蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)串講+題型專訓(xùn)專題09 一元一次不等式的應(yīng)用與一元一次不等式組（2份打包，原卷版+含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題09 一元一次不等式的應(yīng)用與一元一次不等式組

一、一元一次不等式實(shí)際問題
1.行程問題：路程＝速度×?xí)r間
2.工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量
3.利潤(rùn)問題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)，
4.和差倍分問題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率
5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.
7.收費(fèi)問題：分類討論，起步價(jià)，超過部分價(jià)格分好設(shè)x即可
8.幾何問題：判斷是哪種類型，如果是長(zhǎng)方形則設(shè)長(zhǎng)和寬x即可
列不等式解決實(shí)際問題
列一元一次不等式解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，通常也需要經(jīng)過以下幾個(gè)步驟：
(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過”、“超過”等；
(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
(3)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：寫出答案，并檢驗(yàn)是否符合題意．
注意
(1)列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；
(2)求得不等關(guān)系的解集后，應(yīng)根據(jù)題意，把實(shí)際問題的解求出來；
(3)構(gòu)建不等關(guān)系解應(yīng)用題的流程如圖所示．

（4）用不等式解決應(yīng)用問題，有一點(diǎn)要特別注意：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，表示不等關(guān)系的文字如“至少”不能出現(xiàn)，即應(yīng)給出肯定的未知數(shù)的設(shè)法，然后在最后寫答案時(shí)，應(yīng)把表示不等關(guān)系的文字補(bǔ)上．
二、一元一次不等式組
不等式組的概念
如，等都是一元一次不等式組．
(1)這里的“幾個(gè)”不等式是兩個(gè)、三個(gè)或三個(gè)以上．
(2)這幾個(gè)一元一次不等式必須含有同一個(gè)未知數(shù)．
解一元一次不等式組
1. 一元一次不等式組的解集：
注意：
(1)找?guī)讉€(gè)不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，然后找出它們重疊的部分．
(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現(xiàn)無解的情況．
2.一元一次不等式組的解法
（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集．
（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個(gè)不等式組的解集．
一元一次不等式組的應(yīng)用
列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟為：審題→設(shè)未知數(shù)→找不等關(guān)系→列不等式組→解不等式組→檢驗(yàn)→答．
注意：
(1)利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找不等關(guān)系．
(2)列不等式組解決實(shí)際問題時(shí)，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問題的實(shí)際背景，從解集中聯(lián)系實(shí)際找出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取整數(shù)．

類型一、行程問題
【解惑】
（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小茗要從石室聯(lián)中到春熙路IFS國(guó)際金融中心，兩地相距1.7千米，已知他步行的平均速度為90米/分鐘，跑步的平均速度為210米/分鐘，若他要在不超過12分鐘的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，那么他至少需要跑步多少分鐘？設(shè)他要跑步的時(shí)間為x分鐘，則列出的不等式為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)跑步的路程加上步行的路程大于等于兩地距離列不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意列不等式為：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時(shí)，乙車行駛3小時(shí)，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時(shí)，乙車行駛1小時(shí)，兩車也恰好相遇．
(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時(shí)）是多少．
(2)若甲乙兩車同時(shí)按原速度行駛了1小時(shí)，甲車發(fā)生故障不動(dòng)了，為了保證乙車再經(jīng)過不超過2小時(shí)與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時(shí)多少千米？
【答案】(1)甲車的速度為，乙車的速度為
(2)乙車提速后的速度至少是每小時(shí)60千米

【分析】（1）設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，根據(jù)“若甲車行駛2小時(shí)，乙車行駛3小時(shí)，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時(shí)，乙車行駛1小時(shí)，兩車也恰好相遇”列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)乙車提速后的速度為，根據(jù)題意，列出不等式，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，
根據(jù)題意得，解得，
答：甲車的速度為，乙車的速度為；
（2）解：設(shè)乙車提速后的速度為，
根據(jù)題意得，
解得，
答：乙車提速后的速度至少是每小時(shí)60千米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在爆破時(shí)，如果導(dǎo)火索燃燒的速度是，人跑開的速度是，那么要使點(diǎn)導(dǎo)火索的施工人員在點(diǎn)火后能夠跑到以外（包括）的安全地區(qū)，這根導(dǎo)火索的長(zhǎng)度至少應(yīng)取多少米?
【答案】
【分析】設(shè)導(dǎo)火索至少要長(zhǎng)，為了安全，則人跑開的時(shí)間應(yīng)該小于或等于導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間，列不等式即可．
【詳解】設(shè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)為，
由題意得：，

答：這根導(dǎo)火索的長(zhǎng)度至少應(yīng)?。?br /> 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是以100m的安全距離作為不等量關(guān)系列不等式求解．
3．（2022春·上海·八年級(jí)期中）小明早上七點(diǎn)騎自行車從家出發(fā)，以每小時(shí)18千米的速度到距家7千米的學(xué)校上課，行至距學(xué)校1千米的地方時(shí)，自行車突然發(fā)生故障，小明只得改為步行前往學(xué)校，如果他想在7點(diǎn)30分趕到學(xué)校，那么他每小時(shí)步行的速度至少是多少千米？
【答案】小明每小時(shí)步行的速度至少是6千米．
【分析】設(shè)小明步行的速度為x千米/時(shí)，利用路程=速度×?xí)r間，結(jié)合小明想在7點(diǎn)30分之前趕到學(xué)校，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)小明步行的速度為x千米/時(shí)，
依題意得：（7-1）+（-）x≥7，
解得：x≥6．
答：每小時(shí)步行的速度至少是6千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021春·山西·七年級(jí)校聯(lián)考期末）小宇騎自行車從家出發(fā)前往地鐵號(hào)線的站，與此同時(shí)，一列地鐵從站開往站．分鐘后，地鐵到達(dá)站，此時(shí)小宇離站還有米．已知、兩站間的距離和小宇家到站的距離恰好相等，這列地鐵的平均速度是小宇騎車的平均速度的倍．
（1）求小宇騎車的平均速度
（2）如果此時(shí)另有一列地鐵需分鐘到達(dá)站，且小宇騎車到達(dá)站后還需分鐘才能走到地鐵站臺(tái)候車，那么他要想乘上這趟地鐵，騎車的平均速度至少應(yīng)提高多少？（假定這兩列地鐵的平均速度相同）
【答案】（1）小宇騎車的平均速度是米/分；（2）至少應(yīng)提高米/分
【分析】（1）設(shè)小明騎車的平均速度是x米/分，、兩站間的距離和小宇家到站的距離恰好相等，列出方程 3x+2400=3×5 x，解方程即可得解；
（2）設(shè)小明的速度提高y米/分，根據(jù)題意列出一元一次不等式，即可得出答案；
【詳解】解：（1）設(shè)小宇騎車的平均速度是米/分．
根據(jù)題意，得
解得
答：小宇騎車的平均速度是米/分．
（2）設(shè)小宇騎車的平均速度提高米/分．
根據(jù)題意，得
解得．
答：小宇騎車的平均速度至少應(yīng)提高米/分．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題中的不等及相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
5．（2021·廣西百色·校聯(lián)考一模）鄧?yán)蠋煆膶W(xué)校出發(fā)，到距學(xué)校2160米的某商場(chǎng)買學(xué)習(xí)獎(jiǎng)品，她步行了9分鐘然后換騎共享單車，全程共用15分鐘（轉(zhuǎn)換方式所需時(shí)間忽略不計(jì)）．已知鄧?yán)蠋燆T共享單車的平均速度是步行速度的3倍．
（1）鄧?yán)蠋煵叫泻万T共享單車的平均速度分別是多少？
（2）若鄧?yán)蠋熑匀灰圆叫泻万T共享單車的方式分別按原來速度原路返回，買完獎(jiǎng)品時(shí)正好，為趕上的數(shù)學(xué)課，問路上最多可步行多少米？
【答案】（1）鄧?yán)蠋煵叫泻万T共享單車的平均速度分別為80米/分，240米/分；（2）鄧?yán)蠋熉飞献疃嗫刹叫?00米．
【分析】（1）設(shè)鄧?yán)蠋煵叫泻万T共享單車的平均速度分別為x米/分、y米/分，根據(jù)“全程共用15分鐘（轉(zhuǎn)換方式所需時(shí)間忽略不計(jì)）．已知鄧?yán)蠋燆T共享單車的平均速度是步行速度的3倍”，列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)鄧?yán)蠋熉飞峡刹叫衋米，根據(jù)“鄧?yán)蠋熆苫ㄔ诼飞系臅r(shí)間最多還有14分鐘”列出不等式，即可求解．
【詳解】（1）設(shè)鄧?yán)蠋煵叫泻万T共享單車的平均速度分別為x米/分、y米/分，根據(jù)題意得
∴，解得，
答：鄧?yán)蠋煵叫泻万T共享單車的平均速度分別為80米/分，240米/分.
（2）由題意可知鄧?yán)蠋熆苫ㄔ诼飞系臅r(shí)間最多還有14分鐘，設(shè)鄧?yán)蠋熉飞峡刹叫衋米，根據(jù)題意得
，解得：，
答：鄧?yán)蠋熉飞献疃嗫刹叫?00米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，找出等量關(guān)系和不等量關(guān)系，列出方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．
類型二、工程問題
【解惑】
（2022秋·重慶豐都·九年級(jí)?？计谥校┍娝苤?，我國(guó)新疆盛產(chǎn)棉花，品種多且質(zhì)量好，其中天然彩棉最具特色．每年4月底至5月初是種植天然彩棉的最佳季節(jié)．某農(nóng)場(chǎng)今年有8480畝待種棉地，計(jì)劃全部播種天然彩棉．農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有雇傭工人若干名，且每個(gè)工人每小時(shí)種植棉花的面積相同．農(nóng)場(chǎng)先將所有工人分成A、B、C三組，其中C組比A組多5人，且A、B、C三組工人每天勞動(dòng)時(shí)間分別為12小時(shí)，10小時(shí)，8小時(shí)．一開始三組工人剛好用了8天完成了3200畝棉地的種植；接下來，農(nóng)場(chǎng)安排A組工人每天勞動(dòng)8小時(shí)，C組工人每天勞動(dòng)12小時(shí)，B組工人勞動(dòng)時(shí)間不變，這樣調(diào)整后的三組工人也剛好用了8天完成了3280畝棉地的種植．為了不錯(cuò)過種植的最佳季節(jié)，農(nóng)場(chǎng)決定從其他農(nóng)場(chǎng)緊急雇傭3m名工人，平均分配給A、B、C三組進(jìn)行支援，此時(shí)A、B、C三組工人每天勞動(dòng)時(shí)間仍分別為8小時(shí)，10小時(shí)，12小時(shí)，以確保剩下的棉地在4天內(nèi)完成全部種植，則3m的最小值為______．
【答案】18
【分析】根據(jù)題目設(shè)出所需的未知數(shù)，并且列出所需的方程式與不等式即可求出．
【詳解】解：設(shè)A、B、C三組工人的人數(shù)分別為人，人，人，每名工人每小時(shí)種植棉花的面積為，
根據(jù)條件可得
，化簡(jiǎn)得①，
，化簡(jiǎn)得②，
得，，解得，
將代入①中得，
則

解得，
故的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題目條件列出方程組以及不等式是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022春·海南海口·七年級(jí)?？计谥校?月份是空調(diào)銷售和安裝的高峰時(shí)期．某區(qū)域售后服務(wù)中心現(xiàn)有600臺(tái)已售空調(diào)尚待安裝，另外每天還有新銷售的空調(diào)需要安裝．設(shè)每天新銷售的空調(diào)臺(tái)數(shù)相同，每個(gè)空調(diào)安裝小組每天安裝空調(diào)的臺(tái)數(shù)也相同．若同時(shí)安排3個(gè)裝機(jī)小組，恰好60天可將空調(diào)安裝完畢；若同時(shí)安排5個(gè)裝機(jī)小組，恰好20天就能將空調(diào)安裝完畢．
(1)求每天新銷售的空調(diào)數(shù)和每個(gè)空調(diào)安裝小組每天安裝空調(diào)的臺(tái)數(shù)；
(2)如果要在5天內(nèi)將空調(diào)安裝完畢，那么該區(qū)域售后服務(wù)中心至少需要安排幾個(gè)空調(diào)安裝小組同時(shí)進(jìn)行安裝？
【答案】(1)每天新銷售空調(diào)為20，每個(gè)裝機(jī)小組每天的裝機(jī)量為10臺(tái)；
(2)至少需要安排14個(gè)空調(diào)安裝小組同時(shí)進(jìn)行安裝才能在5天內(nèi)裝完．

【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，列出二元一次方程組，直接解方程組即可；
（2）根據(jù)題意設(shè)至少需要安排a個(gè)空調(diào)安裝小組同時(shí)進(jìn)行安裝，列出不等式解答即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)每天新銷售的空調(diào)數(shù)為x，每個(gè)裝機(jī)小組每天的裝機(jī)量為y；
由題意可知，
解得：，
所以，每天新銷售空調(diào)為20，每個(gè)裝機(jī)小組每天的裝機(jī)量為10臺(tái)；
（2）解：設(shè)需要安排a個(gè)空調(diào)安裝小組同時(shí)進(jìn)行安裝，
由題意可知，
解得，
所以至少需要安排14個(gè)空調(diào)安裝小組同時(shí)進(jìn)行安裝才能在5天內(nèi)裝完．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意，列出方程組和不等式，屬于中檔題．
2．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明借到一本72頁(yè)的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開始2天每天只讀5頁(yè)，在剩下的時(shí)間里，小明每天至少要讀多少頁(yè)？
【答案】小明每天至少讀8頁(yè)才能讀完．
【分析】設(shè)以后每天讀x頁(yè)，根據(jù)小明借到一本有72頁(yè)的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開始2天每天只讀5頁(yè)，可列出不等式求解．
【詳解】解：設(shè)以后每天讀x頁(yè)，
，
．
答：小明每天至少讀8頁(yè)才能讀完．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵設(shè)出每天讀多少頁(yè)，以總頁(yè)數(shù)作為關(guān)系式列不等式求解．
3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)參加一條道路的施工改造，受條件阻制，每天只能由一個(gè)工程隊(duì)施工．甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工3天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工5天，則可以完成340米施工任務(wù)；若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工2天，再由乙工程對(duì)單獨(dú)施工4天，則可以完成260米的施工任務(wù)．
(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)平均每天分別能完成多少米施工任務(wù)？
(2)要改造的道路全長(zhǎng)1300米，工期不能超過30天，那么乙工程隊(duì)至少施工多少天？
【答案】(1)甲工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)30米，乙工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)50米
(2)乙工程隊(duì)至少施工20天

【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天施工米，乙工程隊(duì)每天施工米，然后根據(jù)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工3天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工5天，則可以完成340米施工任務(wù)；甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工2天，再由乙工程對(duì)單獨(dú)施工4天，則可以完成260米的施工任務(wù)建立方程求解即可；
（2）設(shè)乙工程隊(duì)施工天，根據(jù)時(shí)間任務(wù)量每天的工作任務(wù)列出不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)每天施工米，乙工程隊(duì)每天施工米．
根據(jù)題意得：，
解得：
答：甲工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)30米，乙工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)50米．
（2）解：設(shè)乙工程隊(duì)施工天．
根據(jù)題意得：，
解得：
答：乙工程隊(duì)至少施工20天．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程，找到不等關(guān)系建立不等式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校為美化校園環(huán)境，計(jì)劃對(duì)面積為的區(qū)域進(jìn)行綠化，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成．已知乙隊(duì)每天能完成綠化的面積是50平方米，甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的2倍，學(xué)校每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為0.4萬元，每天需付給乙隊(duì)為0.5萬元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過8萬元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作多少天？
【答案】至少安排甲隊(duì)工作10天．
【分析】根據(jù)題意“甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的2倍，學(xué)校每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為0.4萬元，每天需付給乙隊(duì)為0.5萬元，這次的綠化總費(fèi)用不超過8萬元”列出一元一次不等式，解不等式即可．
【詳解】解；設(shè)安排甲隊(duì)工作x天，根據(jù)題意得：

解得：x≥10．
答：至少安排甲隊(duì)工作10天．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題干條件抽象出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）［方案思想］
（一）為了豐富群眾文化生活，某縣城區(qū)已經(jīng)整體轉(zhuǎn)換成了數(shù)字電視．目前該縣廣播電視信息網(wǎng)絡(luò)公司正在對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行數(shù)字電視改裝．公司現(xiàn)有400戶申請(qǐng)了但還未安裝的用戶，此外每天還有新的用戶申請(qǐng)．已知每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量相同，且每天申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)也相同，公司若安排3個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，則50天可以安裝完所有新、舊申請(qǐng)用戶；若公司安排5個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，則10天可以安裝完所有新，舊申請(qǐng)用戶．
(1)求每天新申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)及每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量；
(2)如果要求在8天內(nèi)安裝完所有新、舊申請(qǐng)用戶，但前3天只能派出2個(gè)安裝小組安裝，那么最后幾天至少需要增加多少個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，才能完成任務(wù)．
（二）“端午節(jié)”是中華民族古老的傳統(tǒng)節(jié)日．甲、乙兩家超市在“端午節(jié)”當(dāng)天對(duì)一種原來售價(jià)相同的粽子分別推出了不同的優(yōu)惠方案．
甲超市方案：購(gòu)買該種粽子超過200元后，超出200元的部分按95%收費(fèi)；
乙超市方案：購(gòu)買該種粽子超過300元后，超出300元的部分按90%收費(fèi)．
設(shè)某位顧客購(gòu)買了x元的該種粽子．
x（單位：元）
實(shí)際在甲超市的花費(fèi)（單位：元）
實(shí)際在乙超市的花費(fèi)（單位：元）
200
x
x

　　　　　
x

　　　　　
　　　　　　

(3)補(bǔ)充表格，填寫在“橫線”上；
(4)當(dāng)x為何值時(shí)到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣？
(5)如果顧客在“端午節(jié)”當(dāng)天購(gòu)買該種粽子超過300元，那么到哪家超市花費(fèi)更少？說明理由．
【答案】(1)每天新申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)為40戶，每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量為16戶
(2)最后幾天至少需要增加6個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，才能完成任務(wù)
(3)見解析
(4)當(dāng)0＜x≤200或x＝400時(shí)，到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣
(5)當(dāng)300＜x＜400時(shí)，到甲超市購(gòu)買花費(fèi)更少；當(dāng)x＝400時(shí)，到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣；當(dāng)x＞400時(shí)，到乙超市購(gòu)買花費(fèi)更少

【分析】（一）（1）設(shè)每天新申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)為a戶，每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量為b戶，根據(jù)“安排3個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，50天可以安裝完所有新、舊申請(qǐng)用戶；安排5個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，10天可以安裝完所有新，舊申請(qǐng)用戶”，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)最后幾天需要增加m個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，根據(jù)在8天內(nèi)安裝完所有新、舊申請(qǐng)用戶，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論；
（二）（3）根據(jù)兩家超市給出的優(yōu)惠方案，即可用含x的代數(shù)式表示出在兩家超市購(gòu)買所需費(fèi)用；
（4）當(dāng)0＜x≤200時(shí)，顯然成立；當(dāng)x＞300時(shí)，由到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，綜上，此問得解；
（5）分95%x＋10＜90%x＋30，95%x＋10＝90%x＋30及95%x＋10＞90%x＋30三種情況，求出x的取值范圍或x的值，進(jìn)而即可得出結(jié)論．
（1）
解：設(shè)每天新申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)為a戶，每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量為b戶，依題意得：

解得：．
答：每天新申請(qǐng)安裝的用戶數(shù)為40戶，每個(gè)安裝小組每天安裝的數(shù)量為16戶．
（2）
解：設(shè)最后幾天需要增加m個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，
依題意得：2×3×16＋（2＋m）×（8?3）×16≥400＋40×8，
解得：m≥
又∵m為整數(shù)，
∴m的最小值為6，
答：最后幾天至少需要增加6個(gè)安裝小組同時(shí)安裝，才能完成任務(wù)．
（3）
解：在甲超市購(gòu)買：當(dāng)200＜x≤300時(shí)，所需費(fèi)用為200＋95%（x?200）＝（95%x＋10）元；
當(dāng)x＞300時(shí)，所需費(fèi)用為200＋95%（x?200）＝（95%x＋10）元；
在乙超市購(gòu)買：當(dāng)x＞300時(shí)，所需費(fèi)用為300＋90%（x?300）＝（90%x＋30）元．
x（單位：元）
實(shí)際在甲超市的花費(fèi)（單位：元）
實(shí)際在乙超市的花費(fèi)（單位：元）
200
x
x

95%x+10
x

95%x+10
90%x+30
（4）
解：當(dāng)0＜x≤200時(shí)，x＝x，顯然成立；
當(dāng)x＞300時(shí)，95%x＋10＝90%x＋30，
解得：x＝400．
答：當(dāng)0＜x≤200或x＝400時(shí)，到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣．
（5）
解：當(dāng)95%x＋10＜90%x＋30時(shí)，x＜400，
又∵x＞300，
∴當(dāng)300＜x＜400時(shí)，到甲超市購(gòu)買花費(fèi)更少；
當(dāng)95%x＋10＝90%x＋30時(shí)，x＝400，
∴當(dāng)x＝400時(shí)，到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣；
當(dāng)95%x＋10＞90%x＋30時(shí)，x＞400，
∴當(dāng)x＞400時(shí)，到乙超市購(gòu)買花費(fèi)更少．
答：當(dāng)300＜x＜400時(shí)，到甲超市購(gòu)買花費(fèi)更少；當(dāng)x＝400時(shí)，到甲、乙兩超市的花費(fèi)一樣；當(dāng)x＞400時(shí)，到乙超市購(gòu)買花費(fèi)更少．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（一）（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（二）（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出各數(shù)量；（4）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（5）分95%x＋10＜90%x＋30，95%x＋10＝90%x＋30及95%x＋10＞90%x＋30三種情況，求出x的取值范圍或（或x的值）．
類型三、利潤(rùn)問題
【解惑】
（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某種筆記本原售價(jià)是每本7元，凡一次購(gòu)買3本或以上可享受優(yōu)惠價(jià)格，第1種：3本按原價(jià)，其余按七折優(yōu)惠；第2種：全部按原價(jià)的八折優(yōu)惠，若想在購(gòu)買相同數(shù)量的情況下，要使第1種比第2種更優(yōu)惠，則至少購(gòu)買筆記本是（????）
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
【答案】D
【分析】設(shè)購(gòu)買x本筆記本，根據(jù)題意得出第1種所需費(fèi)用：，第2種所需費(fèi)用：，利用第1種比第2種更優(yōu)惠，列出不等式求解即可．
【詳解】解：設(shè)購(gòu)買x本筆記本，由題意可知，要使第1種比第2種更優(yōu)惠，則：
，
解得：，
∴最少購(gòu)買10本．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）隨著新冠疫情的出現(xiàn)，口罩成為日常生活的必需品，某醫(yī)藥公司每月生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的防疫口罩共萬只，且所有口罩當(dāng)月全部賣出，其中成本、售價(jià)如表所示：

甲
乙
成本
元/只
元/只
售價(jià)
元/只
元/只
(1)若該公司三月份的利潤(rùn)為萬元，求生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的防疫口罩分別是多少萬只？
(2)養(yǎng)正學(xué)校到該公司購(gòu)買乙型口罩，有如下兩種方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：購(gòu)買元會(huì)員卡后，乙型口罩一律打折，請(qǐng)幫養(yǎng)正學(xué)校設(shè)計(jì)出合適的購(gòu)買方案．
【答案】(1)生產(chǎn)甲型口罩萬只，乙型口罩萬只；
(2)當(dāng)購(gòu)買數(shù)量少于只時(shí)，選擇方案一購(gòu)買更實(shí)惠；當(dāng)購(gòu)買數(shù)量等于只時(shí)，選擇兩種方案所需費(fèi)用相同；當(dāng)購(gòu)買數(shù)量多于只時(shí)，選擇方案二購(gòu)買更實(shí)惠．

【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)甲型口罩萬只，乙型口罩萬只，根據(jù)“甲、乙兩種型號(hào)的防疫口罩共萬只；每只口罩的成本、售價(jià)已給出且該公司三月份的利潤(rùn)為萬元”，即可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解此方程可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買乙型口罩只，則選擇方案一所需費(fèi)用為（元），選擇方案二所需費(fèi)用為（元），要選擇合適的購(gòu)買方案，有三種情況，根據(jù)每種情況列出不等式，求解不等式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)甲型口罩萬只，乙型口罩萬只，依題意得：
，解得：．
因此，生產(chǎn)甲型口罩萬只，乙型口罩萬只．
（2）設(shè)購(gòu)買乙型口罩只，則選擇方案一所需費(fèi)用為：（元），選擇方案二所需費(fèi)用為：（元）．
當(dāng)時(shí)，解得：；
當(dāng)時(shí)，解得：；
當(dāng)時(shí)，解得：．
因此，當(dāng)購(gòu)買數(shù)量少于只時(shí)，選擇方案一購(gòu)買更實(shí)惠；當(dāng)購(gòu)買數(shù)量等于只時(shí)，選擇兩種方案所需費(fèi)用相同；當(dāng)購(gòu)買數(shù)量多于只時(shí)，選擇方案二購(gòu)買更實(shí)惠．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握方程的解法，正確找到題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程與不等式，是解這道題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·河北保定·七年級(jí)校考期末）某超市對(duì) A，B 兩種商品開展春節(jié)促銷活動(dòng)，活動(dòng)方案有如下兩種：

商品
A
B
標(biāo)價(jià)（單位：元）
110
160
方案一
每件商品出售價(jià)格
按標(biāo)價(jià)打7折
按標(biāo)價(jià)打 a 折
方案二
若所購(gòu)商品超過10件（不同商品可累計(jì)）時(shí)，每件商品均按標(biāo)價(jià)打8折后出售
（同一種商品不可同時(shí)參與兩種活動(dòng)）
(1)某單位購(gòu)買A商品5件，B 商品4件，共花費(fèi)961元，求a的值；
(2)在（1）的條件下，若某單位購(gòu)買A商品x件，購(gòu)買B商品的件數(shù)比A商品件數(shù)的2倍還多一件，請(qǐng)問該單位該如何選擇才能獲得最大優(yōu)惠？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)9
(2)當(dāng)時(shí)，選擇方案一才能獲得最大優(yōu)惠，當(dāng)時(shí)選擇方案二才能獲得最大優(yōu)惠

【分析】（1）先求出商品A和B每件的出售價(jià)格，再由其出售的件數(shù)和總費(fèi)用即可列出關(guān)于的一元一次方程，求解即可；
（2）可知B商品購(gòu)買的件數(shù)為件，表示出方案一和方案二的總費(fèi)用，比較即可確定選擇方案．
【詳解】（1）商品A每件的出售價(jià)格為（元），商品B每件的出售價(jià)格為（元），根據(jù)題意得：
解得
所以的值為9．
（2）若某單位購(gòu)買商品件，則購(gòu)買B商品件，
當(dāng)，即時(shí)，只能選擇方案一得最大優(yōu)惠
當(dāng)，即時(shí)，
方案一中商品B每件的出售價(jià)格為（元），總費(fèi)用為；
方案二的總費(fèi)用為，

當(dāng)時(shí)選擇方案二才能獲得最大優(yōu)惠，
綜合上述，當(dāng)時(shí)，選擇方案一才能獲得最大優(yōu)惠，當(dāng)時(shí)選擇方案二才能獲得最大優(yōu)惠．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意找準(zhǔn)題中等量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2021春·重慶南岸·八年級(jí)校聯(lián)考期中）新冠肺炎疫情發(fā)生后．口罩市場(chǎng)出現(xiàn)熱銷，小明的爸爸用12000元購(gòu)進(jìn)醫(yī)用外科、兩種型號(hào)的口罩在自家藥房銷售．銷售完后總銷售額為14700元，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：
品名價(jià)格
醫(yī)用外科口罩
口罩
進(jìn)價(jià)（元/袋）
20
30
售價(jià)（元/袋）
25
36
(1)小明爸爸的藥房購(gòu)進(jìn)醫(yī)用外科、兩種型號(hào)口罩各多少袋？
(2)該藥房第二次以原價(jià)購(gòu)進(jìn)醫(yī)用外科、兩種型號(hào)口罩，購(gòu)進(jìn)醫(yī)用外科口罩袋數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)口罩袋數(shù)是第一次的2倍，醫(yī)用外科口罩按原售價(jià)出售，而效果更好的口罩打折讓利銷售，若兩種型號(hào)的口罩全部售完，要使第二次銷售活動(dòng)獲利不少于2460元，每袋口罩最多打幾折？
【答案】(1)該商店購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩300袋，乙種型號(hào)口罩200袋；
(2)每袋乙種型號(hào)的口罩最多打9折．

【分析】（1）直接利用進(jìn)貨總費(fèi)用為12000元以及共獲利2700元分別得出等式求出答案；
（2）直接利用第二次銷售活動(dòng)獲利不少于2460元，得出不等關(guān)系求出答案．
【詳解】（1）解∶設(shè)小明爸爸的商店購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋，乙種型號(hào)口罩袋，則，
解得∶，
答：該商店購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩300袋，乙種型號(hào)口罩200袋；
（2）設(shè)每袋乙種型號(hào)的口罩打折，則

解得：，
答∶每袋乙種型號(hào)的口罩最多打9折．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2022春·海南?？凇て吣昙?jí)瓊山中學(xué)校考階段練習(xí)）春節(jié)前小六從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)蔬菜進(jìn)行零售，蔬菜批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如下表：
品種
青椒
土豆
批發(fā)價(jià)（元/kg）

3
零售價(jià)（元/kg）
3
4
請(qǐng)解答下列問題：
(1)第一天，小六批發(fā)青椒和土豆兩種共，用去了450元錢，這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺多少元錢？
(2)第二天，還是用去450元錢批發(fā)青椒和土豆，要想當(dāng)天全部售完后所賺錢數(shù)不少于270元，則最多能批發(fā)土豆多少千克？
【答案】(1)這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺250元；
(2)最多能批發(fā)土豆．

【分析】（1）設(shè)批發(fā)青椒，土豆，根據(jù)批發(fā)青椒和土豆兩種蔬菜共，用去了450元錢，列方程求解；
（2）設(shè)批發(fā)土豆，根據(jù)當(dāng)天全部售完后所賺錢數(shù)不少于270元，列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)批發(fā)青椒，土豆，
由題意得：，
解得：，
故批發(fā)青椒，土豆，則這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺：
（元），
答：這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺250元；
（2）設(shè)批發(fā)了土豆，則青椒批發(fā)，
由題意得，
解得，
答：最多能批發(fā)土豆．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解．
5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某網(wǎng)店在“618購(gòu)物節(jié)”前準(zhǔn)備從廠家選購(gòu)相同數(shù)量的、兩種商品，已知種商品每件進(jìn)價(jià)比種商品每件進(jìn)價(jià)少20元，購(gòu)進(jìn)種商品需要1200元，購(gòu)進(jìn)種商品需要1000元．
(1)求、兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元；
(2)若種商品的售價(jià)為每件145元，種商品的售價(jià)為每件120元，該網(wǎng)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)、兩種商品共40件，且這兩種商品的全部售出后總利潤(rùn)不少于920元，則種商品最多可購(gòu)進(jìn)多少件？
【答案】(1)甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是120元、100元；
(2)乙種商品最多可購(gòu)進(jìn)16件．

【分析】（1）根據(jù)購(gòu)進(jìn)種商品比購(gòu)進(jìn)種商品一共少多少元，可以得出種商品多少件，總錢數(shù)除件數(shù)，即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)該網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)乙種商品件，則購(gòu)進(jìn)甲種商品件，根據(jù)題意列出不等式，求出解集即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，購(gòu)進(jìn)種商品比購(gòu)進(jìn)種商品一共少元，
種商品每件進(jìn)價(jià)比種商品每件進(jìn)價(jià)少20元，
所以（件，
商品的進(jìn)價(jià)：（元；
商品的進(jìn)價(jià)：（元；
答：甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是120元、100元；
（2）解：設(shè)該網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)乙種商品件，則購(gòu)進(jìn)甲種商品件，
列不等式：，
解得：，
答：乙種商品最多可購(gòu)進(jìn)16件．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，掌握一元一次不等式的應(yīng)用是關(guān)鍵．

類型四、和差倍分問題
【解惑】
（2020·湖南常德·統(tǒng)考一模）我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老幻方：將1-9這九個(gè)數(shù)字填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等.如圖的幻方中字母m所能表示的所有數(shù)中最大的數(shù)是（????）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等可分別用含m的代數(shù)式表示出其余的6個(gè)數(shù)，再根據(jù)這些數(shù)都是正整數(shù)列出不等式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)“每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于15，
∴第一行第二個(gè)數(shù)為：15﹣2﹣m＝13﹣m，
第三行第一個(gè)數(shù)為：15﹣2﹣5＝8，
第三行第三個(gè)數(shù)為：15﹣5﹣m＝10﹣m，
∴第二行第一個(gè)數(shù)為：15﹣8﹣m＝7﹣m，
第二行第三個(gè)數(shù)為：15﹣2﹣(10﹣m)＝3+m，
第三行第二個(gè)數(shù)為：15﹣8﹣(10﹣m)＝m﹣3，
∵這九個(gè)數(shù)字都是正整數(shù)，
∴13﹣m＞0，則m＜13，
10﹣m＞0，則m＜10，
7﹣m＞0，則m＜7，
3+m＞0，則m＞﹣3，
m﹣3＞0，則m＞3，
∴m的取值范圍是3＜m＜7，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大整數(shù)值為6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，抓住每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等用含m的代數(shù)式表示每一個(gè)數(shù)字進(jìn)而列出不等式求解是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）某校為活躍班級(jí)體育大課間，計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)一批羽毛球和乒乓球．第一次分別購(gòu)進(jìn)羽毛球和乒乓球30盒和15盒，共花費(fèi)675元；第二次分別購(gòu)進(jìn)羽毛球和乒乓球12盒和5盒，共花費(fèi)265元．若兩次購(gòu)進(jìn)的羽毛球和乒乓球的價(jià)格均分別相同．
(1)羽毛球和乒乓球每盒的價(jià)格分別是多少元？
(2)若購(gòu)買羽毛球和乒乓球共30盒，且乒乓球的數(shù)量少于羽毛球數(shù)量的2倍，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用．
【答案】(1)羽毛球每盒的價(jià)格是20元，乒乓球每盒的價(jià)格是5元
(2)當(dāng)購(gòu)買羽毛球11盒，乒乓球19盒時(shí)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為315元

【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可．
（2）設(shè)購(gòu)x盒羽毛球，則購(gòu)置盒乒乓球，根據(jù)題意，得，設(shè)總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意，構(gòu)造一次函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】（1）設(shè)羽毛球每盒的價(jià)格是x元，乒乓球每盒的價(jià)格是為y元，根據(jù)題意，得
，
解得，
故羽毛球每盒的價(jià)格是20元，乒乓球每盒的價(jià)格是5元．
（2）設(shè)購(gòu)x盒羽毛球，則購(gòu)置盒乒乓球，根據(jù)題意，得
，
解得，
設(shè)總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意，得
，
因?yàn)閣隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x取最小值時(shí)，w有最小值，
因?yàn)閤是整數(shù)，
所以，，
所以（元），
所以購(gòu)買羽毛球11盒，乒乓球19盒時(shí)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為315元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，熟練列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某班級(jí)為學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)步的學(xué)生購(gòu)買獎(jiǎng)品，計(jì)劃購(gòu)買同一品牌的鋼筆和自動(dòng)鉛筆，到文教店查看定價(jià)后發(fā)現(xiàn)，購(gòu)買1支鋼筆和5支自動(dòng)鉛筆共需50元，購(gòu)買3支鋼筆和2支自動(dòng)鉛筆共需85元．
(1)求該品牌的鋼筆、自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)分別是多少元；
(2)如果該班級(jí)需要自動(dòng)鉛筆的數(shù)量是鋼筆的數(shù)量的2倍還多8個(gè)，現(xiàn)在文教店進(jìn)行促銷活動(dòng)，全場(chǎng)商品一律八折出售，且班級(jí)購(gòu)買鋼筆和自動(dòng)鉛筆的總費(fèi)用不超過620元，那么該班級(jí)最多可購(gòu)買多少支該品牌的鋼筆？
【答案】(1)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為25元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為5元
(2)該班級(jí)最多可購(gòu)買21支該品牌的鋼筆

【分析】（1）設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為x元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買1支鋼筆和5支自動(dòng)鉛筆共需50元，購(gòu)買3支鋼筆和2支自動(dòng)鉛筆共需85元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該班級(jí)購(gòu)買m支該品牌的鋼筆，則購(gòu)買支該品牌的自動(dòng)鉛筆，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量結(jié)合班級(jí)購(gòu)買鋼筆和自動(dòng)鉛筆的總費(fèi)用不超過620元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為x元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為y元，
依題意，得：，
解得：，
答：該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為25元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為5元．
（2）解：設(shè)該班級(jí)購(gòu)買m支該品牌的鋼筆，則購(gòu)買支該品牌的自動(dòng)鉛筆，
依題意，得：，
解得：，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為21，
答：該班級(jí)最多可購(gòu)買21支該品牌的鋼筆．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）為了抓住中秋商機(jī)，某商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種月餅，若購(gòu)進(jìn)A種月餅10盒，B種月餅5盒，需要600元；若購(gòu)進(jìn)A種月餅5盒，B種月餅3盒，需要330元．
(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種月餅每盒需要多少元？
(2)若該商店決定拿出2400元全部用來購(gòu)進(jìn)兩種月餅，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種月餅的數(shù)量不少于B種月餅數(shù)量6倍，且不超過B種月餅數(shù)量的8倍．請(qǐng)你分別求出該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
【答案】(1)30元，60元
(2)3種，求解過程見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程組求解即可；
（2）根據(jù)題意可得設(shè)購(gòu)進(jìn)A種月餅a盒，購(gòu)進(jìn)B種月餅B盒，根據(jù)題意可得，再根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每盒A種月餅x元，每盒B種月餅y元，
，解得：，
答：每盒A種月餅30元，每盒B種月餅60元．
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種月餅a盒，購(gòu)進(jìn)B種月餅b盒，
，
整理得：，即：
∵，
∴，
解得：，
∵b為整數(shù)，
∴，
則a對(duì)應(yīng)為 64，62，60．
方案一：購(gòu)進(jìn)A種月餅64盒，購(gòu)進(jìn)B種月餅8盒；
方案二：購(gòu)進(jìn)A種月餅62盒，購(gòu)進(jìn)B種月餅9盒；
方案三：購(gòu)進(jìn)A種月餅60盒，購(gòu)進(jìn)B種月餅10盒；
答：商店有3種進(jìn)貨方案．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用以及解不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程和不等式求解．
4．（2021秋·重慶·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期中）金秋十月，丹桂飄香．香甜可口的桂花糕也成為了大家茶余飯后喜愛的甜點(diǎn)，某超市月分別用元和元購(gòu)進(jìn)A、兩種禮盒的桂花糕若干件，其中的件數(shù)是A的件數(shù)的倍，每件的進(jìn)價(jià)比每件A的進(jìn)價(jià)多元．A禮盒售價(jià)為元/件，禮盒售價(jià)為元/件．
(1)求該超市月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕多少件；
(2)由于深受廣大消費(fèi)者喜愛，月購(gòu)進(jìn)的A、兩款桂花糕很快就銷售完，月該超市繼續(xù)購(gòu)進(jìn)這兩款桂花糕，但在銷售時(shí)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，A禮盒的售價(jià)降低了，禮盒售價(jià)不變．結(jié)果A禮盒的銷量在月銷量的基礎(chǔ)上增加了，禮盒的銷量在月銷量的基礎(chǔ)上增加了，若要使得月兩種禮盒的總銷售額不低于元，求的最大值．
【答案】(1)月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕150件；
(2)m最大取20．

【分析】（1）設(shè)月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕x件, A禮盒桂花糕進(jìn)價(jià)為a元，則購(gòu)進(jìn)B禮盒桂花糕件, B禮盒桂花糕進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題中等量關(guān)系列方程組解答即可；
（2）由（1）可知：11月份A禮盒桂花售價(jià)為：元，銷量為：件，11月份B禮盒桂花售價(jià)為：24元，銷量為：件，若要使得月兩種禮盒的總銷售額不低于元，則，解得：，故m最大取20．
【詳解】（1）解：設(shè)月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕x件, A禮盒桂花糕進(jìn)價(jià)為a元，則購(gòu)進(jìn)B禮盒桂花糕件, B禮盒桂花糕進(jìn)價(jià)為元，
由題意可得：，解得：，
∴月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕150件．
（2）解：由（1）可知：月購(gòu)進(jìn)A禮盒桂花糕150件，購(gòu)進(jìn)B禮盒桂花糕300件；
∵11月份A禮盒桂花售價(jià)為：元，銷量為：件，
11月份B禮盒桂花售價(jià)為：24元，銷量為：件，
若要使得月兩種禮盒的總銷售額不低于元，
則，整理得：，解得：，
故m最大取20．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出方程組以及不等式．
5．（2023春·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某商場(chǎng)進(jìn)貨件A商品和件B商品共用了元，進(jìn)貨件A商品和件B商品共用了元．
(1)求A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)．
(2)該商場(chǎng)在某次進(jìn)貨中，B商品的件數(shù)比A商品的件數(shù)的2倍少4件，且A、B兩種商品的總件數(shù)至少為26件，總費(fèi)用不超過248元，請(qǐng)問該商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案？
【答案】(1)A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為元、元；
(2)A商品的件數(shù)為，B商品的件數(shù)為件；或A商品的件數(shù)為，B商品的件數(shù)為件．

【分析】（1）設(shè)A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為x元、y元，依題意列二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)A商品的件數(shù)為，則B商品的件數(shù)為件，依題意列一元一次不等式組，求解得到符合實(shí)際情況的取值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為x元、y元，
依題意得：

解得：
答：A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為元、元；
（2）設(shè)A商品的件數(shù)為，則B商品的件數(shù)為件，
依題意得：

解不等式組得：
故的取值為或
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
答：A商品的件數(shù)為，B商品的件數(shù)為件；
或A商品的件數(shù)為，B商品的件數(shù)為件．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用；一元一次不等式組解決實(shí)際問題；解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)量關(guān)系正確列出方程組和不等式組．
類型五、利息問題
【解惑】
（2013·浙江杭州·統(tǒng)考一模）某企業(yè)向銀行貸款100萬元，一年后歸還銀行106.6多萬元，則年利率高于_____%．
【答案】6.6
【詳解】試題分析：設(shè)年利率為x，根據(jù)“一年后歸還銀行106.6多萬元”即可列不等式求解．
設(shè)年利率為x，由題意得
，解得
則年利率高于6.6%．
考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用
點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到不等關(guān)系，正確列不等式求解．

【融會(huì)貫通】
1．（2018秋·湖南張家界·八年級(jí)?？计谀?007年5月19日起，中國(guó)人民銀行上調(diào)存款利率.
?????????????人民幣存款利率調(diào)整表:
項(xiàng)????目
調(diào)整前年利率％
調(diào)整后年利率％
活期存款
0.72
0.72
二年期定期存款
2.79
3.06
儲(chǔ)戶的實(shí)得利息收益是扣除利息稅后的所得利息，利息稅率為20％.??
（1）小明于2007年5月19日把3500元的壓歲錢按一年期定期存入銀行，到期時(shí)他實(shí)得利息收益是多少元?
（2）小明在這次利率調(diào)整前有一筆一年期定期存款，到期時(shí)按調(diào)整前的年利率2．79％計(jì)息，本金與實(shí)得利息收益的和為2555．8元，問他這筆存款的本金是多少元?
（3）小明爸爸有一張?jiān)?007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款單，為獲取更大的利息收益，想把這筆存款轉(zhuǎn)存為利率調(diào)整后的一年期定期存款．問他是否應(yīng)該轉(zhuǎn)存?請(qǐng)說明理由．
約定：①存款天數(shù)按整數(shù)天計(jì)算，一年按360天計(jì)算利息．
②比較利息大小是指從首次存入日開始的一年時(shí)間內(nèi)．獲得的利息比較．如果不轉(zhuǎn)存，利息按調(diào)整前的一年期定期利率計(jì)算；如果轉(zhuǎn)存，轉(zhuǎn)存前已存天數(shù)的利息按活期利率計(jì)算，轉(zhuǎn)存后，余下天數(shù)的利息按調(diào)整后的一年期定期利率計(jì)算(轉(zhuǎn)存前后本金不變)．
【答案】（1）85.68元；（2）2500元；（3）當(dāng)他這筆存款轉(zhuǎn)存前已存天數(shù)不超過41天時(shí)，他應(yīng)該轉(zhuǎn)存；當(dāng)他這筆存款轉(zhuǎn)存前已存天數(shù)超過41天，不需轉(zhuǎn)存.
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)利息=本金×利率×（1-利息稅）進(jìn)行計(jì)算；
（2）設(shè)他這筆存款的本金是x元，根據(jù)本息和=本金+利息=本金+本金×（1+利率）（1-利息稅）列方程即可；
（3）設(shè)小明爸爸的這筆存款轉(zhuǎn)存前已存了x天，根據(jù)兩次的利率表示利息之間的不等關(guān)系，求得未知數(shù)的取值范圍，進(jìn)一步得出結(jié)論．
試題解析：
（1）3500×3.06％×80％=85.68(元)，
∴到期時(shí)他實(shí)得利息收益是85.68元
（2）設(shè)他這筆存款的本金是x元，
則x(1+2.79％×80％)=2555.8，
解得x=2500，
∴這筆存款的本金是2500元．
（3）設(shè)小明爸爸的這筆存款轉(zhuǎn)存前已存了x天，由題意得
l0000××0．72％+10000××3.06％>10000×2.79％，
解得x30，請(qǐng)直接寫出滿足條件的c的值．
【答案】(1)①42，②5；(2)38；(3) 71或81或82或91或92或93.
【分析】(1)①由“迥異數(shù)”的定義求解即可；
②根據(jù)定義計(jì)算可得；
(2)先將這個(gè)“迥異數(shù)”用k的代數(shù)式表示為：12k+2，再計(jì)算f(b)的值，最后利用等式f(b)=11即可求得b.
(3)設(shè)這個(gè)“迥異數(shù)”的十位和個(gè)位分別是m和n，將這個(gè)數(shù)c及f(c)分別用m和n的代數(shù)式表示，然后再通過給出的不等式求解即可.
【詳解】解：(1)①由定義“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為迥異數(shù)”可知，40，42，44中，“迥異數(shù)”為42.
故答案為：42.
②f(23)=(23+32)÷11=5.
故答案為：5.
(2)∵這個(gè)“迥異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2(k+1)
∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.
將這個(gè)數(shù)的個(gè)位和十位調(diào)換后為：10×2(k+1)+k=21k+20
∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2
又f(b)=11
∴3k+2=11
∴k=3
故這個(gè)“迥異數(shù)”b=12k+2=38.
故答案為：38.
(3) 設(shè)這個(gè)“迥異數(shù)”c的個(gè)位為n，十位為m，則m≠n，且m,n均為大于1小于10的正整數(shù).
則c=10m+n，調(diào)換個(gè)位和十位后為：10n+m
故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n
∵c-5f（c）>30
∴10m+n-5(m+n) >30
整理得：5m-4n>30
∴，即……①
又∵
∴，解得：
又n為正整數(shù)
故n=1或2或3
當(dāng)n=1時(shí)，代入①中，m=7或8或9，此時(shí)c=71或81或91；
當(dāng)n=2時(shí)，代入①中，m=8或9，此時(shí)c=82或92;
當(dāng)n=3時(shí)，代入①中，m=9，此時(shí)c=93.
故所有滿足條件的c有：71或81或82或91或92或93.
【點(diǎn)睛】本題借助“迥異數(shù)”這個(gè)新定義考查了一元一次不等式的解法，能理解題目意思，理解“迥異數(shù)”是解決此題的關(guān)鍵.

類型八、幾何問題
【解惑】
（2021春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一機(jī)器人在平地上按圖中的程序行走，要使機(jī)器人行走的路程大于10m，則a的值可能是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判斷出機(jī)器人所走過的路線是正多邊形，然后用多邊形的外角和除以每一個(gè)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，機(jī)器人所走過的路線是正多邊形，
∵每一次都是右轉(zhuǎn)a°，
∴多邊形的邊數(shù)＝360°÷a°＝，
∴×1＞10，即：a＜36，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，判斷出走過的路線是正多邊形是解題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1.（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 ___ ．
【答案】100°
【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得800度．則內(nèi)角和是（n-2）?180°與800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）?180°≥800°，多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求出少計(jì)算的內(nèi)角．
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．
依題意有（n-2）?180°≥800°，
解得：n≥，
則多邊形的邊數(shù)n=7；
多邊形的內(nèi)角和是（7-2）?180=900度；
則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為900°-800°=100°．
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理及不等式的解法，解題的關(guān)鍵是由題意列出不等式求出這個(gè)少算內(nèi)角的取值范圍．
2.（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）將長(zhǎng)為4，寬為（大于2且小于4）的長(zhǎng)方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪上一個(gè)邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長(zhǎng)方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長(zhǎng)等于此時(shí)長(zhǎng)方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…，若在第次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)時(shí)，的值為 ___________．

【答案】3或
【分析】根據(jù)題意，第一次和第二次操作后，通過列不等式并求解，即可得到的取值范圍；第三次操作后，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，第一次操作，當(dāng)剩下的長(zhǎng)方形寬為：，長(zhǎng)為：時(shí)，得：
∴
當(dāng)剩下的長(zhǎng)方形寬為：，長(zhǎng)為：時(shí)，得：
∴
∵
∴第一次操作，當(dāng)剩下的長(zhǎng)方形寬為：，長(zhǎng)為：；
第二次操作，當(dāng)剩下的長(zhǎng)方形寬為：，長(zhǎng)為：時(shí)，得：
解得：
∴
當(dāng)剩下的長(zhǎng)方形寬為：，長(zhǎng)為：時(shí)，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰為正方形，且
∴第三次操作后，當(dāng)剩下的正方形邊長(zhǎng)為：時(shí)，得：
解得：
∵
∴符合題意；
當(dāng)剩下的正方形邊長(zhǎng)為：時(shí)，得：
解得：
∵
∴符合題意；
∴的值為：3或
故答案為：3或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠AOB＝120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時(shí)針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí)，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時(shí)針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度順時(shí)針返回，當(dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t＝5時(shí)，則∠POQ的度數(shù)是______．
(2)求射線OQ返回時(shí)t的值取值范圍．
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求t的取值范圍．
（注：此題主要考查，把不等式變等式來求，分三種情況，求相遇，相距30度的t，再寫三個(gè)不等式范圍）
【答案】(1)80°
(2)
(3)或或

【分析】（1）根據(jù)當(dāng)t＝5時(shí)，求出，即可求出；
（2）先求出，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)的時(shí)間，并且此時(shí)，再求出當(dāng)開始返回時(shí)的時(shí)間，即可得出射線返回時(shí)的時(shí)間返回；
（3）先求出第一次重合時(shí)的時(shí)間，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的幾種情況進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)t＝5時(shí)，，
，
故答案為：；
（2）解：，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（秒），
此時(shí)，
開始返回：(秒)，
射線返回時(shí)，，
即；
（3）解：，
第一次重合時(shí)，(秒)，
① 返回前，，重合前，，（秒），
即
②，重合后，，（秒），
即時(shí)，
③返回后到秒停止，時(shí)，
（秒），
即當(dāng)時(shí)，
綜上所述：或或，．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用、角的和差倍分關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意學(xué)會(huì)由分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
4．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為2米，另一邊長(zhǎng)為米，它的周長(zhǎng)不大于48米，求的取值范圍．
【答案】
【分析】根據(jù)的取值范圍必須滿足兩個(gè)條件：一個(gè)是這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不大于48米，另一個(gè)是長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)大于0，列出不等式組，解不等式組即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
解不等式組得：，
答：x的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列不等式組，并求不等式組的解，注意不要漏掉長(zhǎng)方形的長(zhǎng)要大于0這個(gè)隱含條件．
5．（2021春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若多邊形有且只有四個(gè)鈍角，那么此多邊形的邊數(shù)至多是多少？
【答案】7
【分析】根據(jù)題意，列出一元一次不等式，求最大整數(shù)解即可．
【詳解】設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意，得：

解得：，
∵n為正整數(shù)，
∴n=7，
∴此多邊形的邊數(shù)至多是7．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，理解題意列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
類型九、一元一次不等式組中取整
【解惑】
（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）不等式組有4個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解不等式組，利用表示出不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組只有4個(gè)整數(shù)解即可求得的范圍．
【詳解】解∶∵，
∴，
不等式組有4個(gè)整數(shù)解，
不等式組的整數(shù)解是3，4，5，6，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小無解了．

【融會(huì)貫通】
1．（2023春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于的不等式組有且僅有個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（??）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式有且僅有個(gè)整數(shù)解得出答案即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式組的解集是，
關(guān)于的不等式組有且僅有個(gè)整數(shù)解是，，，，，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，能得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．
2．（2022春·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】分別對(duì)于不等式組進(jìn)行求解，然后根據(jù)題意確定實(shí)數(shù)a所滿足的條件，求解即可．
【詳解】解：對(duì)于，
由①得：，
由②得：，
∵原不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，
∴，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，根據(jù)不等式組的整數(shù)解得出關(guān)于a的不等式組是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谥校┤絷P(guān)于x的不等式組有且僅有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】分別求出兩個(gè)不等式的解集，可得不等式組的解集為，再由不等式組有且僅有一個(gè)整數(shù)解，即可求解．
【詳解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式組的解集為，
∵不等式組有且僅有一個(gè)整數(shù)解，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解，能根據(jù)不等式組的解集和已知得出結(jié)論是解此題的關(guān)鍵．
4．（2023春·北京西城·九年級(jí)北京鐵路二中校考階段練習(xí)）解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
【答案】原不等式組的解集為，不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1．
【分析】分別解出不等式組中的每一個(gè)不等式，即得出不等式組的解集，再在解集中找出非負(fù)整數(shù)即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為，
∴不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1．
【點(diǎn)睛】本題考查求不等式組的整數(shù)解．掌握解不等式組的方法和步驟是解題關(guān)鍵．
5．（2023春·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m，n與代數(shù)式的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
m
…
2
3
4
…
n
…
3
1

…

…

4

…
(1)根據(jù)表中信息，求a，b的值；
(2)若關(guān)于x的不等式組有且只有一個(gè)整數(shù)解，求t的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)．

【分析】（1）結(jié)合表中數(shù)據(jù)建立二元一次方程組求解即可；
（2）分別求解不等式，結(jié)合不等式組的解得情況得到關(guān)于t的不等式，求解即可．
【詳解】（1）解：依據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：
，
解得：，
即：，；
（2）由（1）得：
，
解不等式得：
，
解不等式得：
，
由不等式組有且只有一個(gè)整數(shù)解，
得，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，一元一次不等式組，以及根據(jù)不等式組的解得情況求參；解題的關(guān)鍵是正確求解方程組和不等式組，理解不等式組解得情況．
類型十、一元一次不等式組中有、無解
【解惑】
（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若不等式有解，則m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)不等式組的解集為兩個(gè)不等式解集的公共部分，所以在有解的情況下，m的值必須小于2．
【詳解】解：∵不等式組有解，
∴
故選A．
【點(diǎn)睛】主要考查已知一元一次不等式的解集求不等式中的字母的取值范圍．掌握求不等式組解集的口訣“大大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”是解題關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，且最多有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的方程的解為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為（　?。?br /> A．23 B．26 C．29 D．39
【答案】D
【分析】解不等式組得到，再由最多3個(gè)整數(shù)解可推出m的取值范圍；解方程可得，再由解為非負(fù)整數(shù)可推出m的取值范圍，綜合兩個(gè)取值范圍即可確定m的取值為10或13或16，相加即可得到答案．
【詳解】解關(guān)于x的不等式組，得：，
該不等式組有解且至多3個(gè)整數(shù)解，
，解得：
解關(guān)于y的方程，得，
該方程的解為非負(fù)整數(shù)

或或
則符合條件的所有整數(shù)m的和為：．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組與一元一次方程的求解，熟練掌握各自的解法，根據(jù)題目設(shè)定的要求列出關(guān)于參數(shù)m的不等式并求解，是本題的解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·湖北黃岡·八年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）若不等式組有解，則a的取值范圍是（????）
A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)≥﹣1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≤1
【答案】A
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找并結(jié)合不等式組的解集可得答案．
【詳解】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1，
∵不等式組有解，
∴﹣1＜x＜a，
∴a＞﹣1，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)不等式組討論得到以下結(jié)論：①若，則不等式組的解集為；②若，則不等式組無解；③若不等式組無解，則a的取值范圍為；④若不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，則a的值可以為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（????）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)解不等式組的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找，找到參數(shù)的取值范圍解決問題．
【詳解】解：①時(shí)，x比小的大，比大的小，取中間，即解集為，故①正確；
②時(shí)，x比小的小，比大的大，無處取解，即無解，故②正確；
③要使不等式組無解，則要求x比小的小，比大的大，即a要小于3，當(dāng)時(shí)，仍然無解，故a的取值范圍為，故③錯(cuò)誤；
④要使不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍為，則a的值可以為，故④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的含參問題，解決本題的關(guān)鍵是熟記解不等式組的口訣，注意臨界值是否取等．
4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若不等式組無解，則的取值范圍為______．
【答案】/
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組無解，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 __．
【答案】/
【分析】不等式組整理后，根據(jù)無解的條件確定出a的范圍即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組無解，
即無解，
∴，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組無解的條件是解本題的關(guān)鍵．

類型十一、一元一次不等式組與二元一次方程組求解
【解惑】
（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于y、z的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（　?。?br /> A． B． C．0 D．3
【答案】A
【分析】先解一元一次不等式組，再根據(jù)不等式組的解集為，從而可得，進(jìn)而可得，然后再把兩個(gè)二元一次方程相加可得，再結(jié)合已知可得
，從而可得，進(jìn)而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組的解集為，
∴，
∴，
，
③+④得：
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，而為整數(shù)，
∴，
∴滿足條件的所有整數(shù)a的和，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式的整數(shù)解，二元一次方程組，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022春·重慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于，的二元一次方程組的解關(guān)于，滿足，，則的取值范圍為________．
【答案】
【分析】先解關(guān)于，的二元一次方程組，然后根據(jù)，，得到關(guān)于的一元一次不等式組即可求解．
【詳解】解：
①＋②，得，
解得，
將代入①得，，
解得，
∵，，
∴，
解得
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的解法，正確地求得二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）整數(shù)m滿足關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是正整數(shù)，且關(guān)于x的不等式組有且僅有2個(gè)整數(shù)解，則m為_____．
【答案】5
【分析】先解二元一次方程組，根據(jù)解是正整數(shù)列出一元一次不等式組，解關(guān)于的不等式，進(jìn)而根據(jù)是正整數(shù)的條件求得的范圍，解一元一次不等式組，根據(jù)有且僅有2個(gè)整數(shù)解，確定的值，然后再求m的平方根即可．
【詳解】解：由二元一次方程組，得，
∵整數(shù)m滿足關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是正整數(shù)，
∴，解得，，
∴m＝5或6，
當(dāng)m＝5時(shí)，x＝3，y＝2，
當(dāng)m＝6時(shí)，x＝1.5不符合題意，舍去；
∴m＝5，
由不等式組，得x≤6，
∵關(guān)于x的不等式組有且僅有2個(gè)整數(shù)解，
∴，解得，5≤m，
由上可得，m的值為5，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組、解不等式組，求不等式的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)，掌握解方程組和不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x，y的二元一次方程組，
(1)若x+y＝1，求a的值．
(2)若﹣3≤x﹣y≤3，求a的取值范圍．
(3)在（2）的條件下化簡(jiǎn)|a|+|a﹣2|．
【答案】(1)
(2)
(3)2

【分析】（1）將兩方程相加得到，再由可得關(guān)于a的方程，解方程即可求解；
（2）兩方程相減可得，再根據(jù)得到關(guān)于a的一元一次不等式組，解不等式組即可求解；
（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值、合并同類項(xiàng)求解即可．
（1）
解：，
①+②得：，則，
∵，
∴，
解得：；
（2）
解：①-②得：，
∵
∴，
解得：；
（3）
解：∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式、絕對(duì)值性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)，根據(jù)題意，正確列出關(guān)于a的方程和不等式組是解答的關(guān)鍵．
4．（2023秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組，當(dāng)為何值時(shí)，且？
【答案】
【分析】根據(jù)消元法，得到，，由題意得到關(guān)于的一元一次不等式組，解不等式組即可求解．
【詳解】解：由，得
，
把代入②，得
，
且，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，且．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，一元一次不等式組，熟練掌握消元法是解題的關(guān)鍵．
5．（2021春·甘肅蘭州·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)，求的取值范圍．
【答案】
【分析】先解方程組，求出，用表示的值，根據(jù)為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)求出答案．
【詳解】解：，
①＋②，得，
解得③，
將③代入②，得，
∵方程組的解為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)，
∴，
解得，
即的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，一元一次不等式組的應(yīng)用，正確掌握各解法及題意是解題的關(guān)鍵．

類型十二、一元一次不等式組的新定義

【解惑】
（2023年廣東省深圳市三十五校中考模擬數(shù)學(xué)試卷）定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，若關(guān)于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先根據(jù)定義的新運(yùn)算法則化簡(jiǎn)不等式組，然后解不等式組，最后根據(jù)解集為確定a的取值范圍即可．
【詳解】解：根據(jù)新定義關(guān)于x的不等式組可化為：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因?yàn)樵摬坏仁浇M的解集為
∴，解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算在不等式組中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的運(yùn)算．

【融會(huì)貫通】

1．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┬露x：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是______；（填序號(hào)）
(2)若關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求的取值范圍；
(3)若關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，且此時(shí)不等式組有4個(gè)整數(shù)解，試求的取值范圍
【答案】(1)①②
(2)
(3)

【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；
（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出，最后根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義列出關(guān)于k的不等式組，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先求出不等式組的解集，不等式組有4個(gè)整數(shù)解，即可得出的范圍，然后求出方程的解為，根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義得出關(guān)于的不等式，最后取公共部分即可．
【詳解】（1）①，解得；
②，解得；
③，解得；
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集為，
∵，在范圍內(nèi)，
∴不等式組“關(guān)聯(lián)方程”是①②；
故答案為：①②；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集為，
關(guān)于的方程的解為，
∵關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，
∴在范圍內(nèi)
∴，
解得；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集為，
∵此時(shí)不等式組有4個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得
關(guān)于的方程的解為，
∵關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，
∴在范圍內(nèi)
∴，
解得，
綜上所述，
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，為常數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)，定義，我們規(guī)定運(yùn)算為：，這里等式右邊是通常的代數(shù)四則運(yùn)算，例如：若，．
(1)求常數(shù)，的值；
(2)若關(guān)于的不等式組恰好有個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算得出二元一次方程組，然后求解即可；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算得出不等式組，然后求解得出，再由題意求解即可．
【詳解】（1）由題意得，
解得，；
（2）由題意得，
解得．
∵要使恰有2個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】題目主要考查對(duì)新定義運(yùn)算的理解，二元一次方程組的解法，不等式組的解法，理解題意，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)中國(guó)科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：．已知，．
(1)求m，n的值；
(2)已若關(guān)于p的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題目所在定義列出關(guān)于m、n的方程組求解即可；
（2）先分別求出，，然后解不等式組，根據(jù)不等式組的解集情況求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，
∴；
（2）解：由題意得，
，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組，根據(jù)一元一次不等式組的解集情況求參數(shù)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考開學(xué)考試）定義：給定兩個(gè)不等式組和，若不等式組的任意一個(gè)解，都是不等式組的一個(gè)解，則稱不等式組為不等式組的“子集”．
例如：不等式組：是：的“子集”．
(1)若不等式組：：，：，則其中______不等式組是不等式組：的“子集”填或；
(2)若關(guān)于的不等式組是不等式組的“子集”，則的取值范圍是______；
(3)已知，，，為不互相等的整數(shù)，其中，，下列三個(gè)不等式組：：，：，：滿足：是的“子集”且是的“子集”，求的值．
【答案】(1)A
(2)
(3)-4

【分析】（1）求出不等式組A與B的解集，利用題中的新定義判斷即可
（2）根據(jù)“子集”的定義確定出a的范圍即可；
（3）根據(jù)“子集”的定義確定出各自的值，代入原式計(jì)算即可求出值．
（1）
解：：的解集為，：的解集為，：的解集為，
則不等式組是不等式組的子集，
故答案為：；
（2）
關(guān)于的不等式組是不等式組的“子集”，
，
故答案為：；
（3）
，，，為互不相等的整數(shù)，其中，，
：，：，：滿足：是的“子集”且是的“子集”，
，，，，
則，
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）新定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為，即：當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則；反之，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則．
例如：
試解決下列問題：
(1)填空：①_________（為圓周率）；②如果，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_________；
(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有3個(gè)，求a的取值范圍；
(3)求滿足的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，，．

【分析】（1）①利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞，進(jìn)而得出＜π＞的值；
②利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞，進(jìn)而得出x的取值范圍；
（2）首先將＜a＞看作一個(gè)字母，解不等式組進(jìn)而根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出a的取值范圍；
（3）利用＜x＞設(shè)，k為整數(shù)，得出關(guān)于k的不等關(guān)系求出即可．
【詳解】（1）①由題意可得：＜π＞=3；
故答案為：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案為：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式組得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式組整數(shù)解恰有3個(gè)得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，為整數(shù)，
設(shè)=k，k為整數(shù)，則x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
則x=0，，．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解＜x＞的意義是解題關(guān)鍵．

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