?專題08 一元一次不等式的認識與解法














一、生活中的不等式
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．
要點詮釋：
(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數較大．
(2)五種不等號的讀法及其意義：
符號
讀法
意義
“≠”
讀作“不等于”
它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小
“＜”
讀作“小于”
表示左邊的量比右邊的量小
“＞”
讀作“大于”
表示左邊的量比右邊的量大
“≤”
讀作“小于或等于”
即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量
“≥”
讀作“大于或等于”
即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量
(3)有些不等式中不含未知數，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數，如2x＞5中，x表示未知數，對于含有未知數的不等式，當未知數取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．
二、不等式的解及解集
不等式的解
是具體的未知數的值，不是一個范圍
不等式的解集
是一個集合，是一個范圍．
其含義：①解集中的每一個數值都能使不等式成立
②能夠使不等式成立的所有數值都在解集中

不等式的解集的表示方法
（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．
(2)用數軸表示:不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：

借助數軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應用數軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向．(1)確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．
注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點．
三、不等式的基本性質
不等式的基本性質1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性質2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性質3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
不等式的基本性質的掌握注意以下幾點：
(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會．
(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向要改變．
四、解一元一次不等式
(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數為1.
(2) 一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：
相同點：二者都是只含有一個未知數，未知數的次數都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．
不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，由等號“＝”連接，等號沒有方向．
一元一次不等式的解法
與一元一次方程的解法類似，其根據是不等式的基本性質，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數的系數，得到不等式的解集.
（1）在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據具體問題靈活運用．
（2）解不等式應注意：
①去分母時，每一項都要乘同一個數，尤其不要漏乘常數項；
②移項時不要忘記變號；
③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；
④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向要改變．
不等式的解集在數軸上表示：
在數軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助．
在用數軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：
（1）邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；
（2）方向：大向右，小向左．








類型一、一元一次不等式中取整
【解惑】
（2023春·全國·七年級專題練習）若實數3是不等式的一個解，則可取的最大整數是（???）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得，結合題意“實數3是不等式的一個解”，可得，解該不等式即可獲得答案．
【詳解】解：由不等式，得，
∵實數3是不等式的一個解，
∴，
解得，
∴可取的最大整數為．
故本題選：C．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用以及解一元一次不等式，結合題意得到不等式是解題關鍵．
【融會貫通】
1．（2023春·全國·七年級專題練習）不等式的所有正整數解的和為__．
【答案】6
【分析】解不等式，求得不等式的所有正整數解，即可獲得答案．
【詳解】解：，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化為1，得，
∴不等式的所有正整數解為1，2，3，
則不等式的所有正整數解的和是．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了求不等式的整數解，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題關鍵．
2．（2023春·全國·七年級專題練習）若不等式的最小整數解是關于的方程的解，求式子的值．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整數解，將最小的整數解代入方程中，得到關于的方程，求出方程的解得到的值，將的值代入所求代數式中計算，即可求出值．
【詳解】解：不等式，
去括號得：，
移項合并得：，
解得：，
則不等式最小的整數解為，
又不等式最小整數解是方程的解，
將代入方程得：，
解得：，
則．
【點睛】此題考查了一元一次不等式的整數解，代數式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整數解是解本題的關鍵．
3．（2023春·全國·七年級專題練習）求一元一次不等式的負整數解．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，可得結論．
【詳解】去分母，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得，
系數化為1，得，
∴負整數解為．
【點睛】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是掌握一元一次不等式的解法．
4．（2023春·全國·七年級專題練習）解不等式：，并寫出該不等式的最小整數解．
【答案】，最小整數解是
【分析】根據解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集，然后寫出最小整數解即可．
【詳解】解：，
去分母，得：，
移項及合并同類項，得：，
系數化為1，得：，
∴該不等式的最小整數解是．
【點睛】本題考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整數解，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．
類型二、一元一次不等式中最值
【解惑】
（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）已知n為正整數，若一個三角形的三邊邊長分別是n、、，則滿足條件的三角形中周長最短的為（????）
A．13 B．16 C．19 D．22
【答案】C
【分析】根據三角形三邊關系列出不等式組，求得的最小整數解為，即可求解．
【詳解】解：∵
即
∴的最小整數解為，
∴三角形三邊分別為，周長為，
故選：C．
【點睛】本題考查了求不等式組的整數解，三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．

【融會貫通】
1.（2023春·全國·七年級專題練習）若，，，則的最小值為（????）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】把問題轉化為，利用不等式的性質解決最值問題．
【詳解】解：，
，
∴，
，
，即，
，
∴，
即，
時，的值最小，最小值為6．
故選：C．
【點睛】本題考查代入消元法、不等式的性質，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．
2．（2022·全國·七年級專題練習）已知，則的最大值與最小值的差為__________．
【答案】20
【分析】利用絕對值的性質得出，進一步列出不等式，并化簡，即可求得的最大值和最小值．
【詳解】解：
，化簡得：




的最大值為：，的最小值為：
最大值與最小值的差為：．
故答案為：20．
【點睛】本題主要考查絕對值的性質和不等式的化簡，熟練絕對值的性質并懂得化簡不等式是解題的關鍵．
3．（2023春·全國·七年級專題練習）已知非負數，，滿足，設．則的最大值與最小值的和為__．
【答案】
【分析】首先設，再根據是非負數求得的取值范圍，進而求得的取值范圍即可解答．
【詳解】解：設，
則，，，
，，均為非負實數，
，
解得：，
∴，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值與最小值的和為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了最值問題，設求出的取值范圍是解題的關鍵．
4．（2023春·全國·八年級專題練習）已知不等式，的最小值是；，x的最大值是，則___________．
【答案】

【分析】解答此題要理解“”“ ”的意義，判斷出和的最值即可解答．
【詳解】解：因為的最小值是，；
的最大值是，則；
則，
所以．
故答案為：．
【點睛】本題考查了不等式的定義，解答此題要明確，時，可以等于2；時，可以等于．
5．（2023春·七年級單元測試）若a、b、c、d是正整數，且，，，則的最小值為_______________．
【答案】34
【分析】先將3個等式變形為，進而得到，然后根據它們都是正整數，可求出a的取值范圍，進而可得的最小值．
【詳解】解：由題意可得，
∴．
∵a、b、c、d都是正整數，
∴，
解得：，且a為整數，
∴，
∴的最小值為34．
故答案為：34．
【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，根據題意用a表示出，并求出取值范圍是解題的關鍵．
6．（2023春·江蘇·七年級專題練習）（1）①比較4m與的大?。海ㄓ谩?”、"“”、“；=；>；②≥；（2）①0，4；②6
【分析】（1）①當m=3時，當m=2時，當m=-3時，分別代入計算，再進行比較即可；②根據，即可得出答案；
（2）①根據題意即可得到結論；②把原式配方得到，于是得到當時，的值最小，即可得到結論．
【詳解】解：（1）①當m=3時，4m=12，=13，則，
當m=2時，4m=8，=8，則=4m，
當m=-3時，4m=-12，=13，則，
故答案為：＞，=，＞；
②∵，
∴無論取什么值，總有；
故答案為：≥；
（2）①當m=0時，有最小值，最小值是4，
故答案為：0，4；
??②∵，
∴當，即時，的值最小，
∴當時，的最小值是6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了配方法的應用，不等式的性質，用到的知識點是不等式的性質、完全平方公式、非負數的性質，關鍵是根據兩個式子的差比較出數的大小．
類型三、一元一次不等式中特殊不等式
【解惑】
（2020秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）當x_____時，|x﹣2|＝2﹣x．
【答案】≤2
【分析】由題意可知x﹣2為負數或0，進而解出不等式即可得出答案.
【詳解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案為：≤2.
【點睛】本題考查絕對值性質和解不等式，熟練掌握絕對值性質和解不等式相關知識是解題的關鍵.

【融會貫通】
1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考階段練習）【問題提出】的最小值是多少？
【閱讀理解】
為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到原點的距離，那么可以看作這個數在數軸上對應的點到1的距離；就可以看作這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結合數軸研究的最小值．
我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：
（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．
（2）如圖②，在1和2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．
（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．

所以到1和2的距離之和最小值是1．


【問題解決】
(1)的幾何意義是______；請你結合數軸探究：的最小值是______；
(2)請你結合圖④探究：的最小值是______，此時為______；
(3)的最小值為______；
(4)的最小值為______．
【拓展應用】
(5)如圖⑤，已知到，2的距離之和小于4，請寫出的范圍為______．
【答案】(1)這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3；
(2)2；2；
(3)9；
(4)2550；
(5)．

【分析】（1）根據題干絕對值的幾何意義，再結合數軸即可得到答案；
（2）由數軸可知，取中間值2時絕對值之和最小，求解即可得到答案；
（3）由數軸可知，取中間值3和4之間（包括在3，4上），絕對值之和最小，利用進行計算即可得到答案；
（4）由數軸可知，取中間值50時絕對值之和最小，求解即可得到答案；
（5）由已知得，分三種情況討論：①時；②時；③時，求解絕對值不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據題意可知，的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和，
當在3的左邊，可以看出到3和6的距離之和大于3；

當在3和6之間（包括在3，6上），可以得到到3和6的距離之和等于3；

當在6的右邊，從圖中很明顯可以看出到3和6的距離之和大于3；

所以到3和6的距離之和最小值是3，
故答案為：這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3；
（2）解：如圖所示，當a取中間數時，絕對值之和最小，
即時，的最小值是，
故答案為：2；2；

（3）解：當在3和4之間（包括在3，4上），絕對值之和最小；
當時，，
故答案為：9；
（4）解： 1，2，3，4，5……101的中間數為：51，
當a取中間數51時，絕對值之和最小，




，
故答案為：50；
（5）解：到，2的距離之和小于4，
，
①當時，，
解得：，
；
②當時，，
；
③當時，，
解得：，

綜上可知，當到，2的距離之和小于4時，的范圍為．
【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義與性質，解不等式求解集，利用數形結合與分類討論的思想，熟練掌握絕對值的性質，理解絕對值的幾何意義是解題關鍵．
2．（2023春·全國·八年級專題練習）（1）【閱讀理解】“”的幾何意義是：數在數軸上對應的點到原點的距離，所以“”可理解為：數在數軸上對應的點到原點的距離不小于，則：
①“”可理解為 ；
②請列舉兩個符號不同的整數，使不等式“”成立，列舉的的值為 和 ．
我們定義：形如“，，，”（為非負數）的不等式叫做絕對值不等式，能使一個絕對值不等式成立的所有未知數的值稱為絕對值不等式的解集．
（2）【理解應用】根據絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式．

由上圖可以得出：絕對值不等式的解集是或，
絕對值不等式的解集是．則：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展應用】解不等式，并畫圖說明．
【答案】（1）①數在數軸上對應的點到原點的距離小于；②；3；
（2）①或；②；（3）或，見解析．
【分析】（1）①類比題目所給的信息即可解答；②寫出符合題意的兩個整數即可（答案不唯一）；
（2）①類比題目中的解題方法即可解答；②類比題目中的解題方法即可解答；
（3）根據絕對值的幾何意義可知，不等式的解集，就是數軸上表示數的點到表示與的點的距離之大于的所有的值，由此即可確定不等式的解集．
【詳解】（1）①由題意可得，“”可理解為數在數軸上對應的點到原點的距離小于．
故答案為：數在數軸上對應的點到原點的距離小于；
②
令，

使不等式“”成立的整數為，，
故答案為：，．
（2）①由題意可知，
不等式的解集是或，
故答案為：或；
②由題意可知，不等式的解集為：
，
即，
故答案為：；
（3）根據絕對值的幾何意義可知，不等式的解集就是數軸上表示數的點，到表示與的點的距離之和大于的所有的值，
如下圖所示，

可知不等式的解集是或．
【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義，利用數形結合是解決本題的關鍵．
3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀求絕對值不等式子解集的過程：因為，從如圖所示的數軸上看：大于而小于3的數的絕對值是小于3的，所以的解集是，解答下面的問題：

(1)不等式的解集為______；
(2)求的解集實質上是求不等式組______的解集，求的解集．
【答案】(1)；
(2)，．

【分析】（1）根據題中所給出的例子進行解答即可；
（2）根據題中所給的實例列出關于的不等式組，求出其解集即可．
【詳解】（1）解：的解集是，
不等式的解集為：．
故答案為：；
（2）解：的解集是，
求的解集是，
可化為，
求的解集實質上是求不等式組，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據題意利用數形結合求一元一次不等式的解集是解答此題的關鍵．
4．（2020秋·四川涼山·九年級階段練習）先閱讀理解下面的例題，再按要求解決問題．
例題：解一元二次不等式．
解：∵，
∴．
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，有
①解不等式組①，得
②解不等式組②，得，
故原不等式的解集為或，
即一元二次不等式的解集為或．
問題：（1）求關于x的兩個多項式的商組成的不等式的解集．
（2）若a，b是（1）中解集x的整數解，以a，b，c為為邊長，c是中的最長的邊長，①求c的取值范圍：②若c為整數，求這個等腰的周長．
【答案】（1）；（2）①3＜c＜6或4＜c＜8或4＜c＜8；②10或11或13或14或15．
【分析】（1）利用不等式得到①，②，進而求出即可；
（2）根據（1）中所求，得出a，b的值，再求c，進而求出這個等腰△ABC的周長即可．
【詳解】（1）∵，
∴由“兩數相除，異號得負”，有：
①解不等式組①得：；
②解不等式組②得：無解；
∴原不等式的解集為；
（2）①a，b的解集的整數解，
∴a=3，b=3；a=3，b=4；a=4，b=4．
∵c是△ABC的最大邊，
當a=3，b=3時，3＜c＜6；
當a=3，b=4時，4≤c＜7；
當a=4，b=4時， 4＜c＜8；
②當a=3，b=3時，3＜c＜6，
∴c=4或5，
∴=10或11；
當a=3，b=4時，4≤c＜7，
∴c=4，
∴=11；
當a=4，b=4時
∴4＜c＜8，
∴c=5，6，7，
∴=13或14或15．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用和三角形三邊關系等知識，利用已知得出分式中分子與分母的關系是解題關鍵．解第（2）問時注意分類討論．
5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4.
【答案】x＜0或x＞4
【詳解】試題分析：此題是一個帶絕對值的復合不等式，應分為x≤1，1＜x≤3，x＞3，三種情況，再根據絕對值的性質化簡原式，解不等式即可.
試題解析：當x≤1時，原式可變形為
1－x＋3－x＝4－2x＞4，解得x＜0.
當1＜x≤3時，原式可變形為
x－1＋3－x＞4，得2＞4，不合題意．
當x＞3時，原式可變形為
x－1＋x－3＝2x－4＞4，解得x＞4.
∴x＜0或x＞4.
點睛：此題主要考查了帶絕對值的復合不等式的解法，解題關鍵是要根據絕對值的性質，分情況討論，然后根據絕對值的性質求解不等式既能解決，解題時注意不等式的基本性質的應用.
6．（2022·全國·七年級專題練習）對于不等式且當時，當時，
請根據以上信息，解答下列問題：
(1)解關于x的不等式：
(2)解關于x的不等式其解集中無正整數解，求k的取值范圍
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）根據題意列出一元一次不等式求解即可；
（2）根據題意列出一元一次不等式求解，并根據解集中無正整數解求出k的取值范圍即可.
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
移項得：
合并同類項得：
系數化為1得：
（2）∵，
∴
移項合并得：；
當，即時，解得：（可以取遍所有正整數，不合題意）；
當，即時，化簡得（恒成立，可以取遍所有正整數，不合題意）；
當，即時，解得：，
∵解集中無正整數解，
∴，
去分母得：，（，不等號改變方向）
解得：．
【點睛】本題考查解一元一次不等式與不等式的性質，掌握解一元一次不等式的一般步驟與不等式的性質是解題的關鍵．
7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【閱讀理解】
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，解決此類問題時一般要進行轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依據是不等式（或等式）的性質：若，則；若，則；若，則．
例：已知，，其中．求證：．證明：．
∵，
∴．
∴．
【新知應用】
（1）比較大?。篲_____．
（2）甲、乙兩個長方形的長和寬如圖所示（m為正整數），其面積分別為、．試比較、的大小關系．

【實際應用】
（3）請用“作差法”解決下列問題：
某游泳館在暑假期間對學生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價打八五折；B方案：第一次按照原價，從第二次起每次打八折．請問游泳的同學選擇哪種方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z滿足，，比較代數式與的大?。?br /> 【答案】（1）；（2）（3）當時， A方案合算；當時，此時兩個方案的總價相同；當時， B方案合算；（4）
【分析】（1）做x-1與2+x的差，再根據差的正負性即可判斷；
（2）分別用m表示，然后計算的差的正負性，即可得到答案；
（3）根據題意分別寫出表示兩種方案的總價的代數式，然后作差，再分情況討論即可；
（4）先將z看作常數，解關于x、y的二元一次方程組，然后帶入并作差，根據差的正負性即可得到答案；
【詳解】解：（1）根據材料得，
∴
故填；
（2）由圖知：

∴
∵m是正整數
∴
∴
∴
（3）設原價為a（），去的次數為x（x為正整數），總價分別為
根據題意可知：，

∵，x為正整數，
∴當時，，故，此時A方案合算；
當時，，故，此時兩個方案的總價相同；
當時，，故，此時B方案合算；
（4）由、得、，
聯(lián)立方程組并解得
∴==
∴
【點睛】本題是材料題，考查了對所給信息的獲取能力，涉及了二元一次方程組，不等式的性質等相關知識，掌握所需知識，理解題意并根據題目所給方法做出結論是本題的解題關鍵．
類型四、一元一次不等式與二元一次方程中的取值范圍
【解惑】
（2023春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學校考期中）關于，的方程組的解滿足的值不大于5，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據方程組，得到，再根據的值不大于5，列出不等式求解即可得到答案．
【詳解】解：方程組，
得：，
關于，的方程組的解滿足的值不大于5，
，
，
故選C．
【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題關鍵．

【融會貫通】
1．（2023·山東濱州·模擬預測）關于，的方程組的解，滿足，則的取值范圍是(???)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將2個方程相加得出，根據不等式的解集的情況，得出，進而即可求解．
【詳解】解：
由得：
∴，
∵，
∴
解得：，
故選：C．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據題意得出的表達式是解答此題的關鍵．
2．（2023春·全國·七年級專題練習）關于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為______．
【答案】
【分析】把兩個方程相減，可得，x與y的和不小于5，即可求出答案．
【詳解】把兩個方程相減，可得
x與y的和不小于5

解得：
k的取值范圍為．
故答案為．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組，掌握解一元一次不等式知識點是解題的關鍵．
3．（2023春·廣東中山·九年級?？茧A段練習）若方程組的解x、y滿足，則a的取值范圍為_________．
【答案】
【分析】由題意解不等式組，用含a的式子表示的值，再根據取值范圍求解即可．
【詳解】解：，
①+②得：，
∴．
∵，
∴，
解之得：；
故答案為：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組用的加減法，觀察方程組及方程組的解所滿足的條件，只要將方程組的兩個方程相加即可得到的值，這是關鍵．
4．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期中）已知關于x，y的方程組的解滿足，求k的取值范圍．
【答案】
【分析】由得到即，結合可得，解不等式即可．
【詳解】解：
由得：，
即，
，
，
解得：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，解一元一次不等式；解題的關鍵是巧解方程組得到．
5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）已知方程組是一個關于x，y的二元一次方程組，其中與的和是非負數，求m的取值范圍．
【答案】
【分析】利用加減消元法求出、，然后列出不等式，再解關于的一元一次不等式即可得解．
【詳解】解：解二元一次方程組得，
∵與的和是非負數，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，把看作常數，用表示出、然后列出關于的不等式是解題的關鍵，也是本題的難點．
6．（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習）已知方程組的解中，為非正數，為負數．
(1)求的取值范圍；
(2)化簡．
【答案】(1)
(2)5

【分析】（1）用加減消元法得，，根據題意得，即可求出a的范圍；
（2）利用a的范圍和絕對值的非負性即可得．
【詳解】（1）解：
①+②，得：，解得：，
①-②，得：，解得：，
∵x為非正數，y為負數，
∴
解得：；
（2）解：∵，
∴
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解不等式的應用，化簡絕對值，解題的關鍵是能夠正確求解出二元一次方程組的解
類型五、一元一次不等式與二元一次方程中整數解
【解惑】
（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）若關于、的方程組的解滿足，則的最小整數解為___________．
【答案】
【分析】方程組中的兩個方程相減得出，根據已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【詳解】解：，
得：，
關于的方程組的解滿足，
∴，
解得：，
∴的最小整數解為，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程組、二元一次方程組的解、一元一次不等式的整數解等知識點，能得出關于m的不等式是解此題的關鍵．

【融會貫通】
1．（2023春·全國·七年級專題練習）已知關于x、y的二元一次方程組的解滿足，則m的最大整數值為______．
【答案】
【分析】，得，根據得出關于的不等式，求得最大整數解即可求解．
【詳解】解：，
，得，
∵，
∴，
∴．
m的最大整數值為-2
故答案為：．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組、一元一次不等式，掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．
2．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）若關于x和y的二元一次方程組，滿足，那么整數m的最大值是______．
【答案】1
【分析】先將兩個方程相加，再整理，即可得到，即可得到，即可得到m的取值范圍，即可求最大值．
【詳解】解：
得：

即：



整數m的最大值為1
故答案為：1．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解不等式，掌握解二元一次方程組的步驟是解題的關鍵．
3．（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中?？茧A段練習）已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求a的負整數值．
【答案】
【分析】用含的代數式表示出，根據，進行求解即可．
【詳解】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴a的負整數值為：．
【點睛】本題考查根據二元一次方程組的解的情況，求參數的值．解題的關鍵是用含的代數式表示出．
4．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）若方程組的解滿足，求滿足條件的正整數m的值．
【答案】
【分析】用含m的式子表示x，y，利用得到不等式求出m的解集，寫出整數解．
【詳解】解：解方程組得：，
∵
∴
解得，
∴正整數m的值為．
【點睛】本題考查解二元一次方程組和不等式，掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．
5．（2022秋·浙江杭州·八年級校考期中）已知關于、的二元一次方程組（為常數）.
(1)若該方程組的解、滿足，求的取值范圍；
(2)若該方程組的解、均為正整數，且，直接寫出該方程組的解.
【答案】(1)
(2)或或或

【分析】（1）將方程組變?yōu)?，利用得，代入不等式，解不等式即可求解?br /> （2）根據加減法解二元一次方程組，根據方程組的解均為正整數，且，得的值，進而求得方程組的解．
【詳解】（1）解：二元一次方程組可變?yōu)椋海?br /> 得：，
∵該方程組的解滿足，
∴，
解得：；
（2）解：二元一次方程組可變?yōu)椋海?
得：
解得，
將代入①得：，
解得：，
∵方程組的解均為正整數，且，
∴或或4或3，
∴或或或．
【點睛】本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式綜合，正確的計算是解題的關鍵．
6．（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考階段練習）已知關于、的二元一次方程組 （k為常數）．
(1)求這個二元一次方程組的解（用含k的代數式表示）；
(2)若，，求k的值；
(3)若，設，且m為正整數，求m的值．
【答案】(1)
(2)或2或
(3)1或2

【分析】（1）把k當作常數利用加減消元法求解即可；
（2）分三種情況：；是偶數；三種情況討論求解即可；
（3）先求出，根據，得到，再由m是正整數，進行求解即可；
【詳解】（1）解：
用得：，解得，
用得：，解得，
∴方程組的解為；
（2）解：∵，
∴當，即時，則，解得；
當且為偶數時，即時，則，解得，此時，符合題意；
當當，時，即時，則，解得；
綜上所述，k的值為3或2或；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵m是正整數，
∴m的值為1或2．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式的整數解，零指數冪，有理數的乘方，正確求出是解題的關鍵．
類型六、一元一次不等式的新定義
【解惑】
（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習）定義一種運算：，例如：，根據上述定義，不等式組的解集是______．
【答案】
【分析】根據，可以將不等式組不等式組可以轉化為，然后求解即可．
【詳解】解：由題意可得，不等式組可以轉化為，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組、新定義，解答本題的關鍵是明確新定義，會利用新定義轉化不等式組．
【融會貫通】
1.（2023春·全國·八年級期中）對于任意實數a、b，定義一種運算：a※．例如，2※．請根據上述的定義解決問題：若不等式3※，則不等式的正整數解是__．
【答案】1，2
【分析】按照定義寫出不等式并求解，再求出該不等式的正整數解．
【詳解】解：∵a※，
∴3※，
∵3※，
∴
解得
∴該不等式的正整數解為：1，2．
故答案為：1，2．
【點睛】此題考查了利用新定義解決不等式問題的能力，關鍵是能根據定義寫出不等式并求解．
2．（2023春·八年級單元測試）若定義一種新的取整符號，即表示不小于的最小整數．例如：，．則下列結論正確的是（????）
①；②；③方程的解有無數多個；④當時，則的值為0、1或；⑤若，則的取值范圍．
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根據取整函數的定義，直接求出值；②取特殊值驗證；③在0到1的范圍內，找到一個特殊值，進而可以找到無數個解；④分情況討論，驗證的所有取值；⑤把方程問題轉化為不等式問題；．
【詳解】解：由題意得：，故①結論正確；
設，其中a是x的整數部分，b是x的小數部分，
∴，故②結論不正確；
設，其中a是x的整數部分，b是x的小數部分
則方程可變形為：，
解得：，
∵a的值不能夠確定，
∴方程有無數多個解，故③結論正確；
當時，，
即，
∴當時，，
∴；
當時，，
即，
∴；
當時，，
即，
∴，故④結論不正確．
∵，
∴，
解得：，
∴⑤結論正確；
故正確的為①③⑤
故選：C．
【點睛】本題考查了取整函數與一元一次不等式，解題的關鍵在于能夠把取整數的等式，轉化為一元一次不等式問題去解決．
3.（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期末）對于任意實數、，定義一種運算：例如，請根據上述的定義解決問題：若不等式，則不等式的正整數解是（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照定義寫出不等式并求解，再求出該不等式的整數解．
【詳解】解：由題意得，，
解得，
該不等式的正整數解為：，
故選：A
【點睛】此題考查了利用新定義解決不等式問題的能力，關鍵是能根據定義寫出不等式并求解．
4．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀材料：我們把多元方程（組）的正整數解叫做這個方程（組）的“好解”例如：就是方程的一組“好解”；是方程組的一組“好解”．
(1)請直接寫出方程的所有“好解”；
(2)關于x，y，k的方程組有“好解“嗎？若有，請求出對應的“好解”；若沒有，請說明理由；
(3)已知x，y為方程的“好解”，且，求所有m的值．
【答案】(1)，，
(2)有“好解“，“好解”為
(3)63，73，83

【分析】（1）根據“好解”的定義，求方程的正整數解，先把方程做適當的變形，再列舉正整數代入求解；
（2）解方程組求得，根據“好解”的定義得，即，在范圍內列舉正整數代入求解；
（3）由解得，根據“好解”的定義得到，即，在范圍內列舉正整數代入求解．
【詳解】（1）由，得y（x、y為正整數），
∵，
即，
∴當時，；
當時，；
當時，；
即方程的“好解”有，，；
（2）由解得（x、y、k為正整數），
∵，即，
∴當時，，，
∴方程組有“好解“，“好解”為；
（3）由解得（x、y、m為正整數），
∵，即，
∴當時，，；
當時，，；
當時，，；
∴所有m的值為63，73，83．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，解題關鍵是要理解方程（組）的“好解”條件，根據條件求解．
5．（2023春·安徽亳州·七年級校考階段練習）【閱讀理解】
定義新運算：對于任意，，都有，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算．比如：．
【問題解決】
若的值小于，求的取值范圍，并在圖示的數軸上表示出來．

【答案】，數軸見詳解
【分析】根據題意給出的運算規(guī)則列出不等式求解，然后把解集表示在數軸上即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
解得：，
數軸如下：

【點睛】本題主要考查一元一次不等式的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵．
6．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【閱讀理解】定義：數軸上給定不重合兩點、，若數軸上存在一點，使得點到點的距離等于點到點的距離的2倍，則稱點為點與點的“雙倍絕對點”．請解答下列問題：
(1)【特例探究】若點表示的數為，點表示的數為1，點為點與點的“雙倍絕對點”，則點表示的數為______．
(2)【抽象探究】若點表示的數為，點表示的數為，則點與點的“雙倍絕對點”表示的數為______（用含的代數式表示）．
(3)【拓展應用】點表示的數為，點表示的數分別是，，點為線段上一點，設點表示的數為，且點在、兩點之間，若點可以為點與點的“雙倍絕對點”，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)對應的數為或．
(2)對應的數為或．
(3)

【分析】（1）設對應的數為，由，再建立方程求解即可；
（2）設對應的數為，由，再建立方程求解即可；
（3）如圖，設對應的數為，可得，，由，可得，結合，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設對應的數為，而點為點與點的“雙倍絕對點”， 點表示的數為，點表示的數為1，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：或，
∴對應的數為或．
（2）設對應的數為，而點為點與點的“雙倍絕對點”， 點表示的數為，點表示的數為，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：或，
∴對應的數為或．
（3）如圖，設對應的數為，

∴，，
∵點可以為點與點的“雙倍絕對點”，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是新定義運算，數軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應用，不等式的性質的應用，理解題意，利用方程與不等式的思想解題是解本題的關鍵．
7．（2021春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┪覀兌x；如果兩個一元一次不等式有公共解，那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”
(1)不等式 的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．
(2)若關于的不等式不是“云不等式”，求的取值范圍．
(3)若，關于的不等式與不等式互為“云不等式”，求的取值范圍．
【答案】(1)是
(2)
(3)或

【分析】（1）根據云不等式的定義即可求解；
（2）解不等式可得，解不等式得，再根據云不等式的定義可得，解不等式即可求解；
（3）分兩種情況討論，根據云不等式的定義得到含的不等式，解得即可．
【詳解】（1）解：不等式和不等式有公共整數解2，
不等式是的“云不等式”，
故答案為：是；
（2）解：解不等式可得，
解不等式得，
關于的不等式不是的“云不等式”，
，
解得．
故的取值范圍是；
（3）解：，
，
，
①當時，即時，的解集是，
，
，
由題可得，
即，故；
②當時，即時，的解集是，
此時始終符合題意，故，
綜上所述：的取值范圍為或．
【點睛】本題主要考查了新定義運算，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組解集的確定方法是解題的關鍵．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．
8．（2023春·全國·八年級專題練習）若點P為數軸上一個定點，點M為數軸上一點．將M，P兩點的距離記為．給出如下定義：若小于或等于k，則稱點M為點P的k可達點．
例如：點O為原點，點A表示的數是1，則O，A兩點的距離為1，，即點A可稱為點O的2可達點．

(1)如圖，點中， 是點A的2可達點；
(2)若點C為數軸上一個動點，
①若點C表示的數為，點C為點A的k可達點，請寫出一個符合條件的k值 ；
②若點C表示的數為m，點C為點A的2可達點，m的取值范圍為 ；
(3)若，動點C表示的數是m，動點D表示的數是，點C，D及它們之間的每一個點都是點A的3可達點，寫出m的取值范圍 ．
【答案】(1)
(2)①（即可）；②
(3)

【分析】（1）由圖和k可達點的定義直接得出結論；
（2）①點C表示的數為時，，根據點C為點A的k可達點，可以得出k的一個值；
②根據點C為點A的2可達點得出，解不等式即可；
（3）分三種情況討論點D和點C的位置，由可達點的定義得出m的取值范圍．
【詳解】（1）由圖可以看出，是點A的2可達點，
故答案為：；
（2）①若點C表示的數為，則點A與點C的距離為2，
∴k應該大于2，
∴k可以為4，
故答案為：4（即可）；
②若點C為點A的2可達點，則，
解得：．
故答案為：；
（3）①當時，點D在點C左側，
∴，
解得：，
∴；
②當時，，
此時都符合題意；
③當時，點D在點C右側，
∴，
解得：，
∴．
綜上：m的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】本題考查數軸上了兩點間的距離的表示方法以及新定義，關鍵是對新定義的理解和掌握．
類型七、一元一次不等式中含參解集
【解惑】
（2022春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習）若關于x的不等式mx- n＞0的解集是，則關于x的不等式的解集是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式mx- n＞0，根據解集可判斷m、n都是負數，且可得到m、n之間的數量關系，再解不等式可求得
【詳解】解不等式：mx- n＞0
mx＞n
∵不等式的解集為：
∴m＜0
解得：x＜
∴，
∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
將m=5n代入得：

∴x＜
故選：B
【點睛】本題考查解含有參數的不等式，解題關鍵在在系數化為1的過程中，若不等式兩邊同時乘除負數，則不等號需要變號.

【融會貫通】
1．（2023春·七年級課時練習）若(m?1)x>(m?1)的解集是x＜1，則m的取值范圍是（????）．
A．m>1 B．m￡1 C．m(m?1)的解集為x＜1，
∴m-1＜0，
∴m＜1，
故選：C．
【點睛】此題考查不等式的解集，解題關鍵在于掌握在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．
2．（2022春·內蒙古通遼·七年級?？计谥校┤絷P于的不等式的解集為，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據不等式的基本性質3，兩邊都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【詳解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集為x＞1，
∴m-1＜0，即m＜1，
故選：B．
【點睛】此題考查不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．
3．（2023春·河南鄭州·八年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集為，則a的取值范圍是（????）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【分析】先根據不等式的基本性質及此不等式的解集判斷出k﹣4的符號，再求出k的取值范圍即可．
【詳解】解：∵關于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集為，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關于k的不等式是解題關鍵．
4．（2023·河南·模擬預測）新定義：對于任何實數，符號表示不大于的最大整數．已知，則．例如：若，則．如果，那么的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】根據新定義的概念將問題轉化一元一次不等式，最后求解即可．
【詳解】解： 由題意，可得，
解得．
故答案為：
【點睛】本題考查一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關鍵，滲透了數學學科運算能力、創(chuàng)新意識的核心素養(yǎng)．
5．（2019·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，則實數a的取值范圍是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根據x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【詳解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是這個不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案為a≤-1．
【點睛】本題考查了不等式的解集，解決本題的關鍵是求不等式的解集．
6．（2022春·江蘇·七年級專題練習）已知關于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，則k的值為________.
【答案】2
【詳解】試題分析：不等式可變形為：3x＞5k－7，
x＞，
∵關于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，
∴＝1，
解得：k＝2．
故答案為2．
點睛：本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關于k的方程是解題關鍵．

類型八、參數x與y的和差范圍
【解惑】
（2023春·七年級單元測試）關于x的兩個不等式x+1

相關試卷

北師大版數學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題11 概率初步（2份打包，原卷版+含解析）：

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北師大版數學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題01 整式的乘除（2份打包，原卷版+含解析）：

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蘇科版數學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題09 一元一次不等式的應用與一元一次不等式組（2份打包，原卷版+含解析）：

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