF2-EH2=112， ∴BH=BC+CE+EH=52， ∴BF=FH2+BH2=3， ∵∠ACB=∠DEC， ∴AC∥DE， 同理可得：DE∥FG， ∴AC∥DE∥FG， ∴BPBC=PRCE=RFEG， ∵BC=CE=EG=1， ∴BP=PR=RF， ∵BP+PR+RF=BF=3， ∴BP=PR=RF=1， ∵∠BCD=180°-∠DCE，∠BEF=180°-∠FEG， 又∵∠DCE=∠FEG， ∴∠BCD=∠BEF， ∴CD∥EF， ∴BQQP=BCCE=1， ∴BQ=QP=12BP=32， ∴PQ=BQ-BP=32-1=12． 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出BP=1，BQ=32． 【題型3 黃金分割的運(yùn)用】 【例3】（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如圖所示的正五角星中，點(diǎn)C，D為線段AB 的黃金分割點(diǎn)，且AB=2，則圖中五邊形CDEFG的周長為（????） A．25-2 B．103 C．105-20 D．105-10 【答案】C 【分析】根據(jù)點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，可得AC=BD=5-12AB=5-1，AD=BC=5-12BD=3-5，再根據(jù)CD=BD-BC求出CD的長度，然后乘以5即可求解． 【詳解】解：∵點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)， ∴AC=BD=5-12AB=5-1，AD=BC=5-12BD=3-5， ∴CD=BD-BC=5-1-3+5=25-4， ∴五邊形CDEFG的周長525-4=105-20． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)． 【變式3-1】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作AB的垂線BC，取AB的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑畫弧交射線BC于點(diǎn)D，連接AD，再以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段 ． ?? 【答案】AF 【分析】根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，設(shè)DB=DF=a，則AB=2a，根據(jù)勾股定理得，AD=AB2+BD2=5a，求出AF=5a-a，得出AFAB=5-12，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB， 設(shè)DB=DF=a，則AB=2a， ∴根據(jù)勾股定理得，AD=AB2+BD2=5a， ∴AF=AD-DF=5a-a， ∴AFAB=5a-a2a=5-12， ∴以A為圓心，“AF”的長度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)． 故答案為：AF． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出AFAB=5a-a2a=5-12． 【變式3-2】（2023秋·遼寧錦州·九年級統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長AB=20米，主持人從舞臺一側(cè)B進(jìn)入，她至少走 米時(shí)恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上．（結(jié)果保留根號） ?? 【答案】30-105 【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP，BP，即可求解． 【詳解】由題意知 AB=20 米， BPAP=APAB=5-12， ∴AP=20×5-12=(105-10)， ∴BP=20-(105-10) =(30-105)米， 故主持人從舞臺一側(cè)點(diǎn) B 進(jìn)入，則他至少走 (30-105) 米時(shí)恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上， 故答案為：30-105． 【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期末）已知線段AB=2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）， ?? (1)求線段AP的長； (2)以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ=AP，連接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的長． 【答案】(1)5-1 (2)2 【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出BP=5-12×AB=5-1； （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到AQ、BQ的距離相等，可得出S△PAQS△PBQ=AQBQ=APPB，求出PB=AB-AP=3-5，即可得出答案． 【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）， ∴AP=5-12×AB=5-12×2=5-1； （2）解：∵QP平分∠AQB， ∴P到AQ、BQ的距離相等， ∴S△PAQS△PBQ=AQBQ=APPB， 又由（1）AP=BQ=5-1， ∵AB=2， ∴PB=AB-AP=2-5-1=3-5， ∴AQ=AP·BQPB=5-123-5=2． 【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)的定義，角平分線的性質(zhì)等知識，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 【題型4 證明兩三角形相似】 【例4】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長BE交DF于點(diǎn)G．求證： ?? (1)△BDG∽△DEG； (2)BG⊥DF． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）先判斷出∠FDC=∠EBC，再利用角平分線判斷出∠FDC=∠EBC，即可得出結(jié)論； （2）由三角形的內(nèi)角和定理可求∠DGE=∠BCE=90°，可得結(jié)論． 【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知：△BCE?△DCF， ∴∠FDC=∠EBC． ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠EBC， ∴∠FDC=∠DBE， ∵∠DGE=∠DGB， ∴△BDG∽△DEG； （2）證明：∵∠EBC=∠GDE，∠BEC=∠DEG， ∴∠DGE=∠BCE=90°． ∴BG⊥DF． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25． (1)求CE的長； (2)求證：△ABC∽△DEF． 【答案】(1)CE=15 (2)見解析 【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF-CF即可求出CE的長； （2）先求出BC的長，得到ABDE=BCEF，再根據(jù)∠B=∠E=90°，即可得證． 【詳解】（1）解：∵DE=15,DF=25,∠E=90°， ∴EF=DF2-DE2=20， ∴CE=EF-CF=15； （2）證明：∵BF=3，CF=5， ∴BC=BF+CF=8， ∵ABDE=615=25，BCEF=820=25， ∴ABDE=BCEF， ∵∠B=∠E=90°， ∴△ABC∽△DEF． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵． 【變式4-2】（2023秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，連接BM，作MN⊥BM，且交AB于點(diǎn)N. （1）求證：ΔBCP~ΔMAN； （2）除（1）中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請將它們?nèi)恐苯訉懗鰜? 【答案】（1）詳見解析；（2）ΔACD~ΔABC； ΔACD~ΔBCD； ΔBCD~ΔABC； ΔBDP~ΔBMN. 【分析】（1）由∠ACB=90°，CD⊥AB證得∠A=∠BCD，再利用MN⊥BM證得∠AMN=∠CBM，即可得到ΔACD~ΔABC； （2）利用直角與公共角的關(guān)系得到ΔACD~ΔABC； ΔACD~ΔBCD； ΔBCD~ΔABC；ΔBDP~ΔBMN. 【詳解】（1）∵AB⊥CD,AC⊥BC, ∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°, ∴∠A=∠BCD, 又∵NM⊥BM,AC⊥BC, ∴∠AMN+∠BMC=90°,∠CBM+∠BMC=90°, ∴∠AMN=∠CBM， ∴ΔAMN~ΔCBP； （2）∵AB⊥CD,AC⊥BC， ∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90°， ∵∠A=∠A, ∴ΔACD~ΔABC; ∵∠ABC=∠CBD, ∴ΔBCD~ΔABC; ∴ΔACD~ΔBCD； ∵M(jìn)N⊥BM, ∴∠BMN=∠BDP=90°， 又∵∠DBP=∠MBN, ∴ΔBDP~ΔBMN. ∴共4對相似三角形：ΔACD~ΔABC； ΔACD~ΔBCD； ΔBCD~ΔABC；ΔBDP~ΔBMN. 【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定，注意公共角在證明三角形相似中的作用，再由已知條件所給的都是關(guān)于角的條件，因此通過證明兩組角分別相等證明兩個(gè)三角形相似比較簡單. 【變式4-3】（2023秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處． (1)求證：△ABF∽△FCE； (2)若AB=23，AD=4，求CE的長． (3)當(dāng)點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF2=AB?AE． 【答案】(1)證明見解析 (2)233 (3)證明見解析 【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明∠BAF=∠EFC，再利用相似三角形的判定得結(jié)論； （2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可． （3）由△ABF∽△FCE，可得ABCF=BFCE=AFEF，結(jié)合F為BC的中點(diǎn)，可得ABBF=AFEF，結(jié)合∠AFE=∠B=90°，可得△ABF∽△AFE，從而可得答案． 【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠D=90°． ∵△ADE沿AE翻折得到△AFE， ∴∠D=∠AFE=90°． ∵∠BAF+∠AFB=90°=∠AFB+∠EFC， ∴∠BAF=∠EFC． 又∵∠B=∠C， ∴△ABF∽△FCE． （2）∵四邊形ABCD是矩形， AB=23，AD=4， ∴AB=CD=23，AD=BC=4， ∵△ADE沿AE翻折得到△AFE， ∴AD=AF=4，DE=EF． 在Rt△ABF中， BF=AF2-AB2=2． 設(shè)CE的長為x，則DE=EF=23-x． ∵△ABF∽△FCE， ∴BFCE=AFFE． ∴CE?AF=BF?EF， 即4x=223-x． ∴x=233， 即EC=233． （3）∵△ABF∽△FCE， ∴ABCF=BFCE=AFEF， ∵F為BC的中點(diǎn)， ∴BF=CF， ∴ABBF=AFEF， ∵∠AFE=∠B=90°， ∴△ABF∽△AFE， ∴ABAF=AFAE， ∴AF2=AB?AE． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對邊相等”、“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”、“兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”及“相似三角形的對應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵． 【題型5 證明三角形的對應(yīng)線段成比例】 【例5】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB

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