初中數(shù)學滬科版九年級上冊第22章 相似形綜合與測試單元測試同步訓練題

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2021-2022學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬科版】       專題22.8第22章相似形單元測試（培優(yōu)提升卷）姓名：__________________     班級：______________   得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置． 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2020秋?桐城市期末）已知，則的值為　　A． B． C． D．【分析】設，，，再代入求出答案即可．【解析】設，，，則，故選：．2．（2020秋?望江縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形和，則的度數(shù)為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的對應角相等即可得出．【解析】，，．故選：．3．（2020秋?沈河區(qū)期末）如圖，，，與的面積分別是與，周長分別是與，則下列說法正確的是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解析】，，，正確；，錯誤；，錯誤；，錯誤；故選：．4．（2021?西城區(qū)二模）若相似三角形的相似比為，則面積比為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答．【解析】兩個相似三角形的相似比為，相似三角形面積的比等于相似比的平方是．故選：．5．（2020秋?楊浦區(qū)期末）在梯形中，，對角線與相交于點，下列說法中，錯誤的是　　A． B． C． D．【分析】如圖，利用三角形面積公式得到，則，于是可對選項進行判斷；根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，再利用三角形面積公式得到，于是可對選項進行判斷；證明，利用相似三角形的性質(zhì)可對選項進行判斷；利用兩平行線的距離的定義得到點到的距離等于點到的距離，然后根據(jù)三角形面積公式可對選項進行判斷．【解析】如圖，，，即，，所以選項的結(jié)論正確；，，，；所以選項的結(jié)論正確；，，，所以選項的結(jié)論錯誤；，點到的距離等于點到的距離，，所以選項的結(jié)論正確；故選：．6．（2020秋?長寧區(qū)期末）下列命題中，說法正確的是　　A．四條邊對應成比例的兩個四邊形相似 B．四個內(nèi)角對應相等的兩個四邊形相似 C．兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似 D．斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似【分析】根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答．【解析】、四個角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題；、四個內(nèi)角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題；、兩邊對應成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，原命題是假命題；、斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，是真命題；故選：．7．（2021春?沂源縣期末）如圖，點、、、、、、、、都是方格紙中的格點，如果與相似（點和對應，點和對應），那么點應是、、、四點中的　　A． B． C． D．【分析】由圖形可知的邊，，當時，和是對應邊，相似比是，則的對應邊是3，則點的對應點是．【解析】根據(jù)題意，，，，，，應是，故選：．8．（2020秋?溫州期末）如圖，是一塊矩形場地，寬米，長米．若在其對角線，的延長線上取點，，，，擴建為新的矩形場地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了米，則的值為　　A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【分析】根據(jù)矩形和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】由題意得，，，，，，，，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了米，米，米．，，，解得：，故選：．9．（2021?深圳模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知與是位似圖形，原點是位似中心，位似比，若，則的長為　　A．5 B．6 C．9 D．12【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，進而得到與，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解析】與是位似圖形，，，，即，解得，，故選：．10．（2021?東莞市模擬）如圖，是平行四邊形的邊的垂直平分線，垂足為點，與的延長線交于點，連接、、，且與交于點，則下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③；④．其中結(jié)論正確的有　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)菱形的判定、平行線分線段成比例定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】如圖，四邊形是平行四邊形，，，垂直平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，故①正確；，，，，故②正確；，，，故③錯誤．設的面積為，則的面積為，的面積為，的面積的面積，四邊形的面積為，的面積為，．故④正確，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?鄆城縣期中）下面關于兩個圖形相似的判斷：①兩個等腰三角形相似；②兩個等邊三角形相似；③兩個等腰直角三角形相似；④兩個正方形相似；⑤兩個等腰梯形相似．其中正確的是　②③④　．（填寫序號）【分析】根據(jù)相似圖形的定義一一判斷即可．【解析】①兩個等腰三角形相似，錯誤．②兩個等邊三角形相似，正確．③兩個等腰直角三角形相似，正確．④兩個正方形相似，正確．⑤兩個等腰梯形相似，錯誤．故答案為：②③④．12．（2020秋?龍崗區(qū)期末）如圖，四邊形與四邊形位似，其位似中心為點，且，則　　．【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】四邊形與四邊形位似，，，，四邊形與四邊形的位似比為，，故答案為：．13．（2019秋?槐蔭區(qū)期中）如圖，小明用自制的直角三角形紙板測量樹的高度．他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊．，測得邊離地面的高度，，求樹高是　9　．【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的長后加上小明同學的身高即可求得樹高．【解析】，，，，，，米，米．故答案為：9．14．（2020秋?陽山縣期末）已知，是邊上的一點，連接，請你添加一個條件，使，這個條件可以是　，或或　．（寫出一個即可）【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法解決問題即可．【解析】，當，或或時，，故答案為：，或或．15．（2021春?東平縣期末）在中，，，點在邊上，且，點在邊上．當　1或4　時，與原三角形相似．【分析】分別從或去分析，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．【解析】由題意可知，，，，①若，則即，解得：；②若，則，即，解得：；故或4．故答案為：1或4．16．（2020秋?包河區(qū)期中）如圖，正方形內(nèi)接于，已知，，的面積分別為，，，那么正方形的邊長　2　．【分析】在上取一點，使得，連接，利用正方形的性質(zhì)得出條件，判定，再利用有兩個角分別相等的三角形相似判定，然后利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，則可求得正方形的面積，最后求得其算術平方根即可．【解析】在上取一點，使得，連接，如圖：四邊形為正方形，，，，．在和中，，，．，正方形中，，，，，，．又，，．．正方形的邊長為2．故答案為：2．17．（2021?撫順模擬）如圖，在中，點，在邊上，且．點，在邊上，且，延長交的延長線于點，則的值　　．【分析】首先證明，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可解決問題．【解析】，，，在與中，，，，，，，故答案為．18．（2018秋?惠山區(qū)校級月考）在矩形中，、，點、分別為邊、上的兩個動點，從點出發(fā)以每秒的速度向運動，從點出發(fā)以每秒的速度向運動，設運動時間為秒．若，則的值　　．【分析】根據(jù)題意知、，證出，且，證得，結(jié)合、得，即可知，從而得，解之可得的值，繼而根據(jù)且取舍可得答案．【解析】如圖，四邊形是矩形，，，根據(jù)題意知，，，，，，，，又，，，，，，，，，即，，，，，即，，解得：或，且，，，故答案為：三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020秋?鳳翔縣期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內(nèi)，的三個頂點坐標分別為，，．（1）畫出關于軸對稱的△；（2）在網(wǎng)格內(nèi)畫出以點為位似中心的位似圖形△．與△的位似比為，并寫出，，的坐標．【分析】（1）根據(jù)軸對稱性質(zhì)即可畫出關于軸對稱的△；（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可畫出以點為位似中心的位似圖形△，與△的位似比為，根據(jù)網(wǎng)格特點寫出，，的坐標．【解析】（1）如圖，△即為所求；（2）如圖，△即為所求；，，．20．（2021?雁塔區(qū)校級二模）如圖，建筑物上有一根旗桿，小芳計劃用學過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹，小芳沿后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點、樹頂、旗桿頂端恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點、樹頂、建筑物頂端恰好在一條直線上，已知旗桿米，米，米，米，點、、在一條直線上，點、、、在一條直線上，、均垂直于，請你幫助小芳求出這座建筑物的高．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進而解答即可．【解析】由題意可得，，，，，即，，由題意可得，，，，，即，，，（米，這座建筑物的高為14米．21．（2019秋?漳州期末）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書于約 1 500年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意思是：如圖，有一根竹竿不知道有多長，量得它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影子長五寸，問竹竿的長度為多少尺？（注丈尺，1尺寸）【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．【解析】設竹竿的長度為尺，竹竿的影長一丈五尺尺，標桿長一尺五寸尺，影長五寸尺，，解得（尺，答：竹竿的長度為45尺．22．（2020秋?臺兒莊區(qū)期中）如圖，在矩形中，，點是線段延長線上的一個動點，連接，過點作交射線于點．（1）如圖1，若，則與之間的數(shù)量關系是　　；（2）如圖2，若，試判斷與之間的數(shù)量關系，寫出結(jié)論并證明．（用含的式子表示）【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出；（2）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【解析】（1）．，四邊形矩形，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，；故答案為：；（2）．證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，．，，，，，．23．（2020秋?興慶區(qū)校級期中）如圖，在中，，，，現(xiàn)有兩個動點、分別從點和點同時出發(fā)，其中點以的速度沿向終點移動；點以的速度沿向終點移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止．連接．設動點運動時間為秒．（1）含的代數(shù)式表示、的長度；（2）為何值時，為等腰三角形？當和相似時，求此時的值．【分析】（1）首先運用勾股定理求出邊的長度，然后根據(jù)路程速度時間，分別表示出、的長度．（2）由于，如果為等腰三角形，那么只有一種情況，即，由（1）的結(jié)果，可列出方程，從而求出的值．分兩種情形，構(gòu)建方程求出相似時，的值即可．【解析】（1），，，．由運動可知：，，． （2）由題意，得，．當時，為等腰三角形．當時，兩三角形相似，此時，解得，當時，兩三角形相似，此時，解得，綜上所述，滿足條件的的值為或．24．（2020?徐州模擬）如圖，中，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，運動時間為秒，連接．（1）若與相似，求的值；（2）連接、，若，求的值．【分析】（1）分兩種情況：①當時，；當時，，再根據(jù)，，，，代入計算即可；（2）過作于點，，交于點，則有，，，根據(jù)，得出，代入計算即可．【解析】根據(jù)勾股定理得：；（1）分兩種情況討論：①當時，，，，，，，解得，，②當時，，，解得，；或時，；（2）過作于點，，交于點，如圖所示：則，，，，，，，，，，解得．25．（2021?江岸區(qū)校級自主招生）已知在菱形中，，點為射線上的一個動點，與邊交于點．（1）如圖1，連接對角線交于點，連接，若，試求的度數(shù)；（2）如圖2，點為上一點，且，若菱形的邊長為2，則當時，求的面積；（3）如圖3，當點在射線上運動時，試求的最小值．【分析】（1）如圖1，證明，得，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；（2）如圖2，過點作于，交于，根據(jù)直角三角形角的性質(zhì)得：，根據(jù)勾股定理計算和的長，證明，列比例式可得和的長，證明，得的長，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論；（3）如圖3，過點作于，過點作于，設菱形的邊長為，，分別計算和，變形后可得當時，有最小值．【解析】（1）如圖1，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，；（2）如圖2，過點作于，交于，，，中，，，，，，中，，，，，，即，，，，，，，，；（3）如圖3，過點作于，過點作于，設菱形的邊長為，，在中，，，，，，在中，，在中，，，，，，，，中，，，當時，即時，有最小值，則此時，．26．（2021?南山區(qū)二模）【探究證明】（1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：如圖①，在矩形中，，分別交、于點、，分別交、于點、，求證：；【結(jié)論應用】（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點和點重合，若，．求折痕的長；【拓展運用】（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點落在邊上的點處，點落在點處，得到四邊形，若，，，請求的長．【分析】（1）過點作，交于，過點作，交于，交于，如圖1，易證，，，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．（2）利用探究的結(jié)論解決問題即可．（3）如圖③中，過點作于，過點作于．利用探究的結(jié)論求出，利用勾股定理求出，設，在中，根據(jù)，求出，，證明，推出，求出，即可解決問題．【解析】（1）：如圖①，過點作，交于，過點作，交于，交于．四邊形是矩形，，．四邊形、四邊形都是平行四邊形，，．又，，．四邊形是矩形，，，，，，，． （2）如圖②中，連接．四邊形是矩形，，，，，關于對稱，，，，． （3）如圖③中，過點作于，過點作于．四邊形是矩形，，，，，，，由翻折可知：，設，在中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，在中，．